王 珂

(南京航空航天大學蘇州附屬中學，215121)

隨著教育部《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》的發(fā)布,“核心素養(yǎng)”已成為當下熱門詞匯.數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學運算,主要表現(xiàn)為:理解運算對象、運算法則,探究運算思路,求得運算結(jié)果.然而現(xiàn)階段高中學生運算能力較弱,很多一線教師都有這樣的體會:有些學生運算過程中不能選擇合理簡潔的運算途徑,運算過程繁瑣,準確率低;有些學生總是機械地套用公式,不會靈活進行變形.這些情況直接影響了高中數(shù)學的教學質(zhì)量.因此,筆者認為,在高三復習過程中,教師要勤于研究,為學生創(chuàng)設合理的情境,尋找可以磨練學生運算能力的典型例題.

一、問題呈現(xiàn)

題目如圖1,兩座建筑物AB,CD的高度分別是9 m和15 m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD.

此題為2020年4月份南京市一?？荚嚨膽妙},大多數(shù)學生習慣用余弦定理來解題,因涉及求解帶有根式的高次分式函數(shù)的最值而以失敗告終,全市平均得分較低.如何使學生有流暢的思維、靈活的方法選擇和運算的優(yōu)化等,就顯得尤其重要.

在高三復習課階段,學生已經(jīng)儲備了正余弦定理、兩角和差公式和面積公式等與三角相關的知識點.鑒于學生對運用正余弦定理較熟悉,部分學生甚至出現(xiàn)思維定式,如何在靈活多變的高考題面前靈活應變,筆者引導學生多角度進行解題分析,并在此基礎上對該題做了拓展延伸.

二、解法分析

1. 重現(xiàn)余弦尋疑惑

x4-333x2+2 916=0,

(*)

即(x2-9)(x2-36×9)=0,解得x=3或x=18(負數(shù)舍去).注意2x2-108>0,得所求距離x=18.

反思剖析(*)式看成關于x2的一元二次方程,對其因式分解是計算難點,必須善于觀察.注意原始等式里的36,81,108這三個數(shù)有公因數(shù)9,(*)式可化簡成x4-37·9·x2+36·92=0,因式分解隨之可得.此外,應用題需注意變量x的取值范圍,舍去增根.

設計意圖回顧學生從最熟悉的余弦定理給出的解答,在肯定其思維合理性的同時查找疑點,正面引導學生在數(shù)據(jù)龐大的情形中要善于觀察和思考,在數(shù)據(jù)的來源上尋找問題的突破口,啟迪學生在掌握十字相乘因式分解的運算法則前提下,通過尋找公因數(shù)湊平方法優(yōu)化運算,提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)(這也是學生最缺乏的).

2. 更換正弦思優(yōu)化

設計意圖由正弦定理分析斜三角形?CAD,結(jié)合所求邊適時引進邊參x和角參α,由平行線建立Rt?ABD與?CAD的聯(lián)系,得出α與x的聯(lián)系,化簡得到關于x的一元二次方程,有助于引導學生培養(yǎng)邏輯推理與綜合運算能力. 探究運算思路的變化,所得方程極其簡單,增根秒除,優(yōu)化了運算.

3.巧用面積拓思維

由于表示面積的方法有很多,本題還可以考慮?CAD的面積,用算兩次列方程得出解答.

設計意圖通過本解法的展示,意在引導學生體會數(shù)學問題的求解除了需要熟悉相關知識,有時還需要高觀點指導,發(fā)揮常見數(shù)學解題思想方法的有效作用,拓展學生的思維,克服思維定勢靈活解題.

4. 特殊圖形顯神威

上述三種方法各有各的特點,但都帶有一定的運算量.若能數(shù)形結(jié)合,回歸直角三角形這個特殊圖形,將∠CAD分拆,利用兩角和的正切公式可使問題簡便解決.

設計意圖本解法打破常規(guī)思想,跳出學生熟知的正余弦定理和面積公式認知圈.由特殊圖形數(shù)形結(jié)合,利用和角的正切公式建立邊的等量關系,使邊的等量關系以更簡潔的形式呈現(xiàn).運算過程極其簡單,讓學生感受到優(yōu)化數(shù)學運算的魅力.

三、變式拓展

變式1改變張角再求BD

設計意圖變式1盡管只換了一個角,但給了角的正切值后,既縮小了思考范圍,又改變學生一遇到問題就會聯(lián)想正余弦定理而不考慮和差角的正切公式的定勢思維,意在引導學生要從條件的細節(jié)出發(fā)思考問題,找線索是解題的關鍵.另外,變式1變成了兩角差的正切公式,與上文形式不同而原理一樣,讓學生體驗模型的多樣性.

變式2移動AB求張角最值

繼續(xù)變式.如圖4,若CD是建筑物,CD=15,建筑物底端平面上點B處有一臺升降機,BD=18,某人隨升降機升高至點A處(AB

設計意圖變式2將上文的定值問題變成了動態(tài)問題求最值,這是高考的熱門題型.另外,景區(qū)觀光電梯或者隔岸觀景等應用題的數(shù)學模型也是這個模型,一模應用題簡化后的數(shù)學模型也是這個模型的再變式.兩角和差公式在變式模型中依舊適用,方法仍然簡單明了,并且如果深挖這個模型,變化BD的值研究點A的位置,還能得到一般規(guī)律,這也體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想.

變式3變動BD求張角最值

將問題再做改動.如圖5,在建筑物CD上有一塊廣告牌,廣告牌最高點M處離地7.5米,最低點N處離地2.5米,若某人腳底在點B處,眼睛在離地1.5米的點A處觀察廣告牌,問BD為多少時張角∠MAN有最大值?

tan∠MAN=tan(∠MAE-∠NAE)

設計意圖如果說變式2是縱向的動態(tài)問題,那變式3則是橫向變換帶來的最值問題,使原本的三角問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題,最終利用基本不等式來解決.多重維度的變換,讓學生感受多樣模型下解題方法選取的靈活性.課堂上如果時間允許,不妨再讓點A做曲線運動,或者讓學生編寫題目,那這節(jié)課會更加豐富多彩.