任 丹

（上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 200030）

現(xiàn)代組合投資理論是建立在1952年馬科維茨提出的均值-方差模型的基礎(chǔ)之上。馬科維茨運(yùn)用方差和預(yù)期收益率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益刻畫，企圖在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間尋求平衡，在這個(gè)過程中，收益率的協(xié)方差矩陣起到了分配風(fēng)險(xiǎn)和收益的橋梁作用。隨著現(xiàn)代金融市場(chǎng)的發(fā)展，金融數(shù)據(jù)的維度變得十分龐大，通過歷史數(shù)據(jù)估計(jì)得出的協(xié)方差矩陣往往呈現(xiàn)出奇異的特征，因此高維度情況下的協(xié)方差矩陣估計(jì)成了熱門研究問題。

在傳統(tǒng)研究和應(yīng)用中，人們通常采用樣本協(xié)方差矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量，但當(dāng)矩陣的維度變得很大時(shí)，估計(jì)顯得十分困難。尤其是橫截面維度超過時(shí)間維度時(shí)，樣本協(xié)方差矩陣是奇異的，均值方差模型是不能求解的。同時(shí)，估計(jì)過程中產(chǎn)生的累積誤差會(huì)對(duì)最終的估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響。為了解決前述問題，學(xué)者們提出了許多有效的估計(jì)方法，在金融投資實(shí)踐中取得了顯著的成果。

1 文獻(xiàn)綜述

高維協(xié)方差矩陣估計(jì)方法的研究主要集中在以下三個(gè)方面：1．基于因子模型的高維協(xié)方差矩陣估計(jì)，即通過有限的因子來達(dá)到降維的目的，得到有效的估計(jì)量，該方法在學(xué)界和業(yè)界均取得了顯著的效果。2．壓縮估計(jì)方法，該方法盡可能地保證估計(jì)量的特征向量同真實(shí)協(xié)方差矩陣估計(jì)量的關(guān)系，通過最小化損失函數(shù)來控制估計(jì)量的特征值。3．基于橢圓分布的高維協(xié)方差矩陣估計(jì)方法，該方法假設(shè)金融數(shù)據(jù)服從橢圓分布，建立了一系列性質(zhì)優(yōu)良的估計(jì)量。

本文首先介紹基于因子模型的高維協(xié)方差矩陣估計(jì)的一般方法。假設(shè)n個(gè)因子為Fnt構(gòu)成的因子列向量為Ft，bt為各個(gè)因子上的暴露程度向量，eit為資產(chǎn)的特征收益，則相應(yīng)的資產(chǎn)配置模型為

單個(gè)資產(chǎn)模型（1）整合成多維資產(chǎn)模型便有

假設(shè)特質(zhì)收益et與公共因子Ft不相關(guān)，對(duì)模型（2）兩邊取方差便有

在模型（3）中，?為資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，W為因子的協(xié)方差矩陣，Se為特質(zhì)收益的協(xié)方差矩陣，通常假設(shè)該矩陣為稀疏的。從估計(jì)流程不難發(fā)現(xiàn)，有限的因子起到了降維的作用，同時(shí)保證了估計(jì)得出的協(xié)方差矩陣是非奇異的?；谝蜃幽Ｐ偷母呔S協(xié)方差矩陣估計(jì)方法主要分為兩類：可觀測(cè)因子和不可觀測(cè)因子。二者的整體框架是一致的，不同點(diǎn)在于因子的刻畫上。

從可觀測(cè)因子的研究角度來看，學(xué)者認(rèn)為資產(chǎn)收益率可以由公共因子解釋，比如市場(chǎng)收益率、市值、估值等因子，通過這些公共因子達(dá)到降維目的。Sharpe（1964）最早提出了單因子模型，認(rèn)為股票的收益率可以由市場(chǎng)收益率解釋（CAPM）。Fama和French（1993）認(rèn)為企業(yè)自身因素才是影響資產(chǎn)價(jià)格的重要因素，采用市值、賬面市值比和市場(chǎng)收益率作為新的因子對(duì)資產(chǎn)定價(jià)?？捎^測(cè)因子的好處在于因子的易獲得性和可解釋性強(qiáng)。

