胡 杰，范宣華

（1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所；2.工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動(dòng)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室：綿陽(yáng)621999）

0 引言

裝備結(jié)構(gòu)在定型并投入正式生產(chǎn)服役之前，均需要經(jīng)過(guò)環(huán)境試驗(yàn)驗(yàn)證產(chǎn)品的環(huán)境適應(yīng)性，其中振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)是裝備產(chǎn)品研發(fā)過(guò)程中不可或缺的環(huán)節(jié)，其目的是考查產(chǎn)品能否適應(yīng)長(zhǎng)時(shí)振動(dòng)環(huán)境。

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)中通過(guò)加載設(shè)備（常采用振動(dòng)臺(tái)）產(chǎn)生與實(shí)際情況下等效的載荷，或者使得產(chǎn)品關(guān)注位置產(chǎn)生與實(shí)際情況下等效的響應(yīng)。目前比較成熟的是單點(diǎn)激勵(lì)方式，即采用單個(gè)加載設(shè)備進(jìn)行試驗(yàn)，只對(duì)單個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行控制，相關(guān)的研究和應(yīng)用已經(jīng)比較充分[1-4]。但顯然，若能對(duì)裝備結(jié)構(gòu)上多個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行控制，則能使得產(chǎn)品的響應(yīng)特性與實(shí)際所處的振動(dòng)環(huán)境更為接近；而多點(diǎn)響應(yīng)控制往往意味著需要多點(diǎn)激勵(lì)的方式，因此多點(diǎn)激勵(lì)振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)在裝備研發(fā)過(guò)程中日益得到重視。多點(diǎn)激勵(lì)試驗(yàn)方式的難點(diǎn)在于加載控制的協(xié)調(diào)性，體現(xiàn)在多個(gè)加載點(diǎn)或響應(yīng)點(diǎn)之間的相關(guān)性處理[5]。不少學(xué)者或針對(duì)控制算法開(kāi)展理論和數(shù)值仿真研究[6]，或針對(duì)實(shí)際產(chǎn)品開(kāi)展應(yīng)用探索，取得了一系列成果[7-9]。

在當(dāng)前的多點(diǎn)激勵(lì)研究或應(yīng)用中，主要是采用與響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量相同的加載設(shè)備進(jìn)行激勵(lì)的方式，最常見(jiàn)的是兩點(diǎn)激勵(lì)兩點(diǎn)隨機(jī)響應(yīng)控制。加載設(shè)備可以是2個(gè)振動(dòng)臺(tái)，也可以是振動(dòng)臺(tái)與激振器相結(jié)合，而且在試驗(yàn)中只對(duì)多個(gè)點(diǎn)響應(yīng)的自譜進(jìn)行控制，對(duì)多點(diǎn)之間的互譜并不關(guān)注。這就使得控制載荷之間的相關(guān)性不唯一，從而在控制上較為靈活，有利于實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)控制。另一方面，基于此開(kāi)展對(duì)控制載荷大小與加載位置的研究，可以分析實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)響應(yīng)控制的最小推力載荷，從而指導(dǎo)加載設(shè)備參數(shù)的合理選擇以及加載位置的合理布局，以充分發(fā)揮加載設(shè)備的能力。

目前針對(duì)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中推力需求的分析多采用將運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)（振動(dòng)臺(tái)動(dòng)圈、夾具以及試驗(yàn)產(chǎn)品構(gòu)成的系統(tǒng)）的總質(zhì)量與目標(biāo)控制加速度功率譜密度曲線的總均方根值相乘的方法[10-14]。該方法應(yīng)用簡(jiǎn)單，其實(shí)質(zhì)是將運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)視為剛體，但實(shí)際上振動(dòng)試驗(yàn)中運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)并非剛體，往往體現(xiàn)出較復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)各個(gè)位置的動(dòng)態(tài)響應(yīng)差異較大。為考慮運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的彈性，文獻(xiàn)[15]采用了估算結(jié)果乘以系數(shù)1.2的方式；但要更準(zhǔn)確地評(píng)估推力需求，還需要開(kāi)展進(jìn)一步的研究。對(duì)于多點(diǎn)激勵(lì)試驗(yàn)情況，文獻(xiàn)[16]開(kāi)展了理論及試驗(yàn)研究，但對(duì)推力評(píng)估方式進(jìn)行了簡(jiǎn)化，即假設(shè)多點(diǎn)激勵(lì)全不相干，且量級(jí)相同，實(shí)質(zhì)上屬于多臺(tái)并推方式。文獻(xiàn)[17]基于傳遞關(guān)系的廣義逆開(kāi)展了多點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)下的最小驅(qū)動(dòng)功率分析。

