高翟，ZHU Xu（Judy），楊敏?，王巍，周群群

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)機(jī)械與電子信息學(xué)院，湖北武漢 430074；2.利物浦大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，英國(guó)利物浦L693BX）

在蜂窩系統(tǒng)中，為了解決導(dǎo)頻資源嚴(yán)重不足的問(wèn)題，一般按照一定規(guī)則將導(dǎo)頻重復(fù)利用，并在此基礎(chǔ)上形成若干導(dǎo)頻復(fù)用指標(biāo)[1].傳統(tǒng)的復(fù)用方式以小區(qū)為最小復(fù)用單元，單小區(qū)內(nèi)的各導(dǎo)頻的復(fù)用程度、方式均一致；如果將小區(qū)的規(guī)模視為大尺度，則形成一種導(dǎo)頻的大尺度復(fù)用.由于蜂窩在服務(wù)區(qū)平面內(nèi)一般整齊均勻地排布，復(fù)用導(dǎo)頻的小區(qū)亦間隔均勻地出現(xiàn)，這在用戶量適中、分布均勻的情況下確是一種行之有效的方法.不過(guò)隨著用戶量的迅速增大，大尺度復(fù)用越來(lái)越難以滿足系統(tǒng)對(duì)導(dǎo)頻資源的需求了.面對(duì)這一現(xiàn)狀有三種改進(jìn)方案：一是添加新的導(dǎo)頻資源，二是進(jìn)一步提高大尺度復(fù)用程度，三是對(duì)小區(qū)內(nèi)的導(dǎo)頻分配不同的復(fù)用模式.

第一種方案難以施行，因?yàn)檫m用于無(wú)線傳輸?shù)膶?dǎo)頻資源本就極其受限，想要挖掘出新的資源非常困難[2].第二種方案也不太現(xiàn)實(shí)，因?yàn)楝F(xiàn)有的蜂窩系統(tǒng)已經(jīng)盡可能地提高導(dǎo)頻大尺度復(fù)用程度了；如果復(fù)用因子進(jìn)一步增大，那么用戶通信質(zhì)量的下降足以抵消用戶容量的優(yōu)勢(shì)[3].基于以上兩點(diǎn)，本文從第三種方案入手，將小區(qū)內(nèi)的導(dǎo)頻資源區(qū)別對(duì)待，賦予不同的復(fù)用指標(biāo).由于這種方案的復(fù)用單元已然小于單個(gè)小區(qū)，分配尺度明顯縮小，故而稱之為導(dǎo)頻的小尺度復(fù)用.

既然導(dǎo)頻復(fù)用的單位尺度小于小區(qū)，那么在一個(gè)小區(qū)內(nèi)就可能分配有多種復(fù)用因子.第一種分配法以用戶為基準(zhǔn)，不論用戶在小區(qū)內(nèi)位置如何，其復(fù)用因子保持不變.這種方法對(duì)小區(qū)邊緣用戶不利，特別是高復(fù)用因子的用戶信干噪比很低[4].第二種方法以時(shí)間為參考[5]，這種方法面對(duì)用戶流動(dòng)有優(yōu)勢(shì)，但需要預(yù)知各用戶在小區(qū)內(nèi)的位置變化，所以需要大量先驗(yàn)信息，實(shí)施難度很大.第三種方法以空間為參考，把區(qū)域和復(fù)用程度對(duì)應(yīng)起來(lái)；用戶處于小區(qū)的哪個(gè)區(qū)域范圍內(nèi)，就分配哪一類復(fù)用因子；這種方法既保障通信性能，又具有高度的可行性，是本文討論的重點(diǎn).

本文的內(nèi)容安排如下：首先將導(dǎo)頻復(fù)用表示為對(duì)應(yīng)的三叉樹(shù)和狀態(tài)數(shù)組形式以便于仿真計(jì)算；接著介紹小尺度復(fù)用的機(jī)制，給出其理論上的支持用戶量、信干噪比等指標(biāo)；然后通過(guò)仿真得出導(dǎo)頻復(fù)用（包含大尺度復(fù)用和小尺度復(fù)用）的性能數(shù)據(jù)和圖像，印證小尺度復(fù)用的可行性及性能優(yōu)勢(shì)；最后對(duì)全文內(nèi)容作出總結(jié).