從不可觀測(cè)因子的研究角度來看，研究者提出的最典型方法為主成分估計(jì)法（PCA）和極大似然估計(jì)。主成分估計(jì)法是通過對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析，獲得相應(yīng)的主成分作為主要的因子。典型地，如Fan（2013）提出了基于主成分的非參估計(jì)量——主成分正交補(bǔ)閾值估計(jì)量（POET）。但是主成分分析法主要是基于樣本協(xié)方差矩陣來完成的，樣本協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量對(duì)與因子相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)起到了約束作用。為了突破此局限，Doz等（2012）將極大似然估計(jì)引入高維協(xié)方差矩陣估計(jì)領(lǐng)域，Bai和Li（2012，2016）完善了此框架，并證明了極大似然估計(jì)量的一致性。

壓縮估計(jì)方法主要分為兩類：線性壓縮和非線性壓縮。從線性壓縮方法的研究角度來看，給定壓縮目標(biāo)和樣本協(xié)方差矩陣，最小化二者的線性組合與真實(shí)協(xié)方差矩陣之間的距離，來獲得最優(yōu)的線性壓縮權(quán)重。該方法不考慮具體的因子和因子結(jié)構(gòu)，通過壓縮目標(biāo)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)。Ledoit和Wolf選取單指數(shù)模型等相關(guān)稀疏矩陣和單位陣作為壓縮目標(biāo)，利用美股數(shù)據(jù)做了實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)單位陣的表現(xiàn)效果是最好的。從非線性壓縮的研究角度來看，該方法是控制樣本協(xié)方差矩陣的特征向量不變，對(duì)特征值進(jìn)行優(yōu)化，Leodit和 Wolf（2012，2014a，2015）系統(tǒng)地研究如何將非線性壓縮的不可解轉(zhuǎn)化為依賴樣本特征值極限分布的理想估計(jì)量，再利用前面得出的估計(jì)量進(jìn)行優(yōu)化分析。

通常的金融研究中，研究者們會(huì)假設(shè)收益率向量服從高維正態(tài)分布，即X∶Nd（m，S），但是金融市場(chǎng)中的數(shù)據(jù)大多呈現(xiàn)出非正態(tài)和厚尾的特征，因此學(xué)者們通常假設(shè)金融數(shù)據(jù)服從橢球分布，以此為基礎(chǔ)提出新的高維協(xié)方差矩陣估計(jì)方法。協(xié)方差矩陣可以分解成皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣和資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)角陣的乘積，即

問題轉(zhuǎn)化為對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)角陣D的估計(jì)，Zhao和Liu（2014）基于這一思路提出了EPIC估計(jì)方法。對(duì)于皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣R的估計(jì)，F(xiàn)an等（1990）提出了正弦變化的肯德爾t估計(jì)量，即計(jì)算資產(chǎn)i和資產(chǎn)j之間的肯德爾t相關(guān)系數(shù)，并用正弦函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后作為矩陣R的（i，j）元估計(jì)。Catoni（2012）提出了均值和標(biāo)準(zhǔn)差的M—估計(jì)量，該估計(jì)量在厚尾分布中表現(xiàn)出極好的性質(zhì)，可以作為標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)角陣D對(duì)角元的估計(jì)量。沿著這一方向，許多學(xué)者提出了新的估計(jì)方法，如Liu等（2014）提出的EC2估計(jì)法。

由于國內(nèi)的金融市場(chǎng)發(fā)展較國外晚，國內(nèi)學(xué)者對(duì)高維協(xié)方差矩陣估計(jì)的研究是最近幾年才興起的。劉麗萍（2016）將主成分法和門限方法相結(jié)合，提出了門限主成分正交補(bǔ)（TPO）估計(jì)量，并通過實(shí)證發(fā)現(xiàn)該方法能提高協(xié)方差的估計(jì)效率、有效降低噪聲的影響。趙釗（2017）總結(jié)了國內(nèi)外學(xué)者對(duì)高維協(xié)方差矩陣估計(jì)問題的相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)非線性壓縮方法提高了DKK和BEKK模型的估計(jì)效率，在高維協(xié)方差矩陣估計(jì)方面起到的重要作用。宋鵬、胡永宏（2017）提出了基于Cholesky分解的可預(yù)測(cè)值因子模型，并同VAR-LASSO方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其在降維方面的優(yōu)勢(shì)較為明顯且二者的估計(jì)誤差接近。

