楊 航， 楊艷秋， 于新龍

(吉林師范大學數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

0 引 言

數(shù)據(jù)缺失情況下的統(tǒng)計推斷問題一直是熱點問題.有關一些常見的連續(xù)分布，文獻[1]研究兩個冪分布在部分數(shù)據(jù)缺失情況下的參數(shù)估計及檢驗問題.文獻[2]研究具有部分缺失數(shù)據(jù)的混合指數(shù)分布的參數(shù)估計及假設檢驗問題.由于泊松分布是最常見到的非連續(xù)分布,因此對于泊松分布的統(tǒng)計推斷問題一直是統(tǒng)計學家關心的熱點研究問題.文獻[3]研究兩個泊松分布總體參數(shù)的估計及檢驗.文獻[4]給出含部分缺失數(shù)據(jù)的泊松分布參數(shù)的貝葉斯估計.文獻[5]闡述了泊松分布的由來及發(fā)展.文獻[6]給出泊松分布以及復合泊松分布的性質(zhì).2016年何朝兵、杜保建等人[7]通過EM算法得到了在不完全信息隨機截尾試驗下的混合泊松分布參數(shù)的點估計.2019年隋崴等[8]得到了雙變量泊松分布參數(shù)的極大似然估計.文中進一步研究混合泊松分布在部分數(shù)據(jù)缺失情況下的參數(shù)估計問題，計算混合泊松分布總體未知參數(shù)的矩估計，證明其性質(zhì)，并進行隨機模擬以示其可行性.

1 參數(shù)矩估計及其性質(zhì)

混合泊松分布的密度函數(shù)為

f(x,q,λ1,λ2)=

其中λi>0(i=1.2)是第一個總體的參數(shù)，在對總體分布進行n次獨立觀測下，每個樣本的觀測值以1-p的概率被缺失，以p的概率被觀測，用(Xi,δi),i=1,2,...,n去表示總體的第一個觀測值，這里Xi表示第一個混合泊松分布總體的第i個樣本觀測值，若第i個觀測值丟失，記δi=0，否則記δi=1.

下面用矩估計對兩個未知參數(shù)λ1,λ2進行估計，建立如下矩估計方程：

其中EX=qλ1+(1-q)λ2,E(X2)=qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1).

解得

下面證明：對于上述參數(shù)λi(i=1,2)的矩估計的漸近正態(tài)性以及相合性.

證明：{Xiδi,1≤i≤n}是獨立同分布的隨機變量序列，由強大數(shù)定律可知

這里

E(X1δ1)=E(X1)E(δ1)=p(qλ1+(1-q)λ2).

同理可知

(1-q)λ2(λ2+1)),

進而有

其中

定理2在上述記號下有

證明：令Wi=(δi,δiXi,δiXi2),(Wi,i≥1)是獨立同分布的隨機變量序列，且

E(W1)=(p,p(qλ1+(1-q)λ2),
p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))).

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，則由多元中心極限定理可知

記

其中

a11=p(1-p),

a12=a21=p(1-p)(qλ1+(1-q)λ2),

a13=a31=p(1-p)(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1)),

a22=p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))-

p2(qλ1+(1-q)λ2)2,

a23=a32=p(1-p)(qλ1(λ1+1)+

(1-q)λ2(λ2+1))(qλ1+(1-q)λ2),

a33=p(1-p)

(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))2,

令

α1=p,

α2=p(qλ1+(1-q)λ2),

α3=p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1)),

所以

由引理1知

而且

同理令

由引理1可知

其中

2 隨機模擬

下面利用隨機模擬說明所給出的方法的可行性，表1分別給定樣本容量為n=50,n=100,n=300,缺失概率1-p=0.10，混合概率q=0.7和q=0.9時的模擬研究結果。模擬計算了不同參數(shù)λ1,λ2下1000次估計的均方誤差，括號中第一個數(shù)字是參數(shù)λ1的均方誤差，第二個數(shù)字是λ2均方誤差.

表1 模擬結果

從表1中的模擬結果可以看出，對于不同的參數(shù)以及不同的樣本量，參數(shù)估計的均方誤差都相對較小，并且誤差也比較穩(wěn)定，說明所給出的估計方法能夠?qū)ξ粗獏?shù)給出較為精確的估計.

3 結 論

研究了具有缺失數(shù)據(jù)的混合泊松分布總體參數(shù)的估計問題。利用矩估計給出了未知參數(shù)的估計，同時考慮了估計的極限性質(zhì)。也通過模擬分析計算了估計的均方誤差，根據(jù)模擬結果可知，的估計有較小的均方誤差，說明我們的估計方法具有可行性.