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        絕對值與一元一次方程

        2021-01-04 14:14:24祁妍碩
        初中生世界 2020年45期
        關(guān)鍵詞:解方程數(shù)軸整數(shù)

        文 祁妍碩

        絕對值是七年級數(shù)學非常重要的概念之一能與數(shù)學中許多知識組合出新的問題。今天我們重點研究絕對值符號中含有未知數(shù)的方程,即絕對值方程。解決這一問題需要從絕對值的性質(zhì)、幾何意義出發(fā),方可成功“拿下”。

        在解絕對值方程之前,需要回顧以下知識點。(1)絕對值的性質(zhì):正數(shù)的絕對值是它本身;負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。(2)絕對值的幾何意義:表示數(shù)軸上數(shù)a與b所對應的點之間的距離。

        一、提出問題

        例1解方程:|x-3|=2。

        【錯解】解:x-3=2,故x=5。

        【解析】方法1:從絕對值的性質(zhì)出發(fā),將這個方程看成是絕對值等于2的數(shù)有哪些?當然是±2,即x-3=±2,所以x=5或1。

        方法2:從絕對值的幾何意義出發(fā),如圖1,方程左邊|x-3|表示一個數(shù)x到3的距離。借助數(shù)軸,整個方程表示數(shù)軸上一個數(shù)x到3的距離等于2個單位,這個數(shù)分布在3的左側(cè)和右側(cè),故這個數(shù)x為5或1,即x=5或1。

        二、變式問題

        例2求滿足方程|x+3|+| 2-x|=5的所有整數(shù)解。

        【解析】解決絕對值方程的關(guān)鍵是去絕對值符號,我們可以根據(jù)絕對值的性質(zhì)對x+3和2-x與0的關(guān)系進行分類討論。也可絕對值的幾何意義出發(fā),如圖2,借助數(shù)軸,解決這類方程會更為快捷。先需要將方程改成|x-(-3)|+|x-2|=5,即:此方程看作一個數(shù)x到-3的距離與它到2的距離的和等于5,這樣的x在數(shù)軸上的什么位置?

        如圖2,這個數(shù)x只要在-3和2之間都滿足條件。其中滿足條件的整數(shù)為-3,-2,-1,0,1,2。

        例3解方程:|x+3|-2|x-2|=0。

        【解析】從幾何意義出發(fā),原方程表示x到-3的距離等于它到2的距離的2倍,借助數(shù)軸,記-3表示點A,2表示點B,點P記為x,即PA=2PB,又知道AB=5,如圖3和圖4可知,分兩類討論得到x=7或。

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