1 三叉樹(shù)和狀態(tài)數(shù)組表示法

二叉樹(shù)作為一種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域的狀態(tài)描述、數(shù)據(jù)處理等方面，如計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間的分配、機(jī)械零件的整理和組裝等[6].三叉樹(shù)的概念源自二叉樹(shù)，它們的性質(zhì)有很多相似之處.這里使用三叉樹(shù)而非二叉樹(shù)來(lái)表示導(dǎo)頻復(fù)用狀態(tài)，是由蜂窩結(jié)構(gòu)的特性所決定的.蜂窩移動(dòng)通信系統(tǒng)在大尺度復(fù)用模式下，單個(gè)小區(qū)內(nèi)的導(dǎo)頻復(fù)用程度相同，即導(dǎo)頻復(fù)用因子一致.如果要求對(duì)小區(qū)內(nèi)的任何用戶而言，本小區(qū)的接收功率至少大于來(lái)自復(fù)用基站的接收功率，那么存在共同邊界的相鄰小區(qū)不允許復(fù)用相同的導(dǎo)頻；這就要求區(qū)群數(shù)不小于3，即復(fù)用因子.設(shè)可用的導(dǎo)頻資源量為F；在區(qū)群數(shù)等于3時(shí)，每個(gè)小區(qū)獲得的導(dǎo)頻資源，該情形可用一個(gè)三叉樹(shù)表示[7].三叉樹(shù)的一行對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)用因子[8]，如圖1所示.

當(dāng)導(dǎo)頻足夠充裕時(shí)，復(fù)用因子可進(jìn)一步降低.如果最初的f1=，那么降低后的復(fù)用因子可以是f1的自然次冪，于是小區(qū)中可能存在的復(fù)用因子為：

該形式仍可用三叉樹(shù)來(lái)表示.如果加入根節(jié)點(diǎn)的一層，三叉樹(shù)的深度為n+1.圖2 顯示出所有小區(qū)復(fù)用因子都等于的情況，每個(gè)小區(qū)獲得的導(dǎo)頻資源.

圖1 三小區(qū)區(qū)群及其三叉樹(shù)（灰度用于區(qū)分不同的導(dǎo)頻資源）Fig.1 Cluster and ternary tree of three cells（gray scale varies for distinct pilot resources）

圖2 九小區(qū)區(qū)群及其三叉樹(shù)（灰色和紋理均用于區(qū)分不同的導(dǎo)頻資源）Fig.2 Cluster and ternary tree of nine cells（gray scale and texture vary for distinct pilot resources）

從圖1 和圖2 可知，當(dāng)各小區(qū)復(fù)用因子一致時(shí)，對(duì)應(yīng)三叉樹(shù)的所有葉節(jié)點(diǎn)都集中于最下層，對(duì)于這種特殊的三叉樹(shù)我們作出如下定義.

定義1 所有葉節(jié)點(diǎn)位于同一層且所有非葉節(jié)點(diǎn)的度均為3 的三叉樹(shù)稱為完美三叉樹(shù)（perfect ternary tree）.

圖1（b）、圖2（b）中的三叉樹(shù)都是完美三叉樹(shù).不同深度的完美三叉樹(shù)之間存在三叉樹(shù)進(jìn)化的過(guò)渡情形，例如一部分小區(qū)采用導(dǎo)頻復(fù)用，另一部分采用導(dǎo)頻復(fù)用，如圖3 所示.

圖3 一種過(guò)渡區(qū)群及其三叉樹(shù)（灰度和紋理均用于區(qū)分不同的導(dǎo)頻資源）Fig.3 A transitional cluster and its ternary tree（gray scale and texture vary for distinct pilot resources）

復(fù)用因子不一致使得對(duì)應(yīng)三叉樹(shù)的葉節(jié)點(diǎn)分布于不同的層，這樣的三叉樹(shù)不再是完美三叉樹(shù).對(duì)蜂窩小區(qū)而言，如果某個(gè)小區(qū)的復(fù)用因子降低一級(jí)，為保證導(dǎo)頻資源的利用率，復(fù)用相同導(dǎo)頻集的其它小區(qū)復(fù)用因子也同樣降低一級(jí).這一性質(zhì)在三叉樹(shù)上表現(xiàn)為，對(duì)樹(shù)中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)而言，如果它不是葉節(jié)點(diǎn)，那么它的子節(jié)點(diǎn)數(shù)目必為最大值3.對(duì)于這種特殊的三叉樹(shù)我們作出如下定義.

定義2 所有節(jié)點(diǎn)的度均為0 或3 的三叉樹(shù)稱為完滿三叉樹(shù)（full ternary tree）.

另一方面，過(guò)渡區(qū)群中每一個(gè)小區(qū)的復(fù)用因子一定是過(guò)渡的兩因子之一；換言之，區(qū)群中不存在三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)用因子，且兩個(gè)復(fù)用因子相鄰.例如，如果區(qū)群的復(fù)用因子在之間過(guò)渡，則不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)小區(qū)有復(fù)用的情況.這一規(guī)律在三叉樹(shù)上體現(xiàn)為葉節(jié)點(diǎn)集中于最下兩層.如果把所有節(jié)點(diǎn)按層數(shù)依次編號(hào)，這種三叉樹(shù)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)與完美三叉樹(shù)對(duì)應(yīng)位置的節(jié)點(diǎn)編號(hào)均相同.對(duì)于這種特殊的三叉樹(shù)我們作出如下定義.