目前國內(nèi)外學(xué)者對(duì)高維協(xié)方差矩陣的研究已經(jīng)十分深入，對(duì)后續(xù)的研究具有重要的借鑒意義。本文的研究是基于Ledoit和wolf的線性壓縮模型，將壓縮目標(biāo)改為協(xié)方差矩陣的另一個(gè)估計(jì)量，即將距離多個(gè)估計(jì)量線性組合最近的對(duì)稱正定矩陣作為高維協(xié)方差矩陣的估計(jì)量。本文的創(chuàng)新之處在于克服了Ledoit和Wolf中的線性壓縮估計(jì)模型之中必須有一個(gè)正定矩陣的限制，并考慮了估計(jì)量的稀疏性問題，同時(shí)對(duì)該方法在資產(chǎn)配置中的實(shí)際運(yùn)用進(jìn)行了實(shí)證研究。

2 模型

Ledoit和Wolf（2003）認(rèn)為給定樣本協(xié)方差陣S和壓縮目標(biāo)矩陣F，最優(yōu)的估計(jì)量應(yīng)該是二者的線性組合。定義二次損失函數(shù)（總體協(xié)方差陣）如下：

最小化二次損失函數(shù)（5）便可以得到最優(yōu)權(quán)重a*，但總體協(xié)方差矩陣S是未知的，因此Ledoit和Wolf（2003）從統(tǒng)計(jì)角度給出了最優(yōu)權(quán)重a*的估計(jì)量a*est，故樣本協(xié)方差矩陣的最優(yōu)估計(jì)量可以寫成樣本協(xié)方差矩陣和壓縮目標(biāo)矩陣的線性組合：

Ledoit和Wolf（2003）認(rèn)為樣本協(xié)方差矩陣S和壓縮目標(biāo)矩陣F中至少有一個(gè)矩陣是正定可逆的，這樣可以保證最后的估計(jì)量W是可逆的。但當(dāng)壓縮目標(biāo)矩陣和樣本協(xié)方差矩陣均不正定時(shí)，最后的估計(jì)量便不具備正定性的特征。

假設(shè)Sn＋為對(duì)稱正定矩陣的集合，借鑒壓縮估計(jì)量的思想，假設(shè)F和S均為協(xié)方差矩陣的估計(jì)量，本文想求解距離該凸組合距離最近的對(duì)稱正定矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量，即求解以下優(yōu)化模型（7），來確定最優(yōu)的樣本協(xié)方差矩陣估計(jì)量X*：

當(dāng)a給定的時(shí)候，模型（7）轉(zhuǎn)化為最近相關(guān)矩陣問題（nearest correlation matrix）。最近相關(guān)矩陣問題如下：給定矩陣G?Sn＋，求解距離其最近的對(duì)稱正定矩陣：

模型（8）已經(jīng)被很多學(xué)者進(jìn)行了研究。Qi和Sun（2006）提出了高斯梯度下降法來求解模型（8），并取得了顯著的效果。學(xué)者們不滿足于模型（8）的求解，因?yàn)樽罴训膮f(xié)方差矩陣估計(jì)量具有一定的稀疏性。因此，在問題（8）的基礎(chǔ)上，Liu等（2014）提出了在目標(biāo)函數(shù)中引入懲罰項(xiàng)來保證解的稀疏性，即

其中，Pwt（x）為懲罰函數(shù)，起到控制優(yōu)化結(jié)果稀疏的作用。因此，本文在模型（7）的目標(biāo)函數(shù)中加入l1懲罰函數(shù)，使得模型的優(yōu)化結(jié)果具有稀疏性，即

接下來，本文會(huì)討論模型（7）和模型（10）的求解方法。

3 模型求解方法

定義無偏估計(jì)量G1和G2的凸組合為

在模型（7）的基礎(chǔ)上，加入條件X3eI，目的是控制優(yōu)化結(jié)果特征根的范圍，因?yàn)榻鹑谫Y產(chǎn)始終是存在波動(dòng)的e，在這里假設(shè)最小波動(dòng)為e。因此，模型（7）便更新為

對(duì)于模型（12）給定m0，假設(shè)m0的n個(gè)特征值為l1（m0），…，ln（m0），則m0的譜分解為m0＝?ni＝1li（m0）vivi，那么模型（12）的最優(yōu)解為X*＝?i＝1max（li（m0），e）vivi′。由于模型（12）的目標(biāo)函數(shù)本身是凸函數(shù)，當(dāng)給定m0的時(shí)候，模型（12）存在前述解析解，為了確定最優(yōu)的a，采用三分法進(jìn)行求解。模型（12）的目標(biāo)函數(shù)為l（a，X）＝1／2‖X-aG1-（1-a）G1‖2，不斷迭代a，使目標(biāo)函數(shù)的差值直至收斂，具體的迭代算法如下：

