奚之飛，徐安，寇英信，李戰(zhàn)武，楊愛武

空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院，西安 710038

軌跡預(yù)測是根據(jù)目標(biāo)的歷史運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)習(xí)和推理其包含的內(nèi)在信息，進(jìn)而對目標(biāo)未來的運(yùn)動(dòng)趨勢作出合理推測的過程。在空空對抗作戰(zhàn)過程中，對敵方目標(biāo)的機(jī)動(dòng)軌跡作出合理的預(yù)測具有重要意義。基于包伊德循環(huán)(Observe、Orientation、Decide and Act，OODA)理論可知，空戰(zhàn)取勝的關(guān)鍵是先敵形成OODA環(huán)，從而對敵實(shí)現(xiàn)“先敵發(fā)現(xiàn)”“先敵調(diào)整”“先敵決策”以及“先敵攻擊”，達(dá)到先發(fā)制人的目的[1]，實(shí)現(xiàn)這一系列行為的基礎(chǔ)是對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)精確預(yù)測，故研究目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測具有重要意義。

近幾年，對于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測方法的研究方向主要分為兩大類。一類是側(cè)重于卡爾曼濾波算法的傳統(tǒng)預(yù)測方法?？柭鼮V波算法能夠?qū)δ繕?biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)并且能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)和預(yù)測，適用于有限維度的線性和非線性的目標(biāo)時(shí)空運(yùn)動(dòng)軌跡。例如文獻(xiàn)[2]針對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式變化多以及機(jī)動(dòng)幅度較大的情況，提出一種基于多項(xiàng)式卡爾曼濾波的運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)測算法；文獻(xiàn)[3]針對歷史位置信息存在缺失的情況，提出一種具有系統(tǒng)噪聲估計(jì)的改進(jìn)卡爾曼濾波算法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測；文獻(xiàn)[4]針對傳統(tǒng)軌跡預(yù)測算法已無法滿足高精度和實(shí)時(shí)性預(yù)測要求，提出一種基于卡爾曼濾波的動(dòng)態(tài)軌跡預(yù)測算法；文獻(xiàn)[5]針對精確高階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型存在的高度非線性，數(shù)據(jù)處理難度大以及預(yù)測精度低等問題，提出一種改進(jìn)的交互多模型軌跡預(yù)測算法。上述預(yù)測算法都只適用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性相對簡單的軌跡預(yù)測問題，但是在空戰(zhàn)過程中，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)往往是高度復(fù)雜的時(shí)序過程，傳統(tǒng)的軌跡預(yù)測算法不能準(zhǔn)確地學(xué)習(xí)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性，同時(shí)也存在建模復(fù)雜度高和算法的適應(yīng)性差的問題，且卡爾曼濾波算法的狀態(tài)和測量方程的推導(dǎo)很困難，算法的預(yù)測精度也不能滿足空戰(zhàn)對抗需求。

另一類研究方向主要以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為主的人工智能算法，結(jié)合大數(shù)據(jù)建立目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測模型。例如文獻(xiàn)[6]利用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Generalized Regression Neural Network，GRNN)良好的非線性映射能力以及高度的容錯(cuò)性和魯棒性，提出一種基于GRNN的高超聲速飛行器軌跡預(yù)測算法；針對前饋(Back Propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在對初值敏感且全局搜索能力較差的問題，文獻(xiàn)[7-8]分別提出一種基于遺傳算法和粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型。但是，文獻(xiàn)[9]提出目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測問題本質(zhì)上是動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列預(yù)測，具有高度的非線性和時(shí)變特性，而傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種靜態(tài)的單層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對于不斷變化的非線性目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的預(yù)測效果相對較差，同時(shí)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還存在易陷入極值和過擬合的問題，因而將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測的效果較差。此外，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法需要預(yù)先建立時(shí)間序列的主觀預(yù)測模型，確定模型的輸入輸出以及隱含層結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)建立的主觀預(yù)測模型進(jìn)行計(jì)算及預(yù)測。隨著混沌理論的發(fā)展，可不必預(yù)先建立主觀預(yù)測模型，而是基于樣本數(shù)據(jù)時(shí)間序列本身所蘊(yùn)含的客觀規(guī)律進(jìn)行預(yù)測，這樣完全可以避免人為主觀性對預(yù)測結(jié)果造成的影響，從而提高了預(yù)測精度和可信度。根據(jù)混沌理論，對于某一混沌系統(tǒng)來說，可采用混沌預(yù)測模型來進(jìn)行預(yù)測，并且能夠獲得較高的預(yù)測精度。因此，本文引入混沌理論的方法來對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行建模和預(yù)測。基于上述預(yù)測思想，首要需要確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列是否具有混沌特性。

