張新燕， 劉 釗， 李金玖， 王沐晨， 張 珺， 李立州*

(1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 太原 030051； 2.太原學(xué)院數(shù)學(xué)系， 太原 030001)

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)中，存在著隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子葉排和與機(jī)匣連接靜止不動(dòng)的靜子葉排交錯(cuò)排列，兩者之間存在軸向間隙。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，轉(zhuǎn)子葉排與靜子葉排之間產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，上游葉排的葉片尾流相對(duì)于下游葉排的葉片是一種隨時(shí)間變化的非定常流動(dòng)，會(huì)迫使下游流場(chǎng)的葉片發(fā)生振動(dòng)，這是導(dǎo)致葉片疲勞損壞的原因之一。同時(shí)一些研究發(fā)現(xiàn)上游尾流也會(huì)影響下游葉片的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性和顫振特性，影響葉片使用壽命[1-3]。因此，準(zhǔn)確快速地預(yù)測(cè)上游尾流激勵(lì)下的下游葉片氣動(dòng)力對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)具有十分重要的意義。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics，CFD)方法成為研究葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)問題的一種有效技術(shù)途徑，但在應(yīng)用時(shí)一些問題也隨之而來，CFD方法在計(jì)算相對(duì)復(fù)雜的模型時(shí)計(jì)算時(shí)間十分長(zhǎng)、計(jì)算效率較低[4-7]。為解決這些問題，Dowell[4]和Silva[5]提出了基于CFD技術(shù)的非定常氣動(dòng)力降階模型(ROM)理論，在一定程度上代替了CFD方法研究非線性氣動(dòng)彈性問題，同時(shí)也在不低于CFD計(jì)算精度的情況下具有計(jì)算效率高、計(jì)算時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)[13]。目前用于降階模型的主要有諧波平衡法[7](harmonic balance，HB)、Volterra級(jí)數(shù)法[6]、本征正交分解技術(shù)(proper orthogonal decomposition，POD)[13]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[14-16]方法等。李立州等[6,17]利用基于系統(tǒng)辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)方法建立尾流激勵(lì)葉片氣動(dòng)力的降階模型，可以較準(zhǔn)確地描述下游葉片氣動(dòng)力振蕩情況。羅驍[7]等提出了基于諧波平衡法的尾流激勵(lì)的葉片振動(dòng)降階模型方法，算例表明該方法可以快速分析葉片氣動(dòng)力下的振動(dòng)特性。近年來，越來越多的研究者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于非定常氣動(dòng)力降階模型的建模。Marques等[8]采用多層函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法辨識(shí)二維翼型的非定常氣動(dòng)力，算例表明在有限的馬赫數(shù)范圍下該方法具有良好的預(yù)測(cè)能力。Diaconescu等[9]采用NARX遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)混沌時(shí)間序列。王博斌等[10]運(yùn)用帶輸出反饋的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立非線性氣動(dòng)力模型，預(yù)測(cè)了氣動(dòng)力系數(shù)以及極限環(huán)顫振響應(yīng)。Kou等[18]基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出了一種多核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的降階模型方法，并將其應(yīng)用于非線性非定常氣動(dòng)力問題。

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于上游尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)問題。選擇二維葉片模型作為算例，采用CFD計(jì)算模型獲得訓(xùn)練信號(hào)和測(cè)試信號(hào)，分別用誤差反向傳播(back propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和帶外部輸入的非線性自回歸(nonlinear autoregre-ssive with external input，NARX)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立隨機(jī)尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力模型，預(yù)測(cè)不同振幅的隨機(jī)尾流激勵(lì)和周期尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力，并與CFD模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，來進(jìn)一步驗(yàn)證比較兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的性能。

1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)力建模

目前在系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，主要由輸入層、隱含層和輸出層組成[14-15]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)過程通過信號(hào)的正向傳播與誤差的反向傳播來進(jìn)行，輸入信號(hào)從輸入層進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過隱含層處理和傳播，進(jìn)入輸出層；若輸出層的結(jié)果與期望結(jié)果不同，則進(jìn)入誤差的反向傳播過程，將誤差傳遞給各層進(jìn)行權(quán)值調(diào)整，直至誤差達(dá)到預(yù)先設(shè)定的值，整個(gè)學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程結(jié)束。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前向靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，無法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相當(dāng)于是在BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上引入輸入延遲和輸出反饋。