本文從多點(diǎn)響應(yīng)信號(hào)之間的相位差隨機(jī)化出發(fā)，考慮多點(diǎn)響應(yīng)之間的相關(guān)性，并采用遺傳優(yōu)化算法開(kāi)展響應(yīng)控制點(diǎn)與加載設(shè)備數(shù)量相同情況下多點(diǎn)激勵(lì)下的加載推力需求下限的理論分析和數(shù)值模擬，以期為多點(diǎn)激勵(lì)試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)和加載設(shè)備的優(yōu)化布局提供方法支撐。

1 多點(diǎn)激勵(lì)下的控制載荷需求

經(jīng)過(guò)有限元離散化后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程在頻域內(nèi)可寫(xiě)為

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Xa(ω)、Xv(ω)、Xd(ω)分別為結(jié)構(gòu)的加速度、速度和位移響應(yīng)；F(ω)為結(jié)構(gòu)受到的外載荷。

以振動(dòng)試驗(yàn)中常關(guān)注的加速度信號(hào)為例，結(jié)構(gòu)的加速度諧波響應(yīng)為

式中H(ω)為載荷與加速度響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)矩陣，

記c為所關(guān)注的多點(diǎn)響應(yīng)集合，f為載荷加載的節(jié)點(diǎn)集合，則關(guān)注位置的加速度響應(yīng)為

式中：H c(ω)為H(ω)中與c所對(duì)應(yīng)的行和與f對(duì)應(yīng)的列所構(gòu)成的子矩陣；F f(ω)為加載區(qū)域的載荷矢量。

對(duì)于加載設(shè)備與響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量相同的情況，記該數(shù)量為m，矩陣H c(ω)為m×m維的方陣，對(duì)于兩點(diǎn)激勵(lì)兩點(diǎn)響應(yīng)控制而言，其維數(shù)為2×2。

其中P c(ω)和P f(ω)均為矩陣形式，其對(duì)角線元素分別為多點(diǎn)響應(yīng)和多點(diǎn)激勵(lì)載荷的自譜，非對(duì)角線元素分別為多點(diǎn)響應(yīng)之間的互譜和多點(diǎn)激勵(lì)之間的互譜。

以m=2為例，將加速度諧響應(yīng)寫(xiě)成幅值和相位角的形式，以2個(gè)關(guān)注點(diǎn)中的1個(gè)為參考，記其相位角為0，另一點(diǎn)與其相位角的差記為α，則P c(ω)可寫(xiě)為

式中Xa,c1和Xa,c2分別為2個(gè)關(guān)注點(diǎn)的加速度諧響應(yīng)幅值。

類似的，三點(diǎn)激勵(lì)三點(diǎn)響應(yīng)控制的關(guān)注點(diǎn)響應(yīng)的功率譜密度矩陣為

式中：Xa,c3為第3個(gè)關(guān)注點(diǎn)的加速度諧響應(yīng)幅值；β為第3個(gè)響應(yīng)控制點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的相位角。

由式(7)和式(8)可知，各點(diǎn)響應(yīng)之間的相位差可以是隨意的，因此，由式(6)得到的加載載荷也是不唯一的。若能進(jìn)一步分析得到此時(shí)加載載荷的下限值，則將能夠?yàn)槎帱c(diǎn)激勵(lì)方案的設(shè)計(jì)提供加載能力的布局建議。

2 算法及分析流程

本文采用優(yōu)化算法進(jìn)行多點(diǎn)激勵(lì)推力需求下限分析，其思路為：根據(jù)頻域內(nèi)各個(gè)頻率點(diǎn)之間動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算的獨(dú)立性，對(duì)每個(gè)激勵(lì)頻率，以多點(diǎn)響應(yīng)之間的相位差為優(yōu)化變量，以2個(gè)加載點(diǎn)中激勵(lì)力需求較大的值最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳優(yōu)化算法計(jì)算得到推力載荷的最小需求；然后逐個(gè)激勵(lì)頻率點(diǎn)計(jì)算，得到整個(gè)分析頻段內(nèi)由各個(gè)頻率點(diǎn)下的最小推力構(gòu)成的載荷功率譜密度曲線?？紤]到基于隨機(jī)激勵(lì)的特點(diǎn)，載荷也是隨機(jī)變量，一般考慮符合正態(tài)分布，因此計(jì)算該條載荷曲線的均方根值，取其3倍作為最小驅(qū)動(dòng)力，以保證99.73%的置信度，相應(yīng)的流程如圖1所示。

圖1 多點(diǎn)激勵(lì)推力需求下限分析流程Fig.1 Flow chart of analyzing the lower limit of thrust force for multi-point excitation