近些年，混沌時(shí)間序列建模及預(yù)測已經(jīng)成為混沌研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)研究方向。目前，基于混沌理論對風(fēng)功率的研究較多，但是針對基于混沌時(shí)間序列建模進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測的研究尚未出現(xiàn)。由混沌理論可知，混沌信號經(jīng)過相空間重構(gòu)之后，會(huì)得到一個(gè)嵌入空間的低維流形，利用其可對重構(gòu)的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測[10]。此外，Volterra級數(shù)預(yù)測模型是近些年發(fā)展起來的一種預(yù)測模型[11]，理論和實(shí)踐表明，Volterra級數(shù)模型可以很好地表征非線性系統(tǒng)，可以對任何非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，并且能夠?qū)煦缥拥能壽E進(jìn)行跟蹤，可實(shí)現(xiàn)對未來變化趨勢的精確預(yù)測。為了更好地處理目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在的非線性和時(shí)變特性，將Volterra級數(shù)模型引入到目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測中，從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)未來機(jī)動(dòng)軌跡的精確預(yù)測。利用Volterra泛函級數(shù)模型進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測的關(guān)鍵在于辨識其核函數(shù)，然而，Volterra級數(shù)核函數(shù)辨識存在一個(gè)難點(diǎn)，即核參數(shù)的數(shù)量隨著Volterra級數(shù)核階數(shù)呈指數(shù)增長，計(jì)算困難。目前Volterra泛函級數(shù)參數(shù)辨識的方法主要有最小二乘算法[12-13]、最小均方(Least Mean Square，LMS)算法、遞歸最小二乘法(Recursive Least Square，RLS)以及智能啟發(fā)式優(yōu)化算法[14-18]，但是，最小二乘法在辨識參數(shù)時(shí)要求目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，且采用梯度信息進(jìn)行搜索時(shí)容易陷入局部極值；基于LMS和RLS的全耦合和部分耦合確定Volterra級數(shù)核參數(shù)的算法收斂性、穩(wěn)定性以及辨識有效性都不是很好。上述這些傳統(tǒng)算法都存在計(jì)算復(fù)雜、辨識精度低以及算法收斂速度慢等不足。為了克服傳統(tǒng)算法存在的不足，本文采用仿生智能算法辨識Volterra級數(shù)核參數(shù)。

粒子群算法是一種模擬生物行為的群智能優(yōu)化算法[19-20]，具有結(jié)構(gòu)簡單且易于實(shí)現(xiàn)、容易收斂且魯棒性較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[21]。粒子群算法為求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題提供了一種通用框架，該算法不依賴于問題的具體領(lǐng)域，對問題的種類適應(yīng)性很強(qiáng)，而Volterra級數(shù)核函數(shù)辨識實(shí)質(zhì)上是一個(gè)高維度參數(shù)優(yōu)化問題，因此，本文將粒子群算法引入到Volterra泛函級數(shù)模型的核函數(shù)參數(shù)辨識中，該算法不僅可以避免傳統(tǒng)算法要求待優(yōu)化函數(shù)必須滿足連續(xù)可導(dǎo)的缺點(diǎn)，還可以得到很好的優(yōu)化效果和魯棒性。

文獻(xiàn)[22]通過研究發(fā)現(xiàn)，基于基本的粒子群算法對Volterra級數(shù)核函數(shù)進(jìn)行辨識時(shí)，在算法搜索后期，粒子容易聚集，導(dǎo)致算法容易陷入最優(yōu)解；同時(shí)，對于Volterra級數(shù)核函數(shù)進(jìn)行辨識是一個(gè)高維度優(yōu)化問題，粒子群算法在優(yōu)化高維度問題時(shí)，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)而無法跳出，同時(shí)還存在收斂精度不高的問題[23]。基于上述分析，為了同時(shí)提高算法的優(yōu)化性能和避免陷入局部極值點(diǎn)，本文引入一種基于混沌變異和自適應(yīng)策略優(yōu)化的粒子群算法，并將改進(jìn)的粒子群算法(Modified Particle Swarm Optimization algorithm，MPSO)用于Volterra泛函模型參數(shù)辨識，構(gòu)建一種基于改進(jìn)粒子群算法辨識的Volterra級數(shù)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測模型。通過仿真實(shí)驗(yàn)，該模型的預(yù)測性能優(yōu)于基于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、遺傳算法、蟻群算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型，同時(shí)也驗(yàn)證了該預(yù)測算法的有效性和魯棒性。

1 混沌特性分析及相空間重構(gòu)

1.1 混沌特性分析

檢驗(yàn)時(shí)間序列是否具有混沌特性的算法主要有最大Lyapunov指數(shù)法、G-P(Grassberger-Procaccia)算法以及0-1檢測法等。最大Lyapunov指數(shù)法在確定時(shí)間序列是否具有混沌特性時(shí)，需要預(yù)先計(jì)算時(shí)間序列的平均最大周期、嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間，目前確定每一個(gè)參數(shù)的算法有很多種，但是不同的方法得到的參數(shù)并不一致，由于缺乏相應(yīng)的客觀評判依據(jù)，對于參數(shù)選擇難度較大，同時(shí)算法的計(jì)算復(fù)雜度高，實(shí)時(shí)性差；G-P算法通過估算出數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)來判定時(shí)間序列的混沌特性，該算法容易受到時(shí)間序列長度和數(shù)據(jù)噪聲的影響，隨機(jī)噪聲也會(huì)對其造成一定的影響，故判讀結(jié)果可信程度不高。0-1檢測法不需要確定相空間重構(gòu)參數(shù)，直接輸入離散時(shí)間序列即可，不需要預(yù)先確定其他參數(shù)，最后通過算法返回的數(shù)值趨近于0和1來判定輸入時(shí)間序列是否具有混沌特性，同時(shí)，0-1檢測法適用于含有噪聲時(shí)間序列，且計(jì)算量小，所需時(shí)間短，可以實(shí)現(xiàn)快速判斷時(shí)間序列的混沌性。

本文主要借鑒0-1檢測法[24-25]對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列x(n)∈{x(1)，x(2)， …,x(N)}進(jìn)行混沌特性判定，此算法不需要對時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)預(yù)處理，可以直接對時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性檢測，算法具體流程如下：

1) 計(jì)算平移變量pc(n)和qc(n)，即

(1)

(2)

式中：n=1， 2， …，N；c∈(0,π)。

2) 計(jì)算變量pc(n)和qc(n)的均方位移Mc(n)，即

[qc(i+n)-qc(i)]2}

(3)

3) 根據(jù)均方位移計(jì)算漸進(jìn)增長率Kc，即

(4)