以二維葉片作為算例(圖1)，該葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)中，輸入為尾流激勵(lì)壓力波，輸出為葉片氣動(dòng)力(升力為C′l、阻力為C′d、力矩為C′m)，尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)用行波法可簡(jiǎn)化表示為：{Cl(t),Cd(t),Cm(t)}=ψ{P(t)}(具體簡(jiǎn)化過程參見文獻(xiàn)[6])。其中ψ表示葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)中輸入壓力與輸出氣動(dòng)力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，P(t)表示t時(shí)刻的進(jìn)口總壓。

采用圖2所示的單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建立尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)模型。其中，輸入神經(jīng)元個(gè)數(shù)為p，隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為l，輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為q，輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值為v，隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值為w。

考慮到葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)弱非線性系統(tǒng)，在模型的輸入層引入輸入量的延遲，以時(shí)變尾流的進(jìn)口總壓P及其m階延遲量作為模型輸入xk(xk={Pk,Pk-1,…,Pk-m′}T)，分別以氣動(dòng)升力系數(shù)(Cl)、阻力系數(shù)(Cd)和力矩系數(shù)(Cm)作為模型輸出yk。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般采用Sigmoid函數(shù)作為隱含層傳遞函數(shù)，輸出層傳遞函數(shù)采用線性函數(shù)。那么，第j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的輸出可表示為

(1)

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一般結(jié)構(gòu)Fig.2 General schematic of BP neural network

則第j個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)的輸出可表示為

(2)

在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上引入輸入延遲和輸出反饋，得到圖3所示的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其表達(dá)式為

y(k)=f[y(k-1),y(k-2),…,y(k-n),x(k),x(k-1),x(k-2),…,x(k-m′)]

(3)

式(3)中：y(k)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出向量;n為輸出向量反饋延遲長(zhǎng)度;x(k)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的外部輸入向量;m′為外部輸入向量的延遲長(zhǎng)度;k為離散時(shí)間，k=1,2,…,N;f表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

圖3 NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一般結(jié)構(gòu)Fig.3 General schematic of NARX neural network

采用NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)模型，采用串并聯(lián)形式，以時(shí)變尾流的進(jìn)口總壓P作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的外部輸入，分別以氣動(dòng)升力系數(shù)(Cl)、阻力系數(shù)(Cd)和力矩系數(shù)(Cm)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。當(dāng)采用NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算葉片氣動(dòng)升力系數(shù)時(shí)，模型的輸入可以表示為{Pk,Pk-1,…,Pk-m′,Cl(k-1),Cl(k-2),…,Cl(k-n)}T；計(jì)算葉片氣動(dòng)阻力系數(shù)時(shí)，模型的輸入可表示為{Pk,Pk-1,…,Pk-m′,Cd(k-1),Cd(k-2),…,Cd(k-n)}T；計(jì)算葉片氣動(dòng)力矩系數(shù)時(shí)，輸入可表示為{Pk,Pk-1,…,Pk-m′,Cm(k-1),Cm(k-2),…,Cm(k-n)}T。

采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型辨識(shí)尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力的一般工作步驟如下。

(1)通過CFD模型計(jì)算不同尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力。

(2)選取其中一組尾流及氣動(dòng)力數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以尾流壓力波作為模型輸入，葉片氣動(dòng)力作為模型輸出，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。

(3)使用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來預(yù)測(cè)其他尾流下的葉片氣動(dòng)力，并與 CFD 計(jì)算下的氣動(dòng)力結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)一步驗(yàn)證該降階模型的性能。