3 仿真算例

3.1 仿真模型

仿真模型為如圖2所示的圓殼結(jié)構(gòu)，材料為鋼；其軸向?yàn)閤方向，橫向?yàn)閥方向；A1～A3為供選擇的響應(yīng)控制點(diǎn)；殼體結(jié)構(gòu)下部有5個(gè)可供選擇的加載位置，分別為B1～B5，通過(guò)夾具與振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面連接，夾具材料為鋼。不同位置的高度存在差異，為避免夾具與殼體之間的直接接觸造成對(duì)殼體的損傷，夾具與殼體之間有5 mm 厚度的毛氈。建模時(shí)，給毛氈賦予較低的彈性模量，同時(shí)考慮振動(dòng)臺(tái)動(dòng)圈質(zhì)量（50 kg）的影響，將其作為面質(zhì)量附加在夾具底部。響應(yīng)控制和載荷加載的方向均為y方向，隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，3個(gè)響應(yīng)控制點(diǎn)（A1～A3）的曲線、數(shù)據(jù)如圖3和表1所示。

圖2 圓殼結(jié)構(gòu)Fig.2 Shell structure

圖3 控制點(diǎn)功率譜密度曲線Fig.3 PSD curves for each control point

表1 控制點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)Table1 Responsedata of each control point

開(kāi)展多種工況（如表2所示）的數(shù)值模擬分析，其中E1～E10為兩點(diǎn)激勵(lì)兩點(diǎn)控制方案，E11～E20為三點(diǎn)激勵(lì)三點(diǎn)控制方案。

表2 多點(diǎn)激勵(lì)加載優(yōu)化配置數(shù)值模擬工況Table 2 Optimized numerical simulation operating modes of multi-point excitation

3.2 仿真結(jié)果

各工況下推力需求下限的計(jì)算結(jié)果如表3和表4所示。

表3 兩點(diǎn)激勵(lì)各工況下推力需求下限計(jì)算結(jié)果Table3 Simulation result of lower limit of propulsiveforce in two-point excitation modes

表4 三點(diǎn)激勵(lì)各工況下推力需求下限計(jì)算結(jié)果Table 4 Simulation result of lower limit of propulsive force in three-point excitation modes

其中兩點(diǎn)激勵(lì)兩點(diǎn)響應(yīng)控制工況下，最優(yōu)工況為E3，三點(diǎn)激勵(lì)三點(diǎn)響應(yīng)控制工況下，最優(yōu)工況為E14和E17，說(shuō)明在圖2所示模型中，兩點(diǎn)激勵(lì)方案的加載點(diǎn)位于B1和B4為最佳布局方式。三點(diǎn)激勵(lì)方案的3個(gè)加載點(diǎn)有位于B1、B3、B4以及位于B2、B3、B4這2種最佳布局方式供選擇；此外，工況E18為次優(yōu)方案。上述4種最優(yōu)或次優(yōu)方案（E3、E14、E17、E18）所對(duì)應(yīng)的推力需求下限的功率譜密度曲線見(jiàn)圖4～圖7，圖中曲線每個(gè)頻率點(diǎn)的數(shù)據(jù)為該頻率點(diǎn)下諧振激勵(lì)時(shí)所需要的最小推力值。

由表3和表4還可以看出，不合理的加載布局將導(dǎo)致推力需求陡增，例如工況E20中加載點(diǎn)的推力需求下限達(dá)到了212.2 kN。需要指出的是，為保證振動(dòng)臺(tái)能長(zhǎng)期穩(wěn)定并可靠使用，通常情況下只用到振動(dòng)臺(tái)推力上限的70%，因此，在評(píng)估推力需求的時(shí)候，可以考慮將上述分析結(jié)果乘以系數(shù)1.5作為最終參考數(shù)值[19]。

圖4 工況E3所需推力下限功率譜Fig.4 Lower limit of propulsiveforcein operating mode E3

圖5 工況E14所需推力下限功率譜Fig.5 Lower limit of propulsive force in operating mode E14

圖6 工況E17所需推力下限功率譜Fig.6 Lower limit of propulsive force in operating mode E17

圖7 工況E18所需推力下限功率譜Fig.7 Lower limit of propulsive force in operating mode E18

4 結(jié)論

本文針對(duì)目前應(yīng)用較多的載荷加載點(diǎn)與響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量相同的多點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)方案，通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真，得到如下結(jié)論：

1）由于不考慮多點(diǎn)響應(yīng)之間的相關(guān)性（或相位差），使得加載載荷不唯一，有利于實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)控制。

2）通過(guò)對(duì)多點(diǎn)激勵(lì)推力需求下限的分析，可以獲得加載設(shè)備所需要的最小驅(qū)動(dòng)力，為加載設(shè)備的參數(shù)選擇提供參考。

3）在可供選擇的加載位置，經(jīng)過(guò)合理組合布局，可有效發(fā)揮現(xiàn)有加載設(shè)備的能力；反之，不合理的布局將導(dǎo)致對(duì)加載設(shè)備能力需求陡增，甚至無(wú)法達(dá)到試驗(yàn)?zāi)康摹?/p>