4) 重復(fù)步驟1)～3)，循環(huán)計(jì)算時(shí)間序列的均值K。

時(shí)間序列混沌特性判定的準(zhǔn)則是：當(dāng)均值滿足K≈1時(shí)，則說明該時(shí)間序列具有混沌特性；當(dāng)均值滿足K≈0，則說明該時(shí)間序列不具有混沌特性。本文通過仿真計(jì)算得到目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)時(shí)間序列的均值K分別為KX=0.998 1，KY=0.986 7，KZ=0.963 4?；谂卸?zhǔn)則可知，目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)時(shí)間序列均具有混沌特性。

1.2 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是分析混沌時(shí)間序列的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，能夠挖掘出時(shí)間序列中所蘊(yùn)含的信息，根據(jù)Takens嵌入延遲定理[26]，選擇合適的時(shí)間延遲τ和相空間重構(gòu)嵌入維數(shù)m可以獲得與原系統(tǒng)具有相同的動(dòng)態(tài)特性的新系統(tǒng)。對一維時(shí)間序列x(n)進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到的多維時(shí)間序列為

(5)

則相空間重構(gòu)之后多維空間的相點(diǎn)數(shù)Np為

Np=N-(m-1)τ

(6)

1.3 基于改進(jìn)C-C法確定相空間重構(gòu)參數(shù)

在對混沌時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí)，時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)的確定，直接關(guān)系到能否充分反映原始時(shí)間序列的特性變化[27]。針對傳統(tǒng)C-C法在求解時(shí)間延遲和嵌入維度存在的不足，本文采用改進(jìn)的C-C法[28]來確定相空間重構(gòu)相關(guān)參數(shù)，使得計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

定義關(guān)聯(lián)積分為

(7)

定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

S1(m,N,r,τ)=C(m,N,r,τ)-Cm(1,N,r,τ)

(8)

在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，采用劃分子時(shí)間序列的計(jì)算方法，即

S2(m,N,r,τ)=

(9)

定義差量為：

ΔS(m,N,r,τ)=

max{S(m,N,r,τ)}-min{S(m,N,r,τ)}

(10)

(11)

(12)

m=τw/τ+1

(13)

2 Volterra級數(shù)模型

對于輸入為x(k)和輸出為y(k)的離散時(shí)間非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通過Volterra級數(shù)模型可將其描述為[29]

(14)

(15)

式中：e(k)為Volterra級數(shù)截?cái)嗾`差；hn(m1,m2,…,mn)為非線性系統(tǒng)的n階Volterra級數(shù)核函數(shù)，核函數(shù)具有對稱性且對稱性是唯一的[29]。在確定Volterra級數(shù)核函數(shù)的過程中，充分利用其對稱性可以大大減小Volterra級數(shù)模型的計(jì)算量。

利用截?cái)嗟腣olerra級數(shù)可以精確近似描述很多非線性系統(tǒng)，在對非線性進(jìn)行描述時(shí)，一般采取前三階的截?cái)嘈问剑释ǔＪ菍olterra級數(shù)模型的前三階核函數(shù)進(jìn)行辨識[29]。根據(jù)Volterra級數(shù)核函數(shù)所具備的對稱特性以及Volterra級數(shù)表達(dá)形式，可將系統(tǒng)的輸出表達(dá)為

h2(m1,m2)x(k-m1)x(k-m2)+

x(k-m1)x(k-m2)x(k-m3)+e(k)

(16)

式中：Mi為模型的記憶長度，當(dāng)Mi取合適的值時(shí)，截?cái)嗾`差e(k)可以充分小，在誤差允許的范圍內(nèi)，e(k)可以忽略不計(jì)；s1(m1)、s2(m1、m2)、s3(m1、m2、m3)由式(17)～式(19)確定：

s1(m1)=1

(17)

(18)

s3(m1,m2,m3)=

(19)

假設(shè)Volterra級數(shù)模型截?cái)嗟淖罡唠A數(shù)為NT，假設(shè)系統(tǒng)的輸入矩陣為

P=[X(k)，X(k+1)， …，X(k+L-1)]T

(20)

式中：L為輸入數(shù)據(jù)的長度。則k時(shí)刻的截?cái)郪olterra級數(shù)系統(tǒng)輸入向量可表示為

X(k)=[x(k)，x(k-1)，…,x(k-M1+1)，

x2(k)，x(k)x(k-1)， …,

xN(k-MNT+1) ]T

(21)

此時(shí)，截?cái)郪olterra級數(shù)系統(tǒng)輸出向量以及核函數(shù)可表示為

Y=[y(k)，y(k+1)，…,y(k+L-1)]T

(22)

H=[h1(0)，h1(1)，…,h1(M1-1)，h2(0,0)，

h2(0,1)， …,hN(MN-1， …,MN-1)]T

(23)

式中：X(k)為輸入向量；Y為輸出向量；H為Volterra級數(shù)的核函數(shù)?；谏鲜霰磉_(dá)可將系統(tǒng)表述為

Y=PH+e

(24)

式中：e為誤差。由式(24)可知，基于截?cái)郪olterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識，就是在確定的系統(tǒng)輸入和輸出的基礎(chǔ)上確定Volterra級數(shù)的核函數(shù)向量H。Volterra級數(shù)系統(tǒng)辨識實(shí)際上是一個(gè)最優(yōu)化參數(shù)估計(jì)問題，本文采取一種基于混沌變異和自適應(yīng)策略優(yōu)化的粒子群算法來解算Volterra級數(shù)核函數(shù)向量。

(25)

式中：L為數(shù)據(jù)長度，j=1， 2， …,n。對于粒子群中第j個(gè)粒子的速度和位置進(jìn)化規(guī)則為

vj(t+1)=ωj(t)vj(t)+

(26)

(27)