2 算例分析

采用流場(chǎng)CFD模型(圖4)計(jì)算這兩組尾流壓力波在不同振幅時(shí)的葉片氣動(dòng)力，作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測(cè)試數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)兩組不同的尾流壓力波作為系統(tǒng)模型的輸入，分別為隨機(jī)尾流壓力波(圖5)和周期尾流壓力波(圖6)。二維葉片流場(chǎng)系統(tǒng)采用FLUENT進(jìn)行求解，設(shè)置穩(wěn)態(tài)出口壓力為101 325 Pa，理想氣體，計(jì)算模型為Spallart-Allmaras，計(jì)算初始溫度300 K。尾流壓力波以10 m/s的速度沿著進(jìn)口y方向移動(dòng)。

首先用一組隨機(jī)尾流壓力波及其葉片氣動(dòng)力作為系統(tǒng)模型的輸入輸出，對(duì)比驗(yàn)證BP網(wǎng)絡(luò)和NARX

圖4 二維葉片CFD模型Fig.4 CFD model of two-dimensional blade

圖5 隨機(jī)尾流壓力波Fig.5 Random wake pressure waves

圖6 周期尾流壓力波Fig.6 Periodic wake pressure waves

網(wǎng)絡(luò)的性能。如圖5所示，設(shè)計(jì)一組減去穩(wěn)態(tài)壓力值的隨機(jī)尾流激勵(lì)壓力波數(shù)據(jù)，即尾流壓力波增量為ΔP(t)=random(t)5 000-2 500，單位：Pa。選定尾流壓力波的穩(wěn)態(tài)進(jìn)口總壓為120 500 Pa，采用CFD模型計(jì)算不同振幅的隨機(jī)尾流壓力波時(shí)[P=βΔP(t)]的葉片氣動(dòng)力系數(shù)，振幅系數(shù)(β)分別取為1.0、0.7、0.5、0.3、0.1、0.05。選擇β=0.5的隨機(jī)尾流壓力波及其葉片氣動(dòng)力作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練信號(hào)，測(cè)試信號(hào)為β=1.0、0.7、0.3、0.1、0.05的尾流壓力波及其葉片氣動(dòng)力。為了減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間，使用zscore函數(shù)對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模時(shí)，引入輸入延遲階數(shù)m′=20，設(shè)置隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為300；采用NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模時(shí)，引入輸入延遲階數(shù)m′=5，輸出反饋延遲階數(shù)n′=5，設(shè)置隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為10；BP和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法均采用LM算法。首先用訓(xùn)練信號(hào)分別對(duì)BP網(wǎng)絡(luò)和NARX網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，用訓(xùn)練好的BP網(wǎng)絡(luò)和NARX網(wǎng)絡(luò)模型分別對(duì)測(cè)試信號(hào)的葉片氣動(dòng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)，將測(cè)試信號(hào)的結(jié)果與CFD計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7～圖11所示。

圖7～圖11中，黑色點(diǎn)線基本被紅色點(diǎn)線所覆蓋，說明NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)葉片氣動(dòng)力的辨識(shí)結(jié)果與CFD模型計(jì)算結(jié)果幾乎一致，用隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練得到的NARX網(wǎng)絡(luò)能夠較好地辨識(shí)不同振幅隨機(jī)尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力。用隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練得到的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)葉片氣動(dòng)力，從圖7～圖11可以看出，在0～0.01 s這一時(shí)間段內(nèi)藍(lán)色點(diǎn)線與黑色點(diǎn)線均有明顯偏差，振幅系數(shù)β=1.0、0.7、0.3、0.1、0.05的葉片氣動(dòng)力預(yù)測(cè)結(jié)果較好，振幅系數(shù)β=0.1、0.05的葉片氣動(dòng)力預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大，說明用隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練得到的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)于一定范圍內(nèi)不同振幅的隨機(jī)尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力具有較好的預(yù)測(cè)能力，但其對(duì)于初始沖擊階段的葉片氣動(dòng)力預(yù)測(cè)效果較差。

圖7 測(cè)試信號(hào)β=1.0的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of the aerodynamic results when β=1.0

圖10 測(cè)試信號(hào)β=0.1的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of the aerodynamic results when β=0.1

圖11 測(cè)試信號(hào)β=0.05的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of the aerodynamic results when β=0.05

