劉佳琪，王偉，*，林德福，林時堯

1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2. 無人機自主控制技術北京重點實驗室，北京 100081

伴隨飛行器機動性、防御性不斷提高，工程上對導彈的制導精度提出了更高要求。而在實際應用中，制導律往往受到導彈硬件性能約束。同時，如何準確獲取目標運動狀態(tài)也是限制制導律性能的重要因素。因此，在考慮硬件性能及制導信息約束的前提下，設計滿足精度需求的制導律具有重要的應用價值。

多約束條件下的導彈制導控制系統(tǒng)為典型的非線性系統(tǒng)，現(xiàn)有的比例導引方法針對復雜條件的擴展性較差，而反演控制方式適用于復雜非線性系統(tǒng)且易于添加約束，因而被廣泛應用于制導律的設計中[1-3]。實際工程中，三維有限時間收斂制導律具有很高的應用價值[4-6]。文獻[7]應用了反演設計方法和輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性理論，設計了一種三維魯棒非線性導引律，在有限收斂時間內(nèi)提高了系統(tǒng)的魯棒性。而反演法在對虛擬項求導的過程中會產(chǎn)生極大的計算量，占用工程中的有限計算資源，被稱為“微分膨脹”。目前常用的解決這一問題的動態(tài)面控制法將反演法的虛擬控制量通過一階低通濾波器，獲得下一步迭代數(shù)據(jù)。文獻[8-9]將動態(tài)面控制技術應用在導彈制導控制系統(tǒng)設計中，消除了“微分膨脹”問題，減少了制導過程計算量。但動態(tài)面控制制導(Dynamic Surface Control Guidance, DSCG)律對虛擬控制量過濾作用有限。Ramy[10]和Dong[11]等針對反演控制過程中的“微分膨脹”問題提出了一種指令濾波反演方法，在濾波器中加入阻尼和帶寬的限制來過濾虛擬信號。指令濾波反演方法也被應用制導控制問題中[12]，文獻[13]在高超聲速飛行器模型上應用指令濾波反演控制，驗證了其對制導信號的有效跟蹤控制。

在確定控制方法的前提下，充分考慮飛行器其他部分對制導過程的約束對提高實際制導效果有很大提升[14]。其中自動駕駛儀的動態(tài)特性會對實際制導控制回路造成較大延遲，在制導律設計過程中加入自駕儀環(huán)節(jié)可以有效改善。此外，在追蹤目標持續(xù)變向機動的過程中，實際額定過載會約束導彈的追蹤性能。文獻[15-16]在制導律設計過程中充分考慮了導彈自動駕駛儀的動態(tài)特性，改善了系統(tǒng)的整體性能。Chwa[17]應用動態(tài)面方法解決了輸入飽和情況下的控制問題，文獻[18-19]也在考慮輸入飽和的前提下開展了制導控制設計工作。文獻[20]以平面內(nèi)彈目運動模型為基礎，考慮自駕儀動態(tài)性能設計了一種過載指令約束導引律，對指令濾波器在非線性系統(tǒng)控制中的應用做出了較為詳盡的解釋。文獻[21]基于指令濾波反推方案，使用已知目標狀態(tài)信息設計了考慮控制飽和及自駕儀動態(tài)性能問題的三維制導律。

目標加速度信息的準確性對制導精度有很大影響，而在實際工程應用中，目標加速度信息往往難以直接獲取并直接運用到制導律中。為此本文引入擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)對目標加速度進行估計。擴張狀態(tài)觀測器對非線性制導律中的未知制導信息具有很好的跟蹤效果[22]。文獻[23]在二維縱向平面的設計了二階與一階2個擴張狀態(tài)觀測器分別估計目標加速度與目標視線角速度信息。文獻[24]則是將由擴張狀態(tài)觀測器觀測的目標加速度信息應用到滑模制導律的設計中。實際制導信息獲取、傳輸過程中，信號噪聲 會對制導律以及加速度信號跟蹤造成影響，擴張狀態(tài)觀測器也應具有一定的抗干擾能力。

由上述分析，反演控制方法在制導控制方面有很好的可用性，且約束項也對制導律設計提出了實踐要求。本文以導彈對目標精確打擊為背景，通過擴張狀態(tài)觀測器估計目標加速度。相較于現(xiàn)有的DSCG，本文改進了濾波器結(jié)構(gòu)，顯著提高了制導精度。較于傳統(tǒng)的有限時間收斂制導(Finite-Time Convergent Guidance, FTCG)律[25]，本文設計的指令濾波反演制導(Command Filter Back-stepping Guidance,CFBG)律，具有更快的收斂速度及更高的精度；同時增加了自動駕駛儀動態(tài)環(huán)節(jié)和飽和濾波環(huán)節(jié)，使該制導方式更具有工程應用價值。