改進(jìn)的粒子群算法在尋優(yōu)的過程中，通過不斷搜索尋找使得式(27)所示的目標(biāo)函數(shù)值最小的全局最優(yōu)位置，即Volterra級數(shù)核矢量的最佳辨識結(jié)果。

3 基于改進(jìn)粒子群算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型

3.1 改進(jìn)的粒子群算法

通過對文獻(xiàn)中粒子群算法研究發(fā)現(xiàn)，目前大多數(shù)的文獻(xiàn)未能充分發(fā)揮粒子群算法的優(yōu)良性能，也未能充分考慮粒子群算法的性能與算法進(jìn)程之間的關(guān)系，從而在一定程度影響了算法的收斂速度和尋優(yōu)效率；同時(shí)，在算法的尋優(yōu)過程中由于粒子群存在容易聚集的特點(diǎn)，種群的多樣性難免會(huì)降低，因而可能會(huì)導(dǎo)致算法存在容易陷入局部極值、早熟的不足。

針對目前粒子群算法存在的不足，本文主要從3個(gè)方面來改進(jìn)基本的粒子群算法：

1) 利用混沌具有的良好的隨機(jī)性、便利性以及規(guī)律性等特點(diǎn)，對粒子群進(jìn)行初始化操作。

2) 依據(jù)粒子群的進(jìn)化進(jìn)程的不同，采取不同的算法來改進(jìn)粒子群算法，在進(jìn)化的過程中將粒子群劃分為精英子種群和普通子種群，同時(shí)對各個(gè)子種群采取不同的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，從而達(dá)到增加種群多樣性、實(shí)現(xiàn)全局和局部搜索能力相平衡的效果。

3) 為了更好地發(fā)揮粒子群算法的尋優(yōu)性能，實(shí)時(shí)判斷算法是否陷入局部最優(yōu)解，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)解時(shí)對粒子進(jìn)行混沌變異操作。

3.1.1 基于混沌映射初始化粒子群

在不改變粒子群算法隨機(jī)初始化時(shí)所具有的良好性能前提下，采用混沌映射對粒子群進(jìn)行初始化，混沌映射可以有效地提高粒子種群的多樣性。文獻(xiàn)[30-32]通過對比分析得出Tent映射模型比Logisitic映射模型具有更高的搜索效率的結(jié)論，同時(shí)也驗(yàn)證了Tent映射可以更好地改善粒子群的多樣性以及算法的尋優(yōu)能力。本文采用Skew-Tent映射模型對粒子群進(jìn)行初始化操作，具體的Skew-Tent混沌映射模型為

xk+1=g(xk)

(28)

(29)

式中，當(dāng)參數(shù)φ在[0,1]取值，并且x∈[0,1]時(shí)，式(25)和式(26)所描述的系統(tǒng)處于混沌轉(zhuǎn)態(tài)。利用Skew-Tent混沌映射對粒子群進(jìn)行初始化的具體流程如算法1所示。

算法1:基于Skew-Tent映射初始化粒子種群設(shè)置粒子種群規(guī)模為n以及最大混沌迭代步數(shù)Kmax1.for i=1 to n do2.for j=1 to D do3.隨機(jī)生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)φ0,j∈(0,1)4.for k=1 to Kmaxdo5.if 0

3.1.2 子種群劃分

假設(shè)X(t)={X1(t)，X2(t)，…，Xn(t)}為算法第t次迭代時(shí)的粒子群，f(Xj(t))為第j個(gè)粒子的適應(yīng)度值，適應(yīng)度函數(shù)值越小則表明粒子的位置越優(yōu)，根據(jù)粒子的適應(yīng)度值定義一些概念：

(30)

fbest(X(t))=min{f(Xj(t))|j=1， 2， …,n}

(31)

Xgood(t)={Xj(t)|f(Xj(t))

j=1， 2， …,q； 1

(32)

(33)

式中：favg(X(t))為粒子群平均適應(yīng)度；fbest(X(t))為粒子群最優(yōu)適應(yīng)度；Xgood(t)為粒子群的優(yōu)秀子種群；favg(Xgood(t))為粒子群優(yōu)秀子種群的平均適應(yīng)度?；谑?30)～式(33)定義的新概念，可以構(gòu)建粒子群的精英子種群和普通子種群

Xelite(t)={Xj(t)|f(Xj(t))

j=1， 2， …,s； 1

(34)

Xcommon(t)={Xj(t)|f(Xj(t))>favg(Xgood(t))；

j=1， 2， …,p；p=n-s} }

(35)

式中：Xelite(t)為精英子種群；Xcommon(t)為普通子種群；s為精英子種群規(guī)模；p為普通子種群規(guī)模。

3.1.3 自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

1) 精英子種群自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

假設(shè)ωj(t)為第j個(gè)粒子在第t次迭代時(shí)的慣性權(quán)重。為了說明改進(jìn)粒子群算法中精英粒子群的ωj(t)調(diào)整策略，定義：

fworst(Xelite(t))=max{f(Xj(t))|

j=1， 2， …，s}

(36)

Perforj=

(37)

式中：fworst(Xelite(t))為精英粒子群最差適應(yīng)度；Perforj為精英粒子種群的性能指標(biāo)，其取值范圍為[0,1]，精英粒子的適應(yīng)度越好則性能指標(biāo)Perforj越大，反之則越小；參數(shù)α的取值依據(jù)具體問題來確定。

將精英粒子種群性能指標(biāo)Perforj作為第j個(gè)精英粒子在第t次迭代時(shí)的慣性權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整因子，則根據(jù)性能指標(biāo)Perforj確定的自適應(yīng)慣性權(quán)重為

ωj(t)=ωmin+(ω′-ωmin)×(1-Perforj(t))

ωmin<ω′<ωmax

(38)