從算例可知，用隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練得到的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能很好地辨識(shí)不同振幅隨機(jī)尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力，不僅能較好地辨識(shí)振蕩階段的葉片氣動(dòng)力，也能較好地辨識(shí)初始沖擊階段的葉片氣動(dòng)力；而用隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練得到的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)能力有限。

為了進(jìn)一步探究BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)于不同尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力的辨識(shí)效果及泛化能力，仍使用上面算例中經(jīng)β=0.5時(shí)的隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練過的BP和NARX網(wǎng)絡(luò)，來辨識(shí)周期性尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力。

設(shè)計(jì)如圖6所示的尾流壓力波增量ΔP(t)，該波形不包含穩(wěn)態(tài)壓力，ΔP(t)是具有周期性的一組數(shù)據(jù)。探究隨機(jī)信號(hào)訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型辨識(shí)不同振幅時(shí)周期性尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力特性。尾流穩(wěn)態(tài)進(jìn)口總壓仍為120 500 Pa，采用CFD模型計(jì)算振幅系數(shù)β=0.8、0.2、0.05的周期尾流壓力波Δp′(t)激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力系數(shù)，并以此作為測(cè)試信號(hào)，用隨機(jī)信號(hào)訓(xùn)練的BP和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行辨識(shí)。β=0.8、0.2、0.05時(shí)的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)結(jié)果如圖12～圖14所示，并在圖中給出了CFD模型計(jì)算的氣動(dòng)力進(jìn)行對(duì)比。

圖12～圖14中可以明顯看出，紅色點(diǎn)線依然與黑色點(diǎn)線重合，說明用隨機(jī)信號(hào)訓(xùn)練的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能很好地辨識(shí)不同振幅的周期尾流壓力波激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力；然而，藍(lán)色點(diǎn)線已經(jīng)與黑色點(diǎn)線完全偏離，說明用隨機(jī)信號(hào)訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)于不同振幅的周期性尾流壓力波激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力無法準(zhǔn)確辨識(shí)。

從上述兩個(gè)算例結(jié)果看，經(jīng)訓(xùn)練得到的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于尾流激勵(lì)下葉片氣動(dòng)力的辨識(shí)能力更強(qiáng)，計(jì)算精度更高。NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)過一次訓(xùn)練，就可以辨識(shí)不同振幅下隨機(jī)尾流壓力波激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力以及不同振幅下周期尾流壓力波激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力。而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)過隨機(jī)尾流信號(hào)訓(xùn)練后，只能辨識(shí)一定范圍內(nèi)的不同振幅下隨機(jī)尾流壓力波激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力且精度一般。

圖12 測(cè)試信號(hào)β=0.8的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of the aerodynamic results when β=0.8

圖13 測(cè)試信號(hào)β=0.2的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison of the aerodynamic results when β=0.2

圖14 測(cè)試信號(hào)β=0.05的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Fig.14 Comparison of the aerodynamic results when β=0.05

3 結(jié)論

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，分別建立了尾流壓力波激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)模型，并探究了這兩種氣動(dòng)力辨識(shí)模型對(duì)于不同振幅隨機(jī)尾流壓力波激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力以及不同振幅周期尾流壓力波激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力的辨識(shí)精度。二維葉片流場(chǎng)的兩個(gè)算例表明：基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立的尾流激勵(lì)葉片氣動(dòng)力辨識(shí)模型，需要選擇合適的訓(xùn)練信號(hào)來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，才能預(yù)測(cè)一定范圍內(nèi)的尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力特性，該氣動(dòng)力辨識(shí)模型對(duì)于尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)效果一般，有一定的局限性?；贜ARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的尾流激勵(lì)葉片氣動(dòng)力辨識(shí)模型，經(jīng)過一次訓(xùn)練后，就可以辨識(shí)不同振幅的尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力，其辨識(shí)結(jié)果與CFD 計(jì)算結(jié)果基本一致，該氣動(dòng)力辨識(shí)模型對(duì)于尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力辨識(shí)精度高，泛化能力強(qiáng)。