1 制導模型

導彈和目標的相對位置關系在圖1的彈目視線坐標系中進行表示，視線坐標系Ox′y′z′由慣性系Oxyz依次繞y軸和z′軸旋轉(zhuǎn)-η、ε的角度得到，慣性系Ox軸同導彈初始速度方向相同。

彈目相對運動方程為

(1)

式中：r為導彈與目標相對距離；ε和η分別為彈目視線傾角和視線偏角；aTr、aTε和aTη分別目標在彈目視線坐標系下x′、y′、z′ 3個方向的加速度；aMr、aMε和aMη為導彈在上述3個方向上的加速度。

圖1 導彈與目標相對位置關系Fig.1 Relative position of missile and target

(2)

(3)

在對導彈進行控制的過程中，制導律計算出的加速度指令直接輸出給導彈的自動駕駛儀，自動駕駛儀通過調(diào)節(jié)舵或推進器來跟蹤加速度指令。因此，導彈最終獲得的加速度相較于加速度指令而言，總存在滯后現(xiàn)象。在應用過程中，使用能較好描述自動駕駛儀動力學特性的二階系統(tǒng)應用到制導律模型的建立、設計中。自動駕駛儀二階模型為

(4)

式中：aMi為在制導控制過程中實際獲得的加速度；ui為控制信號；ξ為動力學環(huán)節(jié)阻尼比；ωn為動力學環(huán)節(jié)固有頻率。

在實際應用中，如果制導律產(chǎn)生的控制信號不受約束，會將最大的信號輸入到控制系統(tǒng)中。但由于自動駕駛儀的特性以及硬件的限制，并不能對加速度指令進行有效的跟蹤。這種情況會產(chǎn)生信號突變的“尖角問題”，給控制系統(tǒng)造成執(zhí)行負擔。在設計制導律模型的過程中，引入一個飽和函數(shù)對控制量進行約束，將其控制在系統(tǒng)機構(gòu)調(diào)節(jié)能力范圍之內(nèi)，飽和函數(shù)為

(5)

式中：uM為已知的控制輸入信號的邊界(包括上界、下界)。

可得出制導律的數(shù)學模型為

(6)

式中：

(7)

式中：f(x1)為因變量；d為目標在視線坐標系下的加速度，通過擴張狀態(tài)觀測器估算獲得。在制導律設計過程中，主要對x2，即導彈在視線傾角與視線偏角方向的加速度進行控制。

2 指令濾波反演制導律

2.1 制導律設計

在制導律數(shù)學模型(6)中，目標加速度d難以通過觀測直接獲得，因此需要根據(jù)已知狀態(tài)對d進行估計。根據(jù)擴張狀態(tài)觀測器設計原則，以導彈法向速度x1為狀態(tài)變量求解誤差，將目標加速度作為干擾項設計擴張狀態(tài)觀測器(ESO)[24]來估算目標加速度：

(8)

式中：β1、β2為觀測器的反饋增益系數(shù)；z2可以實現(xiàn)對d的有效跟蹤。為保證前后描述的一致性，后文目標加速度仍用d表示。接下來對制導律控制量進行設計。Δz代表實際應用中導彈的制導參數(shù)(x1、x2等)輸入到擴張狀態(tài)觀測器過程中產(chǎn)生的噪聲信號，在仿真實驗中會對Δz做更詳盡的定義。

根據(jù)滑?？刂圃O計原則，對非線性系統(tǒng)的控制量進行設計時，首先定義跟蹤誤差Si[9]：

Si=xi-xici=1,2,3

(9)

式中：x1c為制導過程中所需的彈目視線切向速度；x2c、x3c為虛擬控制輸入量。該制導律模型為三階非線性系統(tǒng)，需要3個設計環(huán)節(jié)完成設計。

步驟1由于x1為導彈在視線坐標系Oy′z′面上的2個速度，需要收斂到0，因此x1c定義為0，因此S1實際可以寫為

S1=x1

(10)

S1的導數(shù)為

(11)

f(S1)可被分為2個部分：

(12)

式中：

(13)

式(13)為一個非線性耦合項并滿足以下性質(zhì)：

(14)

定義一個李雅普諾夫函數(shù)為

(15)

對式(15)求導可得

(16)

(17)

(18)

(19)

步驟2定義跟蹤誤差S2為

S2=x2-x2c

(20)

通過式(6)對S2求導可得

(21)

(22)

(23)

(24)