式(38)說明，性能指標(biāo)Perforj越大的精英粒子，在其附近搜索到全局最優(yōu)解的概率越大，然而較小的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)算法的局部搜索能力，因此此時(shí)的慣性權(quán)重ωj(t)應(yīng)該取較小值，從而保證算法的局部搜索能力；反之，性能指標(biāo)Perforj越小，在其附近搜索到全局最優(yōu)解的概率越小，較大的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)算法的全局搜索能力，因此此時(shí)的慣性權(quán)重ωj(t)的取值應(yīng)該較大，從而保證算法的全局搜索能力。

2) 普通子種群自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

在改進(jìn)的粒子群算法中，普通子種群調(diào)整為

(39)

式中：t為算法的迭代次數(shù)；Tmax為最大的迭代次數(shù)。

3.1.4 混沌變異策略

1) 算法的收斂測度

為了更好地反映粒子群所處的狀態(tài)，避免因?yàn)槊つ孔儺惗鴰淼拇罅窟\(yùn)算以及對算法收斂速度的影響，本文提出利用粒子群的進(jìn)化深度系數(shù)來定量描述粒子群狀態(tài)，從而達(dá)到合理進(jìn)行變異操作以擴(kuò)大算法搜索空間的目的。

(40)

(41)

2) 混沌變異策略

根據(jù)算法收斂測度判斷算法是否陷入局部最優(yōu)解，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)值時(shí)，采取混沌變異使得其跳出局部極值。混沌變異策略的步驟如下：

步驟1采用Skew-Tent混沌映射模型，基于式(26)生成混沌變量XT。

步驟2基于混沌變量生成粒子的混沌擾動(dòng)量Xnew，即

(42)

3) 利用混沌變量對粒子進(jìn)行混沌擾動(dòng)：

(43)

3.2 Volterra級數(shù)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測流程

利用改進(jìn)的粒子群算法對Volterra級數(shù)參數(shù)進(jìn)行辨識，在此基礎(chǔ)上，利用辨識之后的Volterra級數(shù)模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測，具體流程如圖1所示。

圖1 基于MPSO的Volterra模型辨識算法流程圖Fig.1 Flow chart of identification algorithm of Volterra kernel based on MPSO

4 仿真驗(yàn)證

4.1 Volterra級數(shù)模型辨識測試

通過仿真檢驗(yàn)本文算法的性能，同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化(SPSO)算法、遺傳算法(GA)以及蟻群優(yōu)化(ACO)算法進(jìn)行對比?？紤]三階Volterra模型：

y(k)=1.56x(k)-x(k-1)+0.68x(k-2)+

0.85x2(k)-2.17x2(k-1)+

1.39x2(k-2)+1.18x(k-1)x(k-2)+

1.26x3(k)-0.83x(k)x2(k-1)+

1.69x(k-1)x2(k-2)+1.41x3(k-2)

(44)

式(44)Volterra級數(shù)模型中的一～三階核的記憶長度均為3，核系數(shù)向量為

H=[1.56， -1.00， 0.68， 0.85， 0， 0，

-2.17， 1.39， 1.26， 0， 0， -0.83，

1.69， 0.00， 0， 0， 0， 1.41]T

本文中所使用的仿真軟件為MATLAB 2017a，仿真環(huán)境：CPU為Intel Core i7 2.60 GHz，內(nèi)存為16 GB，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 10。本文所采用算法的初始參數(shù)設(shè)置如表1所示。為了保證算法性能比較的客觀性，所有仿生智能算法均采用：種群規(guī)模N=50；空間維數(shù)D為19，即為Volterra級數(shù)核系數(shù)個(gè)數(shù)；最大迭代次數(shù)Tmax=250。表2為4種算法對Volterra級數(shù)模型進(jìn)行辨識的結(jié)果，Rou為信息表的揮發(fā)因子。

表1 智能算法參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of intelligent algorithm

表2 Volterra級數(shù)模型辨識結(jié)果Table 2 Estimation results of Volterra model

通過表2可以看出，4種辨識Volterra級數(shù)模型的算法均可以得到近似于真實(shí)值的核系數(shù)，說明這4種算法均能夠用于Volterra級數(shù)模型的參數(shù)辨識，其中本文改進(jìn)的粒子群算法得到的估計(jì)值與真實(shí)值更加接近，辨識精度更高。

4.2 預(yù)測算法性能評價(jià)

本文主要對比MPSO-Volterra模型與其他預(yù)測模型在預(yù)測精度、算法實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性方面的性能差異。預(yù)測精度采用平均絕對誤差(Mean Absolute Deviation，Mad)、均方誤差(Mean Square Error，Mse)、平均絕對百分比誤差(Mean Absolute Percentage，Mape)和相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient，Cor)4個(gè)指標(biāo)來衡量，性能指標(biāo)定義為

(45)

(46)

(47)

(48)

對于不同的預(yù)測算法的運(yùn)行效率，可以采用在相同的仿真環(huán)境下，計(jì)算相同的問題所需要的時(shí)間來評價(jià)；對于模型的穩(wěn)定性，可以采用在相同的仿真環(huán)境下重復(fù)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果的方差來評定。

4.3 不同模型單步及多步預(yù)測性能對比與分析

在三維慣性坐標(biāo)系中，飛機(jī)坐標(biāo)用三維坐標(biāo)x、y、z進(jìn)行表示。傳統(tǒng)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測方法時(shí)間目標(biāo)的三維坐標(biāo)作為一個(gè)整體來預(yù)測模型的輸入和輸出，而本文基于對相空間重構(gòu)理論分析可知，目標(biāo)的軌跡三維坐標(biāo)時(shí)間序列所呈現(xiàn)出的數(shù)據(jù)特征不盡相同，故需要將其進(jìn)行獨(dú)立預(yù)測。