定義3 每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)都與相同深度的完滿三叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)編號(hào)相等的三叉樹(shù)稱為完全三叉樹(shù)（complete ternary tree）.

根據(jù)定義2 和定義3 容易看出，完美三叉樹(shù)既是一種完滿三叉樹(shù)，又是一種完全三叉樹(shù)，它們之間的關(guān)系如圖4 所示.另一方面，“所有的完滿（完全）三叉樹(shù)都是完全（完滿）三叉樹(shù)”是假命題，其反例如圖5（a）（b）所示.

圖4 幾種特殊三叉樹(shù)的包含關(guān)系Fig.4 Relationship among some special types of ternary

大尺度復(fù)用對(duì)應(yīng)的三叉樹(shù)的特殊性在于，它既是完滿三叉樹(shù)，又是完全三叉樹(shù)，但不一定是完美三叉樹(shù).此類非完美三叉樹(shù)的集合對(duì)應(yīng)圖4 中的陰影區(qū)域，示例見(jiàn)圖5（c）.

雖然蜂窩小區(qū)的導(dǎo)頻復(fù)用狀態(tài)和三叉樹(shù)能很好地對(duì)應(yīng)，但過(guò)渡狀態(tài)的存在使三叉樹(shù)的表述依然較復(fù)雜；因此本文將三叉樹(shù)再與一個(gè)狀態(tài)數(shù)組相對(duì)應(yīng).數(shù)組的每一個(gè)元素位置對(duì)應(yīng)樹(shù)的每一層，元素值表示對(duì)應(yīng)層的葉節(jié)點(diǎn)數(shù)，數(shù)組的維度對(duì)應(yīng)樹(shù)的總層數(shù).本文將這種數(shù)組命名為狀態(tài)數(shù)組，它的元素從左至右順次對(duì)應(yīng)樹(shù)的最上層（根節(jié)點(diǎn)）至最下層.這樣一來(lái)導(dǎo)頻復(fù)用狀態(tài)以三叉樹(shù)為媒介轉(zhuǎn)化為一個(gè)狀態(tài)數(shù)組來(lái)表達(dá)，更簡(jiǎn)單明晰.圖1 至圖3 分圖標(biāo)題中的數(shù)組均為狀態(tài)數(shù)組.

為保證使用相同導(dǎo)頻集的小區(qū)（以下簡(jiǎn)稱同導(dǎo)小區(qū)）的分布規(guī)則化，每個(gè)區(qū)群包含小區(qū)數(shù)目K 的值域并不是全體自然數(shù)集，它取值的合理性服從以下定理：

圖5 部分特殊的三叉樹(shù)示例Fig.5 Examples of special ternary trees

定理1 設(shè)每個(gè)區(qū)群由K 個(gè)小區(qū)組成，則K 必然能表達(dá)為i2+ij+j2的形式，其中i、j 為非負(fù)整數(shù)且不同時(shí)為零.

根據(jù)前文所述，本文討論的大尺度復(fù)用因子fn為的自然次冪，為了說(shuō)明fn對(duì)應(yīng)區(qū)群的合理性，這里給出另一個(gè)定理：

定理2 令K 的值域?yàn)镽K，定義集合B={b|b=3n，n∈N}，則有B?RK.

定理2 的證明見(jiàn)附錄，它表明3 的任意整次冪值都是合理的區(qū)群規(guī)模.

2 小尺度復(fù)用機(jī)制

前面提到，小尺度復(fù)用不再遵循小區(qū)內(nèi)復(fù)用因子統(tǒng)一的規(guī)則，不同因子的用戶在小區(qū)中以空間位置為參考進(jìn)行劃分比較現(xiàn)實(shí).從小區(qū)中心基站的位置來(lái)看，整個(gè)小區(qū)置于一個(gè)平面極坐標(biāo)系下，極點(diǎn)為小區(qū)中心的基站，極軸方向人為設(shè)定.對(duì)極坐標(biāo)平面而言，最簡(jiǎn)單的劃分方式有兩種：第一種以極角為依據(jù)[9]，將小區(qū)劃分為若干扇區(qū)，如圖6 中虛線所示.此方式有兩個(gè)弊端，一是受限于有向天線波束成形的指標(biāo)，扇區(qū)數(shù)目一般保持穩(wěn)定，不會(huì)有大的起伏，故而應(yīng)對(duì)用戶量波動(dòng)的能力有限；二是小區(qū)內(nèi)中心用戶與邊緣用戶的通信質(zhì)量原本就有很大差異，而單個(gè)扇區(qū)內(nèi)兩類用戶仍然共存，假如強(qiáng)行統(tǒng)一扇區(qū)內(nèi)用戶的復(fù)用因子，則要么減小了中心用戶導(dǎo)頻的利用率，要么降低了邊緣用戶的通信質(zhì)量.

