胡旭旭　范秋華

摘 ?要： 在對Buck?Boost變換器運(yùn)行于電感電流斷續(xù)模式下的工作特性進(jìn)行精確分析時，考慮到實(shí)際電感和實(shí)際電容本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的事實(shí)，建立該模式下變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型并進(jìn)行研究。首先，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論推導(dǎo)出變換器的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間模型以及傳遞函數(shù);然后，基于改進(jìn)的Oustaloup分?jǐn)?shù)階微積分濾波器近似算法封裝分?jǐn)?shù)階積分模塊，并在此模塊基礎(chǔ)上構(gòu)建變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型;最后，在Matlab/Simulink環(huán)境下，進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明，相較于整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型能夠更加精確地描述Buck?Boost變換器運(yùn)行于電感電流斷續(xù)模式下的工作特性。

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)階微積分; 分?jǐn)?shù)階建模; Buck?Boost變換器; 斷續(xù)模式; 數(shù)值仿真; 對照分析

中圖分類號： TN710.9?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）24?0126?05

Fractional?order modeling and analysis of Buck?Boost converter in

disdiscontinuous conduction mode

HU Xuxu， FAN Qiuhua

（College of Electrical Engineering， Qingdao University， Qingdao 266003， China）

Abstract： The fractional?order mathematical simulation model of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode is proposed and researched based on the facts that the actual inductance and capacitance are essentially fractional?order to accurately analyze the operating characteristic. The fractional?order state space model and transfer function of the converter are derived based on the fractional?order calculus theory， and then the fractional?order integral module is encapsulated by means of the approximation algorithm based on the improved Oustaloup fractional calculus filter， on which the fractional?order mathematical simulation model of the converter is built. The numerical simulation is carried out on the Matlab / Simulink. The simulation results show that， in comparison with the integer model， the fractional?order mathematical simulation model can describe the operating characteristics of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode more accurately.

Keywords： fractional calculus; fractional?order modeling; Buck?Boost converter; discontinuous conduction mode; numerical simulation; contrast analysis

0 ?引 ?言

分?jǐn)?shù)階最早是作為研究半階的衍生工具被提出。1823年，阿貝爾首次應(yīng)用了分?jǐn)?shù)階微積分[1]。分?jǐn)?shù)階微積分主要是作為研究任意階數(shù)的微積分而存在，其以往的整數(shù)階微積分僅為分?jǐn)?shù)階的一個特例。由于缺乏對微積分方程離散化問題的求解方法和實(shí)際工程應(yīng)用對其研究背景的支撐，早期針對分?jǐn)?shù)階的研究主要集中在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，進(jìn)行純理論研究。隨著計(jì)算機(jī)軟件、硬件以及各種離散化算法的快速發(fā)展和自動化控制領(lǐng)域?qū)刂菩枨蟮难杆僭黾?，尤其?0世紀(jì)80年代以來對線性和非線性離散化問題的研究，使針對分?jǐn)?shù)階的微積分有了更多離散化求解方法。從一些實(shí)際例子中可得知，只要動態(tài)系統(tǒng)具有分布參數(shù)，就可以使用分?jǐn)?shù)階控制[2]。此外，微分器或積分器中所具有的分?jǐn)?shù)階性質(zhì)，也使得許多實(shí)際系統(tǒng)中建立的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型相較于整數(shù)階數(shù)學(xué)模型更為精確，更能準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的本質(zhì)[3]。對實(shí)際電容、電感進(jìn)行的大量理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，實(shí)際的電容、電感在本質(zhì)上都具有分?jǐn)?shù)階性質(zhì)[4]。