模型（12）的迭代解法：

1．初始化：a0＝0，a1＝1／3，a2＝2／3，a3＝1，閾值d；

2．計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值：l（a1，），l（a2，）；

3．如果l（a1，）＞l（a2，）：

a0＝a1，a3＝a3，a1＝a0＋1／3（a3-a0），a2＝a0＋2／3（a3-a0）；

如果l（a1，），l（a2，）：

a0＝a0，a3＝a2，a1＝a0＋1／3（a3-a0），a2＝a0＋2／3（a3-a0）；

4．循環(huán)上述步驟到兩次結(jié)果的絕對(duì)值小于d時(shí)，停止迭代。

在模型（12）中，考慮的是求解距離給定凸組合最近的對(duì)稱正定矩陣，但是在實(shí)際運(yùn)用中，優(yōu)化結(jié)果的稀疏性也是必須考慮的重點(diǎn)之一，所以加入l1懲罰方程，便有

給定m0，模型（13）轉(zhuǎn)化為

當(dāng)m0給定的時(shí)候，問題就轉(zhuǎn)變?yōu)閄ue（2012）研究的問題，其求解方法主要是可選方向迭代算法（alternating direction method），Xue（2012）引入新的變量，將模型（14）改寫成如下形式，即

Xue為了求解該問題，采用矩陣形式的拉格朗日方法，即寫出模型（15）的拉格朗日方程，便有

對(duì)于模型（16），Xue建立了可選方向迭代算法（alternating direction method），并證明了該算法能收斂到最優(yōu)的解以及解具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，求解的算法步驟如下：

模型（16）的迭代解法：

1．初始化：m，X0，L0；

2．第步迭代過程如下：

（1）求解Qi＝（Xi＝m Li）＋；

（2）求解Xi＋1＝｛S（m（m0-Li）＋Qi＋1，lm｝／（1＋m）；

（3）求解Li＋1＝Li-（Qi＋1-Xi＋1）／m；

3．循環(huán)上述步驟至收斂。

上述S為閾值函數(shù)，對(duì)矩陣的非對(duì)角元進(jìn)行控制，在給定矩陣G時(shí)，具體形式如下：

對(duì)于模型（14），結(jié)合上面可選方向理論算法以及f（a，X）是［0，1］′Sn＋上的凸函數(shù)，運(yùn)用三分法求解相應(yīng)的結(jié)果，具體算法步驟如下：

模型（13）的迭代算法：

1．初始化：a0＝0，a1＝1／3，a2＝1及閾值d；

2．運(yùn)用可選方向理論算法求解：f（a1，X*1），f（a2，X*2）；

4．循環(huán)上面的步驟到兩次結(jié)果的絕對(duì)值小于d時(shí)，停止迭代。

附錄里給出算法（13）的收斂性證明，但是模型（13）的求解方法屬于暴力求解算法，模型求解速度慢。因此，本文對(duì)于模型（13）只做理論上的探索，不考慮進(jìn)行實(shí)證分析。

4 實(shí)證

本文實(shí)證數(shù)據(jù)來自已有的A股數(shù)據(jù)，時(shí)間跨度為2014年1月1日至2017年12月31日，剔除節(jié)假日，實(shí)際交易日共977天。本文采用最小方差模型來衡量估計(jì)出的協(xié)方差矩陣的優(yōu)劣。最小方差模型是指通過最小化風(fēng)險(xiǎn)獲得投資組合中的資產(chǎn)權(quán)重，然后根據(jù)求出的權(quán)重進(jìn)行組合投資。求解帶懲罰項(xiàng)的協(xié)方差估計(jì)模型具有極大的計(jì)算成本，因此本文的實(shí)證部分不進(jìn)行探討，故只考慮不帶懲罰項(xiàng)的協(xié)方差矩陣估計(jì)模型。

假設(shè)估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣的時(shí)間窗口長度為T，利用2T的數(shù)據(jù)估計(jì)出兩個(gè)協(xié)方差矩陣，再用不帶懲罰項(xiàng)的模型求得相應(yīng)的協(xié)方差矩陣估計(jì)S。為了檢驗(yàn)協(xié)方差矩陣估計(jì)的優(yōu)劣，本文采用的模型為最小方差模型，通過最小化波動(dòng)率來獲得全市場(chǎng)股票的投資權(quán)重，模型為