第二種劃分方式以極徑為依據(jù)[10]，將小區(qū)劃分為若干環(huán)區(qū)，如圖6 中實(shí)線所示.單個(gè)環(huán)區(qū)內(nèi)的用戶與本小區(qū)基站的距離大致相當(dāng)，這就十分有利于以環(huán)區(qū)為單元統(tǒng)一復(fù)用因子.只要能獲得距離信息，環(huán)區(qū)劃分就具有可操作性；并且由于圓環(huán)覆蓋了全部極角，有向天線的波束形狀不會(huì)直接影響環(huán)區(qū)的劃分密度[11].

圖6 小區(qū)內(nèi)部的兩種劃分方式Fig.6 Two schemes of division inside a cell

2.1 支持用戶量

為了更高效地利用導(dǎo)頻，環(huán)區(qū)的劃分隨用戶量的變化而改變.假設(shè)用戶在各小區(qū)里大致均勻分布且流動(dòng)性不高，則可先以一個(gè)大尺度復(fù)用作為初始狀態(tài)，如圖7（a）所示.已知可用的導(dǎo)頻總量為F，單小區(qū)包含最低用戶接入量為U，其取值區(qū)間為（0，F(xiàn)]，則理論上可用的最小復(fù)用因子為.但小區(qū)內(nèi)使用的復(fù)用因子需要滿足式（1）中fn的形式，所以取小區(qū)的初始復(fù)用因子為不小于的最小fn值，記為Cf這也就意味著小區(qū)內(nèi)可能出現(xiàn)的復(fù)用因子數(shù)目最多為

圖7 環(huán)區(qū)劃分的進(jìn)程（灰度用于區(qū)分不同的導(dǎo)頻資源）Fig.7 Process of division by rings（gray scale varies for distinct pilot resources）

在大尺度復(fù)用機(jī)制下，用戶的增加會(huì)抬升小區(qū)內(nèi)統(tǒng)一的復(fù)用因子.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)單小區(qū)內(nèi)用戶量超過(guò)時(shí)，復(fù)用因子將自升至），相應(yīng)能支持的用戶上限為Ul2=F·3Cf當(dāng)單小區(qū)用戶量超過(guò)Ul2時(shí)，復(fù)用因子又從升至，相應(yīng)能支持的用戶上限為Ul3=以此類推，令

結(jié)合式（2）有

換言之，當(dāng)小區(qū)內(nèi)所有用戶的復(fù)用因子都增至最大值1 時(shí)，單小區(qū)的支持用戶量等于可用的導(dǎo)頻資源量，與預(yù)期相符.

但若采用小尺度復(fù)用，隨著用戶的增加，小區(qū)內(nèi)的復(fù)用因子將出現(xiàn)異化.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)單小區(qū)內(nèi)用戶量超過(guò)時(shí)，單一的復(fù)用已不能滿足用戶需求，此時(shí)內(nèi)部區(qū)域出現(xiàn)復(fù)用因子.令R 為小區(qū)半徑，為了在用戶達(dá)到最多時(shí)各復(fù)用因子覆蓋的面積相當(dāng)復(fù)用因子覆蓋的半徑為r2=如圖7（b）所示.

下面計(jì)算圖7（b）的復(fù)用形式能支持的用戶量，當(dāng)小區(qū)用戶量達(dá)到最大值Um2時(shí)，外層用戶量為，占用導(dǎo)頻資源；內(nèi)層用戶量為，占用導(dǎo)頻資源.根據(jù)二者占用的導(dǎo)頻量之和等于總導(dǎo)頻量，列出方程

由此求得

接下來(lái)，當(dāng)小區(qū)用戶量超過(guò)Um2時(shí)，外層覆蓋保持不變，內(nèi)層劃分為次內(nèi)層和最內(nèi)層，如圖7（c）所示.次內(nèi)層環(huán)區(qū)保留原內(nèi)層的復(fù)用因子而劃分后最內(nèi)層的復(fù)用因子增至覆蓋半徑為r3=所以類似地，當(dāng)小區(qū)用戶量達(dá)到最大值Um3時(shí)，根據(jù)三者占用的導(dǎo)頻量之和等于總導(dǎo)頻量，列出方程：

以此類推，每次新的劃分都將原最內(nèi)層分為次內(nèi)層和新最內(nèi)層；次內(nèi)層繼承原最內(nèi)層的復(fù)用因子，新最內(nèi)層的復(fù)用因子則擴(kuò)大3 倍.換言之，當(dāng)小區(qū)內(nèi)部被劃分為α 個(gè)區(qū)域時(shí)（α∈{1，2，…，Nf}），小區(qū)最內(nèi)層的復(fù)用因子達(dá)到最內(nèi)層半徑rα=根據(jù)各區(qū)域占用的導(dǎo)頻量之和等于總導(dǎo)頻量，列出方程：

由此求得對(duì)應(yīng)的支持用戶量

結(jié)合式（2）有

這就是小尺度復(fù)用模式下單小區(qū)的支持用戶量.

