彭文 許栩

摘要：本文圍繞歐式看漲期權(quán)定價模型的有限差分法展開研究討論。通過變量代換把Black-Scholes方程轉(zhuǎn)化為拋物型偏微分方程，選擇顯式和隱式兩種主要格式進(jìn)行討論。利用建立網(wǎng)格、離散化變量、從低時間層開始的逐次運(yùn)算，不斷求出下一層的網(wǎng)格點數(shù)值。同時，得出在網(wǎng)格比滿足一定條件下，差分格式數(shù)值結(jié)果滿足穩(wěn)定性的結(jié)論。最后以行權(quán)時間分別在2020年4月、5月的華夏上證50ETF認(rèn)購期權(quán)開盤價作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，進(jìn)行期權(quán)定價的有限差分方法數(shù)值算例，得到有限差分格式比經(jīng)典Black-Scholes模型的定價結(jié)果更準(zhǔn)確、更符合現(xiàn)實生活中金融市場價格的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：歐式看漲期權(quán)定價 ?有限差分方法 ?Black-Scholes方程

一、引言

期權(quán)作為一種基礎(chǔ)金融工具，具有規(guī)避風(fēng)險、價格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險投資等功能，在金融市場及金融交易中扮演著重要角色。在期權(quán)市場中，期權(quán)定價是一切交易的基礎(chǔ)，沒有合理的定價方法，便不能進(jìn)行高效快速地交易結(jié)算。1973年，經(jīng)典布萊克-斯科爾斯方程的提出打開了期權(quán)定價的大門，之后學(xué)者們圍繞其方程的缺陷對微分方程進(jìn)行創(chuàng)新，研究其穩(wěn)定性等性質(zhì)，更積極地將理論模型應(yīng)用到實際金融產(chǎn)品的定價以及模型檢驗。2015年2月，證監(jiān)會準(zhǔn)許上證50ETF期權(quán)進(jìn)入場內(nèi)交易，其具有規(guī)模大、流動性好、跟蹤誤差相對較小等特點，是中國優(yōu)質(zhì)資產(chǎn)的代表。上證50ETF至今已穩(wěn)定運(yùn)行了1800多天，解決了中國長期價值投資的難題。ETF期權(quán)是標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)合約，標(biāo)的物是交易型開放式指數(shù)基金（ETF）。上證50ETF有認(rèn)購和認(rèn)沽兩種期權(quán)，合約單位10000份，到期日分別是當(dāng)月、下月和之后的兩個季月。本文通過有限差分方法，對上證50ETF的定價進(jìn)行了研究。

二、Black-Scholes模型方程的轉(zhuǎn)化

期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)是股票，且假設(shè)股票價格的變動是離散的，標(biāo)的資產(chǎn)的價格（或標(biāo)的資產(chǎn)指數(shù)）在真實市場中，若忽略開市之后的股票價格跳躍，其幾乎不太可能隨時間一起波動，甚至可以認(rèn)為它是連續(xù)的。20世紀(jì)70年代，布萊克（Fisher Black）、斯科爾斯（Myron Scholes）和默頓（Robert Merton）[1]推導(dǎo)出標(biāo)的物為連續(xù)變化情況下的期權(quán)定價模型，該公式為Black-Scholes模型，是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中的經(jīng)典模型之一。為了表彰他們在該領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)，Scholes和Merton于1997年被授予諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。遺憾的是Black在在評獎的兩年前去世，否則他也理應(yīng)一起獲得此殊榮。Black-Scholes模型成立的前提有如下幾條：

（一）推導(dǎo)過程采用方法為連續(xù)復(fù)利;

（二）投資者可以隨意以無風(fēng)險利率借貸;

（三）不存在無風(fēng)險套利契機(jī);

（四）可以任意買多和賣空無限制數(shù)額的標(biāo)的資產(chǎn);

（五）交易無摩擦成本;

（六）金融基礎(chǔ)資產(chǎn)價格變化遵守幾何布朗運(yùn)動，其帶有固定漂移率和波動率都是固定的;

（七）股票不付息;

