李 艷，賈振楠，文 松，劉仁嶠

（1.江西變壓器科技股份有限公司，江西 南昌 330314；2.南昌大學(xué)，江西 南昌 330031）

0 引言

變壓器鐵心的各級(jí)硅鋼片，是將一定尺寸的硅鋼片卷料（硅鋼卷）縱剪，得到各級(jí)硅鋼片的卷料后，再橫剪得到。硅鋼片作為變壓器生產(chǎn)所需的主要原材料之一，其質(zhì)量占整臺(tái)產(chǎn)品總質(zhì)量的1/3～1/4，費(fèi)用占整臺(tái)產(chǎn)品總物耗的30%以上。在一次生產(chǎn)任務(wù)中，如何使用最少量的硅鋼卷而縱剪得到所需要的各級(jí)硅鋼片卷料，是非常有意義的問題。它能幫助我們降低硅鋼卷的采購量。而硅鋼卷的低采購量意味著低成本、低庫存[1-3]。

文中提出一種基于線性規(guī)劃的鐵心縱剪排片計(jì)算方法。該方法將鐵心縱剪描述成一個(gè)線性規(guī)劃最小化問題，并利用成熟的單純型算法，快速得到一個(gè)最優(yōu)解，從而給出一個(gè)相應(yīng)的鐵心縱剪排片方案。該方案能滿足生產(chǎn)所需且硅鋼卷用量最小[4-7]。

1 鐵心縱剪問題描述及數(shù)學(xué)建模

為了將問題簡(jiǎn)化，這里忽略實(shí)際生產(chǎn)中對(duì)硅鋼卷的料頭料尾的處理。問題也簡(jiǎn)化為：如何安排縱剪，使得所用硅鋼卷的長(zhǎng)度最短。

如何安排縱剪，這涉及到寬度、長(zhǎng)度兩個(gè)方向上的問題，在寬度方向上，有（d1，d2，d3，…，di，…）共n個(gè)所需硅鋼片的寬度要通過硅鋼卷的寬度（d）裁剪而來，顯然，硅鋼卷的寬度必須大于等于任何一個(gè)所需的硅鋼片寬度

d≥di

大多數(shù)時(shí)候我們可以找到滿足

ci1×di1+ci2×di2+…≤d

且滿足

ci1×di1+ci2×di2+…≤d

的寬度組合，式中dik為n個(gè)寬度中的任意一個(gè)寬度，mm；Cik為組合中寬度dik的個(gè)數(shù)?，F(xiàn)舉例說明：有寬度為1 020 mm的硅鋼卷，硅鋼片的寬度有：300 mm，350 mm，390 mm等，其中300 mm是的最小寬度，那么可以很容易找到以下幾個(gè)滿足條件的寬度組合：

1）（2×390）mm=780 mm（余240<300）

2）（390+350）mm=740 mm（余280<300）

3）390 mm+（ 2×300）mm=990 mm（余 30<300）

4）（2×350）mm+300 mm=1000 mm（余 20<300）

5）350 mm+（2×300）mm=950 mm（余 70<300）

如上所示，當(dāng)n較小時(shí)，組合的數(shù)量不多，僅憑人工依序組合也是輕而易舉，但隨著n的增大，組合數(shù)會(huì)急劇增加到幾千甚至是幾萬的量級(jí)。因而為了得到所有滿足條件的寬度組合，要使用遞歸的方法，具體算法如圖1所示。

圖1 寬度組合算法流程圖

設(shè)滿足條件的寬度組合有m個(gè)，由于任何一個(gè)硅鋼片的寬度都不大于硅鋼卷的寬度，所以對(duì)于每一種寬度都會(huì)至少存在一個(gè)寬度組合包含它。對(duì)于這樣一個(gè)組合問題，m遠(yuǎn)大于n，那么數(shù)量如此多的組合要如何取舍？考慮到長(zhǎng)度方向上必須要滿足的條件：裁剪所得各寬度硅鋼片的總長(zhǎng)度不能低于其所需長(zhǎng)度（l1，l2，…，li，…），且我們對(duì)母材硅鋼卷的目標(biāo)也是其長(zhǎng)度最短，此時(shí)，不妨就將各寬度組合的裁剪長(zhǎng)度設(shè)為自變量Xj，于是

式中Cij為寬度為di的硅鋼片在第j個(gè)組合中所占的個(gè)數(shù)，組合中不包含寬度為di的硅鋼片時(shí)Cij=0。也可以很容易得到所用母材硅鋼卷總長(zhǎng)即為各組合長(zhǎng)度的和，于是

由于組合長(zhǎng)度不可能為負(fù)，所以上兩式中

Xj≥0

縱觀以上分析，不難看出，這是一個(gè)線性規(guī)劃最小化問題：

最小化

滿足約束：

2 利用線性規(guī)劃的單純型算法求解

2.1 單純型算法

要求模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型，得到

滿足約束：

最大化：

2.2 約束條件和目標(biāo)函數(shù)的處理

在實(shí)際計(jì)算中，通常將約束條件的左邊構(gòu)造為一個(gè)m×n的矩陣A=（aij），右邊構(gòu)造為一個(gè)m維的向量b=（bi），將目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)構(gòu)造為一個(gè)n維向量c=（cj），重寫數(shù)學(xué)模型得到

最大化

CTx

滿足

Ax≤b

x≥0

計(jì)算時(shí)，輸入矩陣A和向量b、c作為參數(shù)，即可求得向量x。

3 系列產(chǎn)品算例

現(xiàn)有某系列產(chǎn)品的硅鋼片需求表，試用根據(jù)本方法編寫的鐵心縱剪優(yōu)化軟件對(duì)其進(jìn)行縱剪計(jì)算。其中硅鋼卷片寬為980 mm，硅鋼片需求表及計(jì)算結(jié)果如表1、表2。

表1 某系列產(chǎn)品的調(diào)變硅鋼片需求表 mm

表2 利用鐵心縱剪優(yōu)化程序得出的組合方案詳情mm

算例中單邊裁邊寬為5，寬度組合共40 334種。

4 結(jié)語

硅鋼片縱剪排片不是一般的數(shù)學(xué)問題，而是一個(gè)比較復(fù)雜的工程問題，它既在寬度方向上有一個(gè)組合問題，又在長(zhǎng)度方向上有一個(gè)排列問題，就一個(gè)系列的變壓器而言，其排列組合之多，以人工之力，是無法在生產(chǎn)計(jì)劃能接受的時(shí)間內(nèi)窮盡并得出一個(gè)最優(yōu)方案的，即使通過計(jì)算機(jī)編程，窮盡法也不可取。

而此基于線性規(guī)劃的排片方法，利用已成熟的單純型算法，可快速求得最優(yōu)解，給出一個(gè)硅鋼卷采購量最小的縱剪排片方案。