步驟3定義跟蹤誤差S3為

S3=x3-x3c

(25)

對S3進行求導得

(26)

為了避免實際應用過程中產(chǎn)生控制輸入飽和的問題，除了設計飽和函數(shù)sat(u)外，再引入一個輔助的一階低通濾波器。令

(27)

若Δu=0則不存在控制輸入飽和的現(xiàn)象，將Δu通過一階低通濾波器獲得xe：

(28)

式中：xe為通過濾波器后的飽和項，參數(shù)τe為

(29)

式中：設計參數(shù)K3應滿足K3>0。當xe=0時γ(xe)=1，當xe≠0時γ(xe)=0。

綜上，控制信號u最終設計為

(30)

2.2 穩(wěn)定性證明

定理1對于制導律模型(6)，在采用指令濾波器(18)、(23)，一階濾波器(28)，并進行反演設計時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，被控制參數(shù)逐漸收斂。

證明濾波器輸出式(18)和式(23)在不考慮幅值及速率的附加約束下，經(jīng)過變換可得

(31)

ESO的穩(wěn)定性在文獻[26]中有詳細證明，本文不再給出。由工程經(jīng)驗可知，反饋增益系數(shù)、影響系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)定性，反饋增益系數(shù)越大，z2向d收斂的速度越快，但如果系數(shù)過大，系統(tǒng)易因超調(diào)過大而失穩(wěn)。具體參數(shù)選取在仿真實驗中進行詳細描述。

已知跟蹤誤差對時間的一階導數(shù)，定義李雅普諾夫函數(shù)為

(32)

代入邊界層誤差y2并對V1s對時間的一階導數(shù)為

(33)

同理，跟蹤誤差S2對時間的一階導數(shù)為

(34)

定義李雅普諾夫函數(shù)為

(35)

其對時間的一階導數(shù)為

(36)

跟蹤誤差S3對時間的一階導數(shù)為

(37)

定義李雅普諾夫函數(shù)

(38)

其對時間的一階導數(shù)為

(39)

輸入飽和情況下定義李雅普諾夫函數(shù)為

(40)

其對時間的一階導數(shù)為

(41)

綜上所述，在證明濾波過程穩(wěn)定的前提下啊，對整個閉環(huán)系統(tǒng)其他部分定義李雅普諾夫函數(shù)

(42)

其對時間的一階導數(shù)為

(43)

通過設計合適的參數(shù)，可以使參數(shù)滿足以下約束條件：

(44)

式(43)可以簡化為

(45)

滿足：

(46)

通過合理設計參數(shù)可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)中速度矢量沿視線傾角和視線偏角的分量逐漸收斂于0，證畢。

3 仿真實驗

利用數(shù)學仿真來檢驗設計的指令濾波反演制導(CFBG)律的有效性，通過與動態(tài)面控制制導(DSCG)律[9]有限時間收斂制導(FTCG)律[25]對比來突出指令濾波反演制導(CFBG)律的優(yōu)勢。其中DSCG采用相同ESO估計目標加速度，F(xiàn)TCG采用ESO估計彈目視線角速率參與制導，且不考慮自駕儀延遲環(huán)節(jié)。同時為比較3種制導律的收斂性，以相同的飽和函數(shù)sat(u)限制加速度。

導彈和目標的位置、運動狀態(tài)通常需要地面雷達、基站進行標記。因此仿真中給定狀態(tài)量都在地面慣性坐標系中進行表示，通過坐標系轉(zhuǎn)換即可得到視線坐標系中的各個變量。仿真參數(shù)設計為：仿真步長h=0.001，單位為s，ESO的反饋增益參數(shù)與仿真步長有關，設計為：β1=2/h，β2=1/h；CFBG的仿真參數(shù)設計為：ωn=20，ξ=0.6，N=4，K1=3，K2=5，K3=7，K4=60，ζm=0.8，ωm=220，uM=[-200 200]。以導彈攔截空中機動目標為背景，設定導彈位置為坐標原點,單位為m；目標位置在T0=(3 000, 3 000,3 000)， 單位為m，模擬導彈在末制導過程中無助推環(huán)節(jié)下對目標的追蹤打擊。設計較大的初始偏差來檢驗制導律對導彈的控制效果，設導彈初速度Vm0=800 m/s，沿慣性系軸正向，則導彈與目標初始視線傾角ε0=45°，視線偏角η0=45°。實際應用中，導彈過載受到各方面的限制，設定導彈加速度上限為am,max=200 m/s2。

