張旭梅，曹俊英

(貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

分數(shù)階微積分已有三百多年的歷史，近年來，它被越來越多的人關注，并在多個領域被廣泛應用，包含力學，記憶材料，自動控制理論，粘彈性材料，分形理論，信息理論，分數(shù)電容理論，金融，生物，工程等領域。文獻[1-4]提出并分析了分數(shù)階導數(shù)的高階數(shù)值格式。文獻[5]提出了一個新的分數(shù)階數(shù)值微分公式并詳細討論了它的截斷誤差。文獻[7]研究了時間分數(shù)階擴散方程的時間有限元法。文獻[8]考慮了時間-分數(shù)階擴散方程的邊值問題。

本文安排如下：在第一部分給出了分數(shù)階導數(shù)的離散過程，并提出了一個高階數(shù)值格式；第二部分給出了所構造高階數(shù)值格式的局部截斷誤差。

1 一個高階數(shù)值格式

我們所考慮的方程：

(1)

初值條件：

u(0)=u0

(2)

(3)

其中表達式Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

下面，我們開始離散分數(shù)階導數(shù)(3)，首先確定u(t)在t1和t2上的數(shù)值。使用二次拉格朗日插值，u(t)在區(qū)間[t0，t2]上的逼近式為：

(4)

這里φi，0(t)，i=0，1，2是定義在點t0，t1，t2上的二次拉格朗日插值基函數(shù)，其定義如下：

(5)

(6)

(7)

當k≥3時，我們有：

(8)

在[tj，tj+1]上，u(t)的逼近式為：

(9)

其中：

(10)

把(4) 和(9)代入(3)式，我們得到：

(11)

其中：

j=1，…，k-1

(12)

這里所有的系數(shù)“A，B，C，D”都是僅依賴于α的常數(shù)，它們的值經(jīng)過仔細的計算如下：

Bj=2(2-α)(j-1)1-α+2(j-1)2-α-2j2-α

根據(jù)逼近式(12)，則方程(1)對應于初值(2)的高階數(shù)值格式如下：

(13)

2 局部截斷誤差

數(shù)值格式(13)的局部截斷誤差的估計如下。

定理1：假設u(t)∈C3[0，T]設

(14)

|rk(Δt)|≤CuΔt3-α

(15)

其中Cu是一個依賴于u但與Δt無關的正常數(shù)。

證明：當k=1時，類似文獻[2]，我們可得：

(16)

這里Cu是只依賴于的正常數(shù)。

當k=2時，類似于(16)，即：

(17)

當k≥3時，我們有：

=F1+F2

(18)

F1的求解類似于式(16)，所以我們得到：

F1≤CuΔt3-α

(19)

對于F2，我們有：

其中：

又因為，

對于?τ∈[tj，tj+1]，所以有：

(20)

綜上所述，我們可以得到：

rk(Δt)=F1+F2≤CuΔt3-α

(21)

定理1證明完畢。