作為開關(guān)功率變換器中不可或缺的電路元件，電感和電容一直是研究重點(diǎn)。但是，長期以來，在針對DC/DC變換器工作特性的研究過程中，所采用的離散建模法和狀態(tài)平均建模法[5]，均普遍建立在實(shí)際的電感、電容是整數(shù)階的基礎(chǔ)上，其結(jié)果僅能粗略描述變換器的工作特性。因此，建立相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型，是當(dāng)前針對DC/DC變換器工作特性精確化分析的熱門方法。盡管有些學(xué)者做過分?jǐn)?shù)階微積分建模方面的研究，但所做的研究還不能夠完全推廣到所有DC/DC變換器，一些理論還需進(jìn)一步完善。國內(nèi)現(xiàn)有針對Buck?Boost變換器的分?jǐn)?shù)階研究中，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別推導(dǎo)了連續(xù)導(dǎo)通模式和偽連續(xù)導(dǎo)通模式下的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間平均模型及與輸入輸出相關(guān)的各類傳遞函數(shù)，建立了基于分?jǐn)?shù)階的數(shù)學(xué)仿真模型。但由DC/DC變換器斷續(xù)模式下運(yùn)行模態(tài)的變化，使得文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中所推導(dǎo)的狀態(tài)空間模型和各類傳遞函數(shù)以及所建立的數(shù)學(xué)仿真模型均不能直接使用。同時由DC/DC變換器斷續(xù)模式下運(yùn)行模態(tài)的增加可得，電感電流斷續(xù)模式下的Buck?Boost變換器應(yīng)具有更加復(fù)雜的電路拓?fù)浜透鼮楠?dú)特的運(yùn)行狀態(tài)。

根據(jù)圖3a）的電感電流波形圖，可明顯判斷出Buck?Boost變換器運(yùn)行在電感電流斷續(xù)模式下。同時測量出[ΔiL]=3.127 6 A，[iLmax]=3.127 6 A，[D2]=0.1。根據(jù)圖3b）可測量出[v0]位于78.18～78.21 V之間。與此同時根據(jù)式（18）和式（17）可分別計(jì)算出[ΔiL]=[iLmax]=3.127 7 A，[D2]=0.101 2，[V0]=78.192 1 V?？梢?，分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型的數(shù)值仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果保持基本一致，從而驗(yàn)證了本文對分?jǐn)?shù)階Buck?Boost變換器理論分析和建模的正確性。取[α=1]，[β=1]時，此時的分?jǐn)?shù)階積分模塊的功能與整數(shù)階積分模塊的功能一致，因此，可直接采用整數(shù)階積分模塊來描述DCM Buck?Boost變換器，整數(shù)階的DCM Buck?Boost變換器的仿真模型如圖4所示。

同樣根據(jù)文獻(xiàn)[12]中用于判斷Buck?Boost變換器電感電流連續(xù)與否的臨界條件，整數(shù)階臨界負(fù)載電阻為R=138.888 9 Ω。當(dāng)保持取R=500 Ω不變時，Buck?Boost變換器仍可穩(wěn)定運(yùn)行于電感電流斷續(xù)模式。當(dāng)變換器運(yùn)行達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，電感電流[iL]波形和輸出電壓[v0]波形見圖5a）和圖5b）。

根據(jù)圖5a）可測量出[ΔiL]=0.320 5 A，[iLmax]=0.320 5 A，[D2]=0.316 0。同時根據(jù)圖5b）也可測量出[v0]在25.28～25.31 V之間。而根據(jù)式（17）分別計(jì)算出[V0]=25.298 0 V，[D2]=0.316 2;根據(jù)式（18）計(jì)算出[ΔiL]=[iLmax]=0.320 0 A?？梢?，整數(shù)階模型的數(shù)值仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果保持基本一致，從而進(jìn)一步說明了本文DCM Buck?Boost變換器分?jǐn)?shù)階的理論分析和建模的正確性。不同階次時的輸出參數(shù)見表1。

通過對以上結(jié)論分析可得，當(dāng)[α=1]，[β=1]時，對比得到的結(jié)果與[α]=0.8，[β]=0.8時得到的結(jié)果，[ΔiL]，[D2]以及[V0]都有了明顯的變化。特別是，通過對圖3a）和圖5a）以及表1中D2的分析可發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階電感電流的斷續(xù)時間[（1-d1-d2）Τ]隨著實(shí)際電感分?jǐn)?shù)階階數(shù)的減小，會出現(xiàn)明顯的增大。而對于輸出電壓，雖然根據(jù)圖3b）、圖5b）可發(fā)現(xiàn)輸出電壓并沒有出現(xiàn)較大的紋波，但根據(jù)表1中的輸出參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，輸出電壓的幅值隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)的減小，出現(xiàn)了明顯的增加。這就表明：對于本應(yīng)使用分?jǐn)?shù)階模型（[α<1]，[β<1]）進(jìn)行仿真分析的DCM Buck?Boost變換器，如果繼續(xù)使用整數(shù)階模型（[α]=1，[β]=1）進(jìn)行仿真分析，不僅在[ΔiL]，[D2]以及[V0]等方面出現(xiàn)明顯的誤差，甚至可能得出錯誤的結(jié)論?？梢姡瑸槟軌蚓_的描述Buck?Boost變換器運(yùn)行于斷續(xù)模式下的工作特性，必須要在實(shí)際的電感、電容是分?jǐn)?shù)階的基礎(chǔ)上，建立分?jǐn)?shù)階形式的數(shù)學(xué)仿真模型。