為探究設計制導律對機動目標的跟蹤、制導效果，設計2種不同運動模式的目標運動：在豎直方向上做往返加速的正弦運動和在有限時間內(nèi)的不規(guī)則躲避運動。慣性系中目標初始速度均為VT0，單位m/s；目標正弦運動加速度參數(shù)為：aTz=-30sin(πt/2) m/s2，aTx=0，aTy=0；目標不規(guī)則運動加速度參數(shù)為：t<2 s時，aTx=-10 m/s2，aTy=-10 m/s2，aTz=0；2≤t<4 s時，aTx=-20 m/s2，aTy=0，aTz=0；t≥4 s時，aTx=0，aTy=-10 m/s2，aTz=-10 m/s2。在ESO跟蹤目標加速度仿真中，通過隨機數(shù)模擬噪聲信號Δz，隨機數(shù)符合μ=0，σ2=1的高斯分布?？紤]目標加速度量級，增加幅值為5放大器，采樣時間為0.001 s。其他仿真實驗中定義Δz=0。仿真結(jié)果和分析如下：

圖2和圖3中，圖2(a)中曲線為目標和3種制導律下導彈的運動軌跡，圖2(b)和圖3(b)、圖2(c)和圖3(c)、圖2(d)和圖3(d)中12 s后制導數(shù)據(jù)突變處為導彈命中目標時刻，對制導過程無影響。圖2(e)和圖3(e)表示控制參數(shù)u、sat(u)以及加速度。

由表1、表2的導彈攔截目標脫靶量及圖2(a)、圖3(a)的導彈攔截目標過程可以看出，3種制導方式都可以控制導彈接近目標并以較小脫靶量命中目標。相較于DSCG和FTCG，CFBG彈道在約0～5 s內(nèi)偏移量較小，在制導后段，偏移量逐漸增加，符合能量利用原則。目標做正弦運動時，CFBG脫靶量位于中間位置,但如果去除ESO而直接使用目標加速度，則CFBG的命中精度要高于其他2種制導律；目標做不規(guī)則運動時，CFBG的命中精度最高。CFBG與DSCG相比改進了濾波環(huán)節(jié)，引入速率及帶寬的約束，使得制導精度有約50%的提高。由圖2(b)和圖3(b)可知，設計的ESO可以實現(xiàn)對目標加速度的跟蹤，除在目標加速度突變時刻有小量延遲外，其他時刻ESO的跟蹤精度均較高。ESOI表示在添加信號噪聲之后擴張狀態(tài)觀測器的跟蹤曲線，可以看到當噪聲信號在所觀測加速度信號中占比較大的影響下，ESO也能對加速度信號進行準確跟蹤。從圖2(c)、圖2(d)和圖3(c)和圖3(d)可知3種制導方式都通過零化視線角速率的方式實現(xiàn)對目標的追蹤。CFBG和DSCG 2種制導方式下彈目視線角速率收斂更快，在7 s左右實現(xiàn)收斂，F(xiàn)TCG收斂速度略慢于其他2種，尤其是在視線偏角方向上需要在9～10 s的時間段內(nèi)實現(xiàn)收斂。在目標正弦運動過程中，F(xiàn)TCG在接近目標時視線角速率也發(fā)生了類正弦的變化趨勢。結(jié)合目標不規(guī)則運動結(jié)果，可以看出FTCG在攔截做法向運動的目標的過程中，追蹤反應要慢于CFBG和DSCG。由圖2(e)和圖3(e)可以看出，未經(jīng)約束的控制輸出u超過最大控制量，經(jīng)過飽和函數(shù)sat(u)約束后成功控制在200以內(nèi)，但是頻率較高，不適合直接輸入到導彈模型中。通過低通濾波器可以得到最終相對平穩(wěn)的加速度指令。

2種目標運動模式下脫靶量和制導參數(shù)如表1和表2所示。

圖2 目標正弦運動仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of target sinusoidal motion

表1 目標正弦運動脫靶量Table 1 Miss distance of target sinusoidal motion

表2 目標不規(guī)則運動脫靶量Table 2 Miss distance of target irregular motion

4 結(jié) 論

本文基于指令濾波反演控制、有限時間穩(wěn)定理論、擴張狀態(tài)觀測方法，設計了一種同時考慮自動駕駛儀動態(tài)特性、控制輸入飽和目標加速度未知問題的制導律。主要工作及結(jié)論如下：

1) 為獲取目標加速度信息，設計了一種有限時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器，可以實現(xiàn)對目標加速度的有效跟蹤。

2) 在制導律中加入自動駕駛儀二階動態(tài)環(huán)節(jié)及飽和過濾環(huán)節(jié)，并設計了一種指令濾波反演制導律，保證在有限時間內(nèi)彈目視線角速率零化。