本文從空戰(zhàn)訓(xùn)練測量儀(Air Combat Maneuvering Instrument，ACMI)中選取一段時(shí)間連續(xù)的4 000組數(shù)據(jù)，將其中前3 000組數(shù)據(jù)作為預(yù)測模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后1 000組數(shù)據(jù)作為預(yù)測模型的測試數(shù)據(jù)。為了提高目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)的預(yù)測精度，首先基于相空間重構(gòu)理論對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。根據(jù)C-C法確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡x方向嵌入維數(shù)mx=7和時(shí)間延遲τx=9；y方向的時(shí)間延遲τy=5，嵌入維數(shù)my=8；z方向的嵌入維數(shù)mz=8，嵌入維數(shù)τz=2。采用單步預(yù)測方式，設(shè)置預(yù)測步數(shù)η=1。模型輸入為[T(k)，T(k-τ)，…,T(k-(m-1)τ) ]，且T=X,Y,Z預(yù)測模型輸出為T(k+1) 。

4.3.1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡單步預(yù)測效果對比分析

鑒于目前關(guān)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡研究存在兩類方法，即基于卡爾曼濾波算法以及以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為主的機(jī)器學(xué)習(xí)智能算法，為了對比分析本文所提出的MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型與上述兩種算法的優(yōu)劣，分別采用本文預(yù)測算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Kalman濾波算法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測，通過性能指標(biāo)來分析基于不同預(yù)測機(jī)理的預(yù)測算法之間存在的差異。

采用4種機(jī)理的不同預(yù)測算法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖2～圖5所示，同時(shí)為了更加清晰地反映不同機(jī)理預(yù)測方法的性能差異，故將不同的算法的性能指標(biāo)記錄在表3中。由于本文采取的是中遠(yuǎn)距對抗數(shù)據(jù)樣本，導(dǎo)致數(shù)據(jù)量級較大，同時(shí)本文預(yù)測算法誤差較小，與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的量級差異導(dǎo)致在預(yù)測結(jié)果對比圖中，不能清晰看出預(yù)測值與真實(shí)值之間的差異，故各選取了4段區(qū)域預(yù)測情況進(jìn)行局部預(yù)測效果呈現(xiàn)。

圖2 MPSO-Volterra模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.2 Comparison of prediction results of MPSO-Volterra model

首先，通過觀察圖2～圖5中基于不同機(jī)理的預(yù)測算法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測的結(jié)果，可以看出，無論是基于卡爾曼濾波算法，還是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，抑或是基于仿生智能算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測算法，在對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測時(shí)，其誤差都是比較小的，這就說明基于3種機(jī)理的預(yù)測算法適用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測問題。其次，通過表3中預(yù)測性能指標(biāo)可以看出，基于仿生算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型的性能更佳，而基于卡爾曼濾波算法和ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測算法的性能較MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型差一點(diǎn)，說明MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測方面更具有優(yōu)勢。

圖3 Kalman濾波模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.3 Comparison of prediction results of Kalman fillter model

圖4 ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.4 Comparison of prediction results of ELM neural network model

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.5 Comparison of prediction results of BP neural network model

從機(jī)理上分析可知，MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型本質(zhì)上是利用目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的混沌特性，通過擬合訓(xùn)練混沌吸引子軌道來預(yù)測非線性系統(tǒng)，通過線性三階Volterra級數(shù)的乘積耦合方式來實(shí)現(xiàn)，因此可同時(shí)避免因級數(shù)階數(shù)較大而導(dǎo)致核函數(shù)求解困難和大量存在非線性耦合對Volterra級數(shù)核系數(shù)不收斂或不穩(wěn)定的影響，提高了預(yù)測精度。另一方面，Volterra級數(shù)利用線性自適應(yīng)算法調(diào)整模型參數(shù)，這種動(dòng)態(tài)性可以提高其利用新數(shù)據(jù)預(yù)測的適應(yīng)性和準(zhǔn)確性。但是也存在一定的不足，采取仿生算法辨識Volterra級數(shù)預(yù)測模型計(jì)算時(shí)間較長，這是因?yàn)?，算法的?fù)雜度高于其他預(yù)測算法，自然預(yù)測模型的運(yùn)行時(shí)間多余其他預(yù)測算法，根據(jù)NFL(No Free Lunch)理論可知，任何一個(gè)算法不可能全面優(yōu)于其他算法，但是存在的這一點(diǎn)不足也是后續(xù)著重研究的算法，盡可能提高算法的實(shí)時(shí)性。

4.3.2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡多步預(yù)測結(jié)果對比分析

表4 4種目標(biāo)x方向坐標(biāo)多步預(yù)測模型性能比較Table 4 Performance comparison of target x-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

表5 4種目標(biāo)y方向坐標(biāo)多步預(yù)測模型性能比較Table 5 Performance comparison of target y-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

表6 4種目標(biāo)z方向坐標(biāo)多步預(yù)測模型性能比較Table 6 Performance comparison of target z-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

通過表4～表6中在不同預(yù)測步數(shù)下各個(gè)預(yù)測算法的性能指標(biāo)數(shù)值可以看出，本文提出的MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型的性能更佳，Kalman濾波算法、ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測性能在不同方向坐標(biāo)預(yù)測中表現(xiàn)出不同的性能差異較大，這些都說明本文所提出的MPSO-Volterra級數(shù)預(yù)測模型更加適用于目標(biāo)軌跡預(yù)測問題。從機(jī)理上分析各種算法表現(xiàn)出不同的預(yù)測性能的原因：

1) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其可以通過樣本數(shù)據(jù)不斷地訓(xùn)練學(xué)習(xí)擬合任何輸入、輸出之間的各種復(fù)雜的非線性關(guān)系，具有一定的魯棒性和泛化能力，但是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法自身也存在一定的“缺陷”，由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在學(xué)習(xí)的過程中采用標(biāo)準(zhǔn)梯度下降算法，在采用樣本對其進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，易陷入局部極值，導(dǎo)致樣本學(xué)習(xí)失??；同時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法也存在學(xué)習(xí)“過擬合”的現(xiàn)象，一般情況下，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力與樣本訓(xùn)練能力呈正相關(guān)，但是實(shí)際上隨著樣本訓(xùn)練能力的提高，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測能力會(huì)達(dá)到一個(gè)極限值，隨后會(huì)出現(xiàn)預(yù)測能力下降的現(xiàn)象，故BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測過程中存在一些自身無法克服的不足，因而預(yù)測性能也會(huì)有所影響。

2) ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法相比，ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有相對明顯的優(yōu)勢，但同時(shí)也存在一定的固有缺陷：一方面，網(wǎng)絡(luò)的輸入層與隱含層之間的權(quán)值、閾值進(jìn)行隨機(jī)確定，因而具有一定的盲目性，從而導(dǎo)致ELM網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性變差；另一方面，如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在噪聲或離群點(diǎn)，容易導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的隱含層輸出矩陣呈現(xiàn)出病態(tài)的問題，使ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性變差、泛化性能降低。在復(fù)雜的電磁環(huán)境下，基于機(jī)載傳感器獲取的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡，很容易出現(xiàn)一些離群點(diǎn)，從而導(dǎo)致ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測性能下降。

3) Kalman濾波算法采用不斷“預(yù)測-修正”的遞推方式進(jìn)行，先進(jìn)行預(yù)測，再根據(jù)觀測值得到的新息和卡爾曼增益對預(yù)測值進(jìn)行修正?？柭鼮V波通過迭代來消除估計(jì)誤差，但誤差具有傳遞性，隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的精度也會(huì)隨之下降。同時(shí)，新息反映了預(yù)測值偏離觀測值的程度，當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變或者目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型不夠準(zhǔn)確時(shí)，目標(biāo)下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)預(yù)測精度降低，空戰(zhàn)中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式是不斷變化的，很容易導(dǎo)致算法預(yù)測精度下降；由于卡爾曼濾波預(yù)測算法需要實(shí)時(shí)更新新息來修正預(yù)測誤差，在進(jìn)行多步預(yù)測時(shí)，目標(biāo)的實(shí)時(shí)新息得不到更新，算法的預(yù)測精度也會(huì)隨之下降，在空戰(zhàn)中目標(biāo)的信息獲取并不是可以實(shí)時(shí)準(zhǔn)確獲得的，因Kalman濾波算法在空戰(zhàn)中進(jìn)行多步預(yù)測存在不足。

4) Volterra自適應(yīng)濾波器預(yù)測模型在預(yù)測過程中僅需很少的數(shù)據(jù)樣本就可對混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，而且可自動(dòng)追蹤混沌運(yùn)動(dòng)軌跡，該預(yù)測模型的預(yù)測精度較高。

4.4 不同優(yōu)化算法性能對比

4.4.1 機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測效果對比

本節(jié)將本文提出的基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化的Volterra級數(shù)預(yù)測模型與GA算法優(yōu)化的Volterra級數(shù)預(yù)測模型、ACO算法優(yōu)化的Volterra級數(shù)預(yù)測模型以及SPSO算法優(yōu)化的Volterra級數(shù)預(yù)測模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列單步預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，預(yù)測結(jié)果對比如圖2、圖6～圖8所示。

圖2、圖6～圖8代表了4種智能算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測的結(jié)果對比曲線和誤差曲線。從圖中可以看出，在采用4種智能算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測時(shí)，各個(gè)點(diǎn)的誤差均在零點(diǎn)附近較小范圍內(nèi)波動(dòng)，說明4種智能算法對Volterra級數(shù)辨識的有效性，說明群智能優(yōu)化算法能夠有效解決Volterra級數(shù)核函數(shù)求解困難的問題，同時(shí)也說明了Volterra級數(shù)具有優(yōu)良的非線性擬合和預(yù)測能力；同時(shí)也存在一些將來需要解決的問題，如何選擇優(yōu)化算法以及怎樣改進(jìn)優(yōu)化算法的問題，本文僅僅初步探索，利用群智能優(yōu)化算法辨識Volterra級數(shù)，并將辨識之后的Volterra級數(shù)模型用于預(yù)測問題。

圖6 ACO-Volterra模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.6 Comparison of prediction results of ACO-Volterra model

圖7 GA-Volterra模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.7 Comparison of prediction results of GA-Volterra model

圖8 SPSO-Volterra模型預(yù)測結(jié)果對比Fig.8 Comparison of prediction results of SPSO-Volterra model

為了對比分析不同優(yōu)化算法辨識的Volterra級數(shù)預(yù)測模型在預(yù)測精度、速度和穩(wěn)定性上的不同，在相同的仿真條件下，分別采用SPSO-Volterra、GA-Volterra和ACO-Volterra模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行單步預(yù)測。每一種預(yù)測模型獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行50次，統(tǒng)計(jì)得到模型預(yù)測結(jié)果的平均絕對誤差、均方誤差、平均絕對百分比誤差、線性相關(guān)度以及算法的平均運(yùn)行時(shí)間。其中，平均絕對百分比誤差是反映預(yù)測值和真實(shí)值之間偏離程度的重要指標(biāo)，預(yù)測模型的穩(wěn)定性采用Mape的方差來評價(jià)。表7給出了不同的預(yù)測模型對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測時(shí)所呈現(xiàn)的性能。