2.2 復(fù)雜度

在支持用戶量的范圍內(nèi)，每個(gè)用戶在進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)即會(huì)被分配導(dǎo)頻資源，設(shè)一次該分配的復(fù)雜度為θu，則當(dāng)大尺度復(fù)用的用戶從U 增至最大值Ul，max的過(guò)程中，累積復(fù)雜度為：

而小尺度復(fù)用的用戶從U 增至最大值Um，max的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的累積復(fù)雜度由兩部分構(gòu)成.一部分和大尺度復(fù)用的思路類似，即用戶在小區(qū)內(nèi)環(huán)區(qū)劃分無(wú)變化的各個(gè)區(qū)間內(nèi)，累積復(fù)雜度是

另一部分為小尺度復(fù)用所特有.在環(huán)區(qū)數(shù)發(fā)生變化的時(shí)刻，一部分用戶因復(fù)用因子改變而被重新分配了導(dǎo)頻.設(shè)這樣的一次重分配引入的復(fù)雜度為θp，而環(huán)區(qū)數(shù)從α 增至α+1（α∈{1，2，…，Nf-1}）時(shí)需要重分配的導(dǎo)頻量為Jα，則該部分的累積復(fù)雜度是

環(huán)區(qū)數(shù)每增加1，對(duì)應(yīng)中心區(qū)域的復(fù)用因子擴(kuò)大3 倍，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻資源從其釋放出的導(dǎo)頻量即為需要重分配的導(dǎo)頻量Jα，故而

對(duì)應(yīng)的小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)恰為Umα，由式（12）得

根據(jù)以上分析，小尺度復(fù)用的累積復(fù)雜度為

因?yàn)橥ǔＳ笑萷＞＞θu，所以ol＜o(jì)m，即大尺度復(fù)用的復(fù)雜度低于小尺度復(fù)用的復(fù)雜度.

2.3 信干噪比和信道容量

通信系統(tǒng)對(duì)用戶的服務(wù)除了考慮數(shù)量外還需考慮質(zhì)量，所以我們?cè)谥С钟脩袅恐蠼又懻撚脩羰艿降母蓴_情況.干擾程度與干擾傳播的距離密切相關(guān).首先來(lái)面對(duì)大尺度復(fù)用的場(chǎng)景.設(shè)小區(qū)內(nèi)任一用戶與本小區(qū)基站相距din，與同導(dǎo)小區(qū)基站相距dout.則小區(qū)內(nèi)用戶的同導(dǎo)頻復(fù)用距離比（以下簡(jiǎn)稱復(fù)距比）為：

用戶與特定基站間存在大尺度衰落系數(shù).與隸屬基站的大尺度衰落系數(shù)為：

與同導(dǎo)小區(qū)的大尺度衰落系數(shù)為：

式（23）（24）中γ 是路徑損耗指數(shù)，它在不同環(huán)境下的經(jīng)驗(yàn)值如表1 所示[12].

表1 部分路徑損耗指數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值Tab.1 Empirical values of some path-loss exponents

式（23）中的zin、式（24）中的zout分別對(duì)應(yīng)本小區(qū)目標(biāo)用戶和同導(dǎo)小區(qū)干擾用戶的陰影衰落因子，它們服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布[13]，即

式中：μ 為ln z 的期望值，陰影衰落帶給ln z 的標(biāo)準(zhǔn)差由σ 表示.本文將其簡(jiǎn)化為μ=0，σ=σS的情況，故zin和zout的概率密度函數(shù)變?yōu)?/p>

有了大尺度衰落系數(shù)，信干噪比可表示為

在區(qū)群規(guī)模已知的條件下，同導(dǎo)小區(qū)間的最小距離由如下定理給出：

定理3 在標(biāo)準(zhǔn)蜂窩小區(qū)覆蓋下，令小區(qū)半徑為R；如果每個(gè)區(qū)群由K 個(gè)小區(qū)組成，基站都位于所在小區(qū)的中心，那么本小區(qū)與其同導(dǎo)小區(qū)基站之間的最小距離為

對(duì)于足夠大的平面內(nèi)的任一小區(qū)，滿足定理3中最小距離的同導(dǎo)小區(qū)有6 個(gè)，且均勻分布于本小區(qū)周圍（如圖8）.前面提到，若存在共同邊界的相鄰小區(qū)不允許復(fù)用相同的導(dǎo)頻，則K≥3.這時(shí)用戶和隸屬基站的坐標(biāo)差對(duì)同導(dǎo)小區(qū)而言可忽略；換言之，同導(dǎo)小區(qū)與本小區(qū)內(nèi)用戶的距離，可以近似為本小區(qū)基站與該同導(dǎo)小區(qū)基站間的距離.因此定理3 中的最小距離也成為干擾作用距離.有了這個(gè)前提，就容易求出dout和βout.