4 ?結(jié) ?語

本文根據(jù)實(shí)際的電感、電容在本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的事實(shí)，建立了Buck?Boost變換器運(yùn)行于斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型，并對其工作特性進(jìn)行精確分析。通過對其理論分析和仿真結(jié)果的對比可知，在實(shí)際的電感、電容均具有分?jǐn)?shù)階性質(zhì)的基礎(chǔ)上，若將繼續(xù)采用以往的整數(shù)階建模法來粗略近似地描述DC/DC變換器的工作特性，將會造成較大誤差。此外，由于DC/DC變換器在斷續(xù)模式下所具有的運(yùn)行模態(tài)可知，連續(xù)模態(tài)下的仿真模型不能直接應(yīng)用到斷續(xù)模態(tài)。因此，若要對Buck?Boost變換器運(yùn)行于斷續(xù)模態(tài)下的工作特性進(jìn)行精確分析，應(yīng)直接建立斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階模型。本文建立的DCM Buck?Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型，仍然還存在電感電流紋波較大、帶負(fù)載能力較弱等實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)

[1] HABA T C， LOUM G L， ZOUEU J T， et al. Use of a component with fractional impedance in the realization of an analogical regnlator of order 1/2 [J]. Journal of applied sciences， 2015， 8（1）： 59?67.

[2] 呂毅，戚志東.一種基于分?jǐn)?shù)階PID直流電機(jī)調(diào)速的AGV控制系統(tǒng)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2017，40（3）：127?130.

[3] 田野，盧志茂，高雪瑤.六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)仿真[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2017，40（12）：22?27.

[4] HAMIDA A. Higher?order sliding mode control scheme with all adaptation low for uncertain power DC?DC converters [J]. Journal of control automation & electrical systems， 2015， 26（2）： 125?133.

[5] 華偉民，白鵬，蔣金，等.電力系統(tǒng)DC?DC轉(zhuǎn)換器優(yōu)化控制仿真研究[J].計(jì)算機(jī)仿真，2016，33（2）：418?422.

[6] 伊利峰，張開如，劉軍.基于分?jǐn)?shù)階Buck?Boost變換器建模與分析[J].電子質(zhì)量，2015（7）：57?62.

[7] YANG Ningning， WU Chaojun， JIA Rong， et al. Modeling and characteristics analysis for a buck?boost converter in pseudo?continuous conduction mode based on fractional calculus [J]. Mathematical problems in engineering， 2016（1）： 1?11.

[8] 李耀紅，張海燕.一類分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題的可解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2016，39（4）：547?554.

[9] 薛定宇.分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)與分?jǐn)?shù)階控制[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[10] 楊占剛，吳惠東，屈俊超，等.基于廣義狀態(tài)空間平均的獨(dú)立電力系統(tǒng)建模方法[J].電工電能新技術(shù)，2016，35（12）：12?19.

[11] 李亞杰，吳志強(qiáng)，章國齊.基于Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階非線性振動系統(tǒng)響應(yīng)計(jì)算[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2018，35（4）：466?472.

[12] 裴文.DC?DC開關(guān)變換器建模、仿真與補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)研究[D].合肥：安徽大學(xué)，2014.

作者簡介：胡旭旭（1993—），男，山東濟(jì)寧人，碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性控制系統(tǒng)。

范秋華（1971—），女，河北邢臺人，碩士，副教授，研究方向?yàn)閮δ茉c系統(tǒng)、非線性電路與系統(tǒng)。