從表7可以看出，與其他優(yōu)化算法辨識之后的Volterra級數(shù)預(yù)測模型相比較，在預(yù)測精度方面，MPSO-Volterra預(yù)測模型的Mad，Mse以及Mape的值均是最小，Cor最高，這些可以說明MPSO-Volterra預(yù)測模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的預(yù)測精度上具有明顯的優(yōu)勢。在預(yù)測穩(wěn)定性方面，MPSO-Volterra預(yù)測模型的平均絕對百分比誤差Mape的方差最小，這說明MPSO-Volterra預(yù)測模型的穩(wěn)定性最好。在算法的運(yùn)行速度方面，MPSO-Volterra預(yù)測模型和SPSO-Volterra預(yù)測模型所需要的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)少于ACO-Volterra預(yù)測模型和GA-Volterra預(yù)測模型,由于MPSO-Volterra預(yù)測模型中執(zhí)行了自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整機(jī)制和混沌變異機(jī)制，導(dǎo)致其運(yùn)行時(shí)間略多于SPSO-Volterra預(yù)測模型。綜合來看，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測中，MPSO-Volterra預(yù)測模型相較于其他預(yù)測模型，在預(yù)測精度、速度以及穩(wěn)定性方面均具有模型優(yōu)勢。

4.4.2 不同算法優(yōu)化性能對比

對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)分別進(jìn)行建模與預(yù)測時(shí)，PSO-Volterra算法、GA-Volterra算法和ACO-Volterra算法以及本文所提MSPO-Volterra算法的收斂曲線對比結(jié)果見圖9。橫坐標(biāo)為算法迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為算法的適應(yīng)度函數(shù)的適應(yīng)值。

在圖9(a)中，x坐標(biāo)下ACO-Volterra、GA-Volterra、PSO-Volterra和MSPO-Volterra算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是217、170、81、139；在圖9(b)中，y坐標(biāo)下4種算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是241、81、15、91；在圖9(c)中，z坐標(biāo)下4種算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是226、80、22，48。因?yàn)槭菍olterra級數(shù)的預(yù)測誤差設(shè)定為智能優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)值越大，則Volterra級數(shù)預(yù)測誤差越大，通過上述分析可見，對比與現(xiàn)有的智能算法辨識Volterra級數(shù)模型，本文所提出的MPSO-Volterra級數(shù)算法模型不僅具有較高的收斂精度，同時(shí)還具有較快的收斂速度。

表7 各種算法對目標(biāo)三維坐標(biāo)的預(yù)測性能指標(biāo)Table 7 Prediction performance indexes of various algorithms for target 3D coordinates

圖9 適應(yīng)度函數(shù)值比較Fig.9 Comparison of fitness function values

從機(jī)理上分析可知，粒子群算法是一種基于種群模擬的群體仿生智能優(yōu)化算法，具有運(yùn)行時(shí)間短、容易收斂以及魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，然而非線性系統(tǒng)Volterra級數(shù)核函數(shù)辨識實(shí)際上是一個(gè)高維度優(yōu)化問題，PSO算法在面對優(yōu)化高維度問題時(shí)，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)而無法跳出，同時(shí)還存在收斂精度不高的問題。GA算法在用于參數(shù)辨識時(shí)，存在一些自身無法克服的問題，即優(yōu)化時(shí)間長且容易陷入局部最優(yōu)。由于ACO算法中的多個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的，隨著蟻群種群的增大，尋找到一條較優(yōu)的路徑需要更多的時(shí)間，此外，ACO算法中融入了正反饋機(jī)制，如果正反饋過于強(qiáng)，容易使得算法陷入局部最優(yōu)，反饋過弱，則使得算法收斂速度減慢。針對上述機(jī)理分析，GA、PSO以及ACO算法在參數(shù)辨識問題或者高維度優(yōu)化問題上都存在一定的不足，本文所采取自適應(yīng)策略和混沌變異策略可以有效提高基本粒子群算法在高維度問題優(yōu)化方面所呈現(xiàn)出的不足。

5 結(jié) 論

本文對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行了相空間重構(gòu)，同時(shí)對其進(jìn)行了混沌特性的判定識別。引入基于改進(jìn)粒子群算法辨識的Volterra泛函級數(shù)模型，建立一種基于Volterra級數(shù)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測模型。

1) 本文采用0-1檢測法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行了混沌判定。結(jié)果表明：實(shí)際記錄的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在混沌現(xiàn)象，實(shí)際記錄的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列為混沌時(shí)間序列。0-1檢測法可以較準(zhǔn)確地判斷時(shí)間序列中是否含有混沌特性，從而為時(shí)間序列的分析與預(yù)測提供前提。

2) 由于已確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在混沌現(xiàn)象，本文引入非線性Volterra模型，結(jié)合智能優(yōu)化算法，建立了基于改進(jìn)粒子群算法辨識的Volterra自適應(yīng)預(yù)測模型。該預(yù)測模型綜合利用線性和非線性因素，充分利用了目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的混沌特性，更符合混沌序列的非線性本質(zhì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三階Volterra自適應(yīng)預(yù)測模型能夠很好地對目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡做出預(yù)測，且預(yù)測精度較高。

3) 本文將改進(jìn)的粒子群算法與非線性Volterra泛函級數(shù)模型相結(jié)合，同時(shí)在仿真中，將該預(yù)測方法與Kalman濾波算法以及機(jī)器學(xué)習(xí)算法的預(yù)測性能進(jìn)行了對比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法在單步和多步預(yù)測方面的性能都較好，可以適用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測問題。

4) 本文將改進(jìn)的粒子群算法與非線性Volterra泛函級數(shù)模型相結(jié)合，同時(shí)在仿真中，將該預(yù)測算法與SPSO-Volterra模型、ACO-Volterra模型和GA-Volterra模型的預(yù)測性能進(jìn)行了對比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法預(yù)測精度高，且算法的收斂速度快。