圖8 相鄰?fù)瑢?dǎo)小區(qū)的分布示例（K=13 的情形，各陰影蜂窩互為同導(dǎo)小區(qū)）Fig.8 Distribution of adjacent pilot-shared cells（case of K=13，cells in shadow share pilots）

再由式（27）可求得信干噪比：

根據(jù)信干噪比和信道容量的關(guān)系[14]，結(jié)合式（28）可得出邊緣信道容量：

式中：ξ 為導(dǎo)頻傳輸引發(fā)的頻譜效率的衰減度，且ξ∈[0，1].

大尺度復(fù)用場(chǎng)景是小尺度復(fù)用場(chǎng)景的基礎(chǔ).一旦各小區(qū)引入小尺度復(fù)用，就需要對(duì)前述大尺度復(fù)用算法作出改進(jìn).小尺度復(fù)用的環(huán)區(qū)中各用戶與本小區(qū)基站的距離大致相當(dāng)，但不同環(huán)區(qū)間用戶的平均接收功率有明顯差別.

如果傳輸距離d 介于3 m 和100 m 之間，載波中心頻率fc介于2 GHz 和6 GHz 之間，那么當(dāng)傳輸場(chǎng)景開(kāi)闊、傳輸介質(zhì)為空氣時(shí)，普通用戶密度區(qū)域路徑損耗的經(jīng)驗(yàn)公式為[15]：

若用戶密度升高，則熱點(diǎn)區(qū)域路徑損耗的經(jīng)驗(yàn)公式為[15]：

式（31）中的LN、LH均以dB 為單位.

設(shè)基站發(fā)射功率為Q，結(jié)合式（31）可知接收功率分別為：

小區(qū)內(nèi)各環(huán)區(qū)對(duì)應(yīng)各自的復(fù)用因子.如果一個(gè)環(huán)區(qū)的內(nèi)半徑為rx，外半徑為ry，則該環(huán)區(qū)內(nèi)用戶的平均接收功率分別為：

按前文的設(shè)定，忽略環(huán)區(qū)內(nèi)各處與同導(dǎo)小區(qū)的距離差別和d3，out之外同導(dǎo)小區(qū)的影響，則環(huán)區(qū)內(nèi)用戶的平均干擾功率為：

式（34）中的di，out對(duì)應(yīng)式（31）中的d.根據(jù)前文的論述，已有因而環(huán)區(qū)內(nèi)的平均信道容量分別為：

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真思路

無(wú)論大尺度復(fù)用還是小尺度復(fù)用，用戶量都會(huì)直接影響系統(tǒng)的復(fù)用狀態(tài).當(dāng)用戶量變化時(shí)，根據(jù)最低用戶接入量、導(dǎo)頻總量等預(yù)設(shè)參量可獲得小區(qū)內(nèi)的環(huán)區(qū)劃分程度、復(fù)用因子等指標(biāo).該過(guò)程用抽象代碼描述為下列算法1（大尺度復(fù)用）和算法2（小尺度復(fù)用）.

3.2 仿真結(jié)果與分析

本文以4G+/5G 系統(tǒng)作為仿真平臺(tái)，技術(shù)設(shè)計(jì)中的大部分輸出參數(shù)來(lái)自對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)[15-16].對(duì)標(biāo)準(zhǔn)中尚未明確的參量，則使用接近實(shí)際系統(tǒng)的一個(gè)可行值（見(jiàn)表2）.

如果導(dǎo)頻數(shù)F=16 384，單小區(qū)內(nèi)初始用戶數(shù)U0=500，可得為小區(qū)的初始復(fù)用因子，可能出現(xiàn)的復(fù)用因子最多有Nf=4 種.

大尺度復(fù)用：根據(jù)式（3）可以計(jì)算出Ul1≈606.8，Ul2≈1 820.4，Ul3≈5 461.3，Ul4≈16 384.用戶量位于不同區(qū)間時(shí)，各復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比見(jiàn)表3.

表2 部分輸入?yún)?shù)Tab.2 Some input parameters

表3 不同用戶量下各大尺度復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比（Nf=4）Tab.3 Ratios of large-scale reuse factors in pilot resource by user's quantity（Nf=4）

小尺度復(fù)用：根據(jù)式（7）（9）（12）計(jì)算出Um1≈606.8，Um2≈1 213.6，Um3≈1 560.4，Um4≈1 638.4.用戶量位于不同區(qū)間時(shí)，各復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比見(jiàn)表4.

表4 不同用戶量下各小尺度復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比（Nf=4）Tab.4 Ratios of small-scale reuse factors in pilot resource by user's quantity（Nf=4）

如果導(dǎo)頻數(shù)F=16 384，單小區(qū)內(nèi)初始用戶數(shù)U0=50，可得為小區(qū)的初始復(fù)用因子，可能出現(xiàn)的復(fù)用因子最多有Nf=6 種.