在靜態(tài)情況下，Black等人推導(dǎo)出了歐式期權(quán)的定價公式，分別為：

歐式看漲期權(quán)當(dāng)前價格：

歐式看跌期權(quán)當(dāng)前價格：

其中，，S0是標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價格，K為期權(quán)行權(quán)價格，r為年無風(fēng)險利率，σ是標(biāo)的資產(chǎn)價格年波動率，T為到期時間，N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)。通常帶入x的數(shù)值后通過查表或在Excel中運(yùn)用NORMSDIST命令計算獲得，C0和P0則分別是經(jīng)Black-Scholes模型計算得到的歐式看漲和歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前理論價格。

Black-Scholes微分方程是一個較為復(fù)雜的變系數(shù)微分方程，我們難以直接求解，需要通過巧妙的變量代換把它轉(zhuǎn)化為較簡單的拋物型方程。

（二）差分格式穩(wěn)定性討論

筆者將對差分格式的穩(wěn)定性問題展開討論。使用有限差分格式進(jìn)行運(yùn)算時，計算步驟是依據(jù)時間層漸次推展的。比如，利用第m層上計算出來的數(shù)值vmn，我們可以進(jìn)而對第m+1層上的vnm+1進(jìn)行計算。所以，在求出vmn時的舍入誤差（m=0的時也有這種情況，但這時的誤差是由于初始數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確導(dǎo)致的），勢必對vnm+1的計算結(jié)果有所影響。故此，需要剖析誤差擴(kuò)散的情形。我們嘗試控制誤差的影響不至于逐漸變大，甚至改變了有限差分格式精確解的準(zhǔn)確性，以此為目的展開穩(wěn)定性問題的討論。假如誤差的影響逐漸變大，甚至差分格式的精確解完全被覆蓋，筆者稱這種差分格式是不穩(wěn)定的;反之亦然，假如我們可以人為消除誤差的影響，差分格式的解大體上都能計算得出，便可以稱這種差分格式是穩(wěn)定的差分格式。簡而言之，討論差分格式的穩(wěn)定性即指在實際運(yùn)算當(dāng)中，是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。

討論差分格式的穩(wěn)定性即指在實際運(yùn)算當(dāng)中，是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。

借助MATLAB統(tǒng)計軟件中的blsprice函數(shù)求得Black-Scholes模型歐式看漲期權(quán)理論價格，使用自編腳本程序通過有限差分方法對歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價。由wind金融資訊終端獲得4月20日上證50ETF期權(quán)的真實市場價格。

五、結(jié) ?論

本文主要對有限差分格式的穩(wěn)定性和收斂性展開了研究和討論，同時也使用有限差分格式和Black-Scholes期權(quán)定價模型，對上證50ETF期權(quán)進(jìn)行了定價對比，總結(jié)出以下結(jié)論：

通過對經(jīng)典Black-Scholes期權(quán)定價方程的求解區(qū)間進(jìn)行離散化的網(wǎng)格劃分，推導(dǎo)出對應(yīng)的有限差分方程和計算方式。對穩(wěn)定性和收斂性展開討論，得出在網(wǎng)格比α滿足一定情況下，數(shù)值結(jié)果滿足穩(wěn)定性的結(jié)論。本文通過實證研究進(jìn)行數(shù)值實驗，比較了兩種不同定價方法的數(shù)值解，即有限差分格式和Black-Scholes期權(quán)定價方程，并與實際市場價格進(jìn)行了比較，證實了有限差分方法具有穩(wěn)定性和收斂性且比經(jīng)典B-S模型定價結(jié)果更準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)：

[1]Black，F(xiàn).and Scholes，M.（1973）The Pricing of Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy，81，637-654.

[2]李倩，鄭潔.歐式看漲期權(quán)定價中差分格式的穩(wěn)定性分析[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2013，29（03）：21-25.

[3]康穎.歐氏看漲期權(quán)定價的有限差分?jǐn)?shù)值解法[D].上海大學(xué)，2015.

基金項目：由中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助（項目批準(zhǔn)號：2652018054）。

作者單位：中國地質(zhì)大學(xué)（北京）