其中，q為資產(chǎn)組合中資產(chǎn)的權(quán)重，S為通過前述算法得到的協(xié)方差矩陣。根據(jù)模型（18）所求權(quán)重構(gòu)建投資組合，并考慮該投資組合在未來一年里的收益曲線，計(jì)算相應(yīng)的年化收益率Rt、方差st、夏普比率ST t。將時(shí)間由t變成t＋1，重復(fù)前面的步驟，獲得年化收益率Rt＋1、方差st＋1和夏普比率SRt＋1，這樣便可以得到年化收益率序列、方差序列和夏普比率序列。

取窗口長度T為100、200、300天，得到上述不同序列，計(jì)算相應(yīng)指標(biāo)的均值得到表1結(jié)果。

從年化收益的角度來看，不同周期下的估計(jì)模型對(duì)應(yīng)的年化收益率均值均高于基準(zhǔn)指數(shù)的年化收益均值，二者比值的變動(dòng)區(qū)間為［3．13，3．23］；從波動(dòng)率的角度來看，二者波動(dòng)率比值的變動(dòng)區(qū)間為［0．95，1．17］；從夏普比率的角度來看，二者夏普比率比值的變動(dòng)區(qū)間為［2．48，2．93］。以上三個(gè)指標(biāo)的比較表明，基于估計(jì)模型的資產(chǎn)組合表現(xiàn)比基準(zhǔn)組合更加優(yōu)異，能夠獲得超額收益，本文的基準(zhǔn)組合為上證綜指。

表1 不同周期下的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果

表1結(jié)果是從均值角度出發(fā)來進(jìn)行比較的，不能充分反映每個(gè)指標(biāo)在時(shí)間維度上的變化情況，因此本文繪制了不同指標(biāo)隨著時(shí)間變化的曲線，得到的結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 不同組合年化收益率變化曲線

圖2 不同組合波動(dòng)率變化曲線

圖3 不同組合夏普比率變化曲線

圖1 的年化收益率曲線表明估計(jì)模型的年化收益率是高于基準(zhǔn)的年化收益，圖2的波動(dòng)率曲線表明估計(jì)模型的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度在絕大多數(shù)情況下是高于基準(zhǔn)的，圖3的夏普比率曲線表明估計(jì)模型所獲得夏普比率是高于基準(zhǔn)的夏普比率?？偠灾诠烙?jì)模型的資產(chǎn)組合與基準(zhǔn)資產(chǎn)組合相比較，其在承擔(dān)更多風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，獲得了更高的資產(chǎn)收益，且對(duì)風(fēng)險(xiǎn)分散十分有效，單位風(fēng)險(xiǎn)所獲得的收益更高。

5 結(jié)論

隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，金融產(chǎn)品的種類越來越多，金融數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出爆炸級(jí)的增長態(tài)勢(shì)，這給傳統(tǒng)的資產(chǎn)配置模型帶來了新的挑戰(zhàn)——資產(chǎn)維度超過時(shí)間維度導(dǎo)致樣本協(xié)方差矩陣奇異問題，因此如何有效地估計(jì)高維協(xié)方差矩陣引起了研究者們的極大興趣。本文回顧了高維協(xié)方差矩陣估計(jì)領(lǐng)域的研究成果，對(duì)不同的研究思路進(jìn)行了總結(jié)。

本文的研究主要是在Leodit和 Wolf（2003）的壓縮估計(jì)量的研究成果基礎(chǔ)上展開的，從運(yùn)籌優(yōu)化的角度出發(fā)，提出了新的估計(jì)方法，即尋找距離多個(gè)無偏估計(jì)量的凸組合最近的對(duì)稱正定矩陣作為高維協(xié)方差矩陣的估計(jì)量。按照對(duì)優(yōu)化結(jié)果稀疏性的要求，本文討論了兩種估計(jì)模型：1．不帶懲罰項(xiàng)的模型；2．帶懲罰項(xiàng)的模型。對(duì)于上述兩種模型，本文給出相應(yīng)的解法和解法的收斂證明。在理論部分之后，本文結(jié)合A股的數(shù)據(jù)對(duì)不帶懲罰項(xiàng)的模型方法進(jìn)行了實(shí)證研究，即基于不帶懲罰項(xiàng)模型求出協(xié)方差矩陣的估計(jì)量，采用最小方差模型構(gòu)建投資組合，獲得相應(yīng)的年化收益率序列、波動(dòng)率序列和夏普比率序列。通過與基準(zhǔn)組合的比較發(fā)現(xiàn)，該方法相對(duì)于基準(zhǔn)帶來了顯著的超額收益，取得了較好的投資效果。