大尺度復(fù)用：根據(jù)式（3）可以計(jì)算出Ul1≈67.4，Ul2≈202.3，Ul3≈606.8，Ul4≈1 820.4，Ul5≈5 461.8，Ul6≈16 384.用戶量位于不同區(qū)間時(shí)，各復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比見(jiàn)表5.

小尺度復(fù)用：根據(jù)式（7）（9）（12）計(jì)算出Um1≈67.4，Um2≈151.7，Um3≈227.6，Um4≈260.1，Um5≈268.6，Um6≈270.1.用戶量位于不同區(qū)間時(shí)，各復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比見(jiàn)表6.

表5 不同用戶量下各大尺度復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比（Nf=6）Tab.5 Ratios of large-scale reuse factors in pilot resource by user's quantity（Nf=6）

表6 不同用戶量下各小尺度復(fù)用因子在導(dǎo)頻資源中的占比（Nf=6）Tab.6 Ratios of small-scale reuse factors in pilot resource by user's quantity（Nf=6）

圖9 和圖10 顯示出導(dǎo)頻資源占有量隨用戶量的變化，其中“復(fù)用因子冪值”k 對(duì)應(yīng)的復(fù)用因子為3k.從圖9 可知對(duì)大尺度復(fù)用的任一用戶量而言，有且僅有一個(gè)復(fù)用因子對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻資源占有量非零，這印證了大尺度復(fù)用下小區(qū)內(nèi)部各處復(fù)用程度的一致性.也正是由于這一特征，各復(fù)用因子的非零區(qū)間量值呈現(xiàn)正比于用戶量的增長(zhǎng)態(tài)勢(shì).

圖9 大尺度復(fù)用下的導(dǎo)頻資源占有量（導(dǎo)頻資源量1 024）Fig.9 Utilisation of pilot resources in large-scale reuse mode（1 024 pilots in total）

圖10 小尺度復(fù)用下的導(dǎo)頻資源占有量（導(dǎo)頻資源量1 024）Fig.10 Utilisation of pilot resources in small-scale reuse mode（1 024 pilots in total）

圖10 中各復(fù)用因子占用的導(dǎo)頻資源量隨用戶量的增大而階段性增大（模式變更處存在量值跳變），但多種復(fù)用因子可以在同一用戶量下并存，這與小尺度復(fù)用的特征相符，并且并存的復(fù)用因子種類隨用戶量的增大而增多.還有一個(gè)明顯的區(qū)別是：用戶越多，圖9 中的高復(fù)用因子（低冪值）的資源占有量越大，而圖10 中的低復(fù)用因子（高冪值）的資源占有量越大，其原因是低復(fù)用因子對(duì)導(dǎo)頻的利用率較低，只能通過(guò)占用更多導(dǎo)頻來(lái)支持同等的用戶量.

小尺度復(fù)用中的復(fù)用因子和環(huán)區(qū)對(duì)應(yīng)，因而各復(fù)用因子的信干噪比可表示各對(duì)應(yīng)環(huán)區(qū)的信干噪比；相比而言，大尺度復(fù)用可視作其中一個(gè)特例，將整個(gè)小區(qū)作為一個(gè)環(huán)區(qū)來(lái)處理.傳輸質(zhì)量是小尺度復(fù)用的一項(xiàng)重要優(yōu)勢(shì).圖11 比較了大尺度復(fù)用和小尺度復(fù)用的信干噪比指標(biāo).根據(jù)導(dǎo)頻復(fù)用的定義，不同環(huán)區(qū)的導(dǎo)頻復(fù)距比互異，所以它們的信干噪比隨復(fù)用因子的增大而下降；對(duì)于某一確定的復(fù)用因子而言，小尺度復(fù)用的信干噪比高于大尺度復(fù)用，這證實(shí)了小尺度復(fù)用對(duì)傳輸質(zhì)量有明顯的提升作用.

圖11 不同小區(qū)/環(huán)區(qū)的信干噪比（導(dǎo)頻資源量8 192）Fig.11 SINR in distinct cells/rings（8 192 pilots in total）

圖12 顯示出信道容量隨環(huán)區(qū)的內(nèi)縮而降低，該趨勢(shì)亦源自導(dǎo)頻復(fù)距比，在低復(fù)用因子部分體現(xiàn)得尤為明顯.假如不考慮復(fù)用距離，那么隨著復(fù)用因子增大，環(huán)區(qū)內(nèi)縮，有用信號(hào)增強(qiáng)，進(jìn)而促使信干噪比和信道容量提升.這種假設(shè)與圖11、12 中的實(shí)測(cè)特性不符；可見(jiàn)，在環(huán)區(qū)小尺度復(fù)用機(jī)制下，導(dǎo)頻復(fù)距比對(duì)通信質(zhì)量的影響力大于有用信號(hào)的傳輸距離.

圖12 不同小區(qū)/環(huán)區(qū)的信道容量（導(dǎo)頻資源量8 192）Fig.12 Channel capacity of distinct cells/rings（8 192 pilots in total）

用戶量會(huì)影響小尺度復(fù)用的模式，故而不同用戶量下的信干噪比和支持用戶量均存在差異.圖13中的最大SINR 圖線、圖14 中的最大容量圖線對(duì)應(yīng)理想?yún)⒖贾?，受用戶量的影響很?從圖13 可以看出最小SINR 和平均SINR 圖線都隨用戶增加而下降，圖14 中的最小信道容量和平均信道容量有相同的趨勢(shì)，且用戶量越大，信道容量降低得越明顯.可見(jiàn)對(duì)于小尺度復(fù)用而言，達(dá)到或接近理想狀態(tài)的用戶占比很少，大多數(shù)用戶受復(fù)用距離縮短的影響，通信質(zhì)量明顯低于最優(yōu).如果對(duì)小尺度復(fù)用模式下的通信質(zhì)量有較高要求，就必須嚴(yán)格控制用戶量.

圖13 信干噪比隨用戶量的變化（導(dǎo)頻資源量8 192）Fig.13 Variation of SINR by user′s quantity（8 192 pilots in total）

圖14 信道容量隨用戶量的變化（導(dǎo)頻資源量8 192）Fig.14 Variation of channel capacity by user′s quantity（8 192 pilots in total）

4 結(jié)論

小尺度導(dǎo)頻復(fù)用方案是在現(xiàn)有的大尺度復(fù)用方案基礎(chǔ)上改進(jìn)而成，它繼承了大尺度復(fù)用里提高導(dǎo)頻利用率的總體目標(biāo)，在小區(qū)內(nèi)部打破復(fù)用因子的統(tǒng)一性，根據(jù)用戶位置分配不同的導(dǎo)頻復(fù)用因子.與傳統(tǒng)的扇區(qū)分割法相比，本文使用的環(huán)區(qū)策略以有用信號(hào)的傳輸距離為關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行環(huán)區(qū)分割，環(huán)區(qū)數(shù)量靈活，分配的復(fù)用因子能有效應(yīng)對(duì)不同用戶的通信質(zhì)量.

為了能夠簡(jiǎn)便而清晰地表示小尺度導(dǎo)頻復(fù)用方案，本文以三叉樹(shù)為橋梁將復(fù)用狀態(tài)與狀態(tài)數(shù)組聯(lián)系起來(lái)，這就極大地方便了計(jì)算機(jī)仿真環(huán)境實(shí)施環(huán)區(qū)規(guī)劃.從仿真結(jié)果可知，在導(dǎo)頻資源受限的條件下，用戶量的增大會(huì)降低通信質(zhì)量，且仍須通過(guò)提高總體復(fù)用程度來(lái)應(yīng)對(duì)，這方面與預(yù)期相符.但與大尺度復(fù)用相比，小尺度復(fù)用的信道質(zhì)量較高，對(duì)導(dǎo)頻復(fù)用程度的調(diào)節(jié)更為細(xì)致；它以低復(fù)用因子來(lái)彌補(bǔ)小區(qū)邊緣用戶所受干擾較強(qiáng)的缺陷，同時(shí)提高小區(qū)中心用戶的復(fù)用程度以節(jié)約導(dǎo)頻資源.另外通過(guò)仿真還可看出，導(dǎo)頻復(fù)距比對(duì)環(huán)區(qū)用戶通信質(zhì)量的總體影響明顯，因此在實(shí)際應(yīng)用小尺度復(fù)用方案時(shí)，需要合理地設(shè)計(jì)區(qū)群規(guī)模，科學(xué)地在小區(qū)內(nèi)進(jìn)行環(huán)區(qū)劃分，以更好地體現(xiàn)該方案的優(yōu)勢(shì).

附 錄

設(shè)K 的值可由多項(xiàng)式p2+pq+q2計(jì)算得出，其中p、q 為非負(fù)整數(shù)且不同時(shí)為零；同時(shí)定義集合B={b|b=3n，n∈N}.若令K 的值域?yàn)镽K，求證：B?RK.

證明：根據(jù)n 的奇偶性，分兩種情況討論.

①當(dāng)n 為正奇數(shù)時(shí)，令n=2k-1，k∈N，這時(shí)有

b1=32k-1=3·32（k-1）=（3k-1）2+（3k-1）2+（3k-1）2

若令p1=q1=3k-1，則

所以

②當(dāng)n 為正偶數(shù)時(shí)，令n=2k，k∈N 這時(shí)有

b2=32k=（3k）2

若令p2=3k，q2=0，則仍有

所以

將以上兩種情況合并，得到B=B1∪B2?RK；最后，易舉出RK中的很多元素不屬于集合B（如自然數(shù)4、7 等），因此B?RK.

證畢.