閆海波， 張 賀

(新疆財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012)

0 引 言

我國(guó)有龐大基數(shù)的股市投資者，上證綜合指數(shù)是我國(guó)投資者關(guān)注的重點(diǎn)對(duì)象，對(duì)上證綜指的可能的漲跌情況研究有助于投資者對(duì)股市的判斷。2020年全球經(jīng)濟(jì)受新型冠狀病毒的影響，全球股市也不同程度的受到?jīng)_擊。現(xiàn)有關(guān)于Copula模型在股票市場(chǎng)上的研究主要集中于中國(guó)股票市場(chǎng)與金融指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性研究[1-5]，當(dāng)然也有少量學(xué)者對(duì)上證指數(shù)的內(nèi)部指標(biāo)進(jìn)行了研究，如徐小欽,鄧煜[6]運(yùn)用Copula函數(shù)研究了上證指數(shù)的收益率和成交量之間的尾部關(guān)系。在國(guó)內(nèi)疫情形勢(shì)一片向好、國(guó)外疫情尚沒有有效的控制的情況下，對(duì)我國(guó)股市內(nèi)部指標(biāo)的研究或?qū)⒏袇⒖家饬x，故本文選取上證指數(shù)2020年1月至4月的日最高價(jià)、最低價(jià)和收盤價(jià)進(jìn)行分析，旨在探究在疫情下上證指數(shù)可能的漲跌情況，并對(duì)得到的結(jié)果做一些分析。

目前最新的討論股票價(jià)格預(yù)測(cè)方法的綜述是徐程成[7]于2020年3月發(fā)表的，她對(duì)已有的文獻(xiàn)所使用的股票預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了總結(jié)和分析，不管是徐程成總結(jié)的文獻(xiàn)還是作者搜索到的關(guān)于股票預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)，幾乎沒有文獻(xiàn)運(yùn)用股票預(yù)測(cè)方法與股票技術(shù)分析相結(jié)合，受張曉宇和徐付霞[8]運(yùn)用Copula理論分析學(xué)生成績(jī)平均值和中位數(shù)分布一文啟發(fā)，將技術(shù)分析中壓力線概念引入文中，可以為股市投資者提供更多參考信息。

1 理論模型介紹

1.1 Copula函數(shù)介紹[9]

設(shè)隨機(jī)變量X和Y，其分布函數(shù)是F(x)=P(X≤x)和G(y)=P(Y≤y)，其聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，它們的值域都為[0，1]。對(duì)于(X,Y)的任意取值(x,y)，都唯一的對(duì)應(yīng)一個(gè)[0,1]2空間的點(diǎn)[F(x),G(y)]和一個(gè)[0，1]區(qū)間上的點(diǎn)H(x,y)，并且這兩個(gè)點(diǎn)之間存在著一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，研究中使用最多的兩類Copula函數(shù)是橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)；橢圓Copula函數(shù)包括正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)，常見的阿基米德Copula包括Gumbel Copula、Frank Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)，本文也是從以上兩類常見的Copula函數(shù)中擇其適者進(jìn)行分析。

1.1.1 橢圓Copula函數(shù)

橢圓Copula函數(shù)包括正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)。二維正態(tài)Copula函數(shù)的形式為

(1)

其中FR是相關(guān)系數(shù)為R的二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，F(xiàn)-1是一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。

t-Copula函數(shù)的形式為

(2)

1.1.2 阿基米德Copula函數(shù)

對(duì)于阿基米德函數(shù)，一般上尾和下尾相關(guān)系數(shù)不相等，其中，Gumbel Copula函數(shù)上尾相關(guān)系數(shù)是2-21/θ，下尾相關(guān)系數(shù)是零；Clayton Copula函數(shù)的下尾相關(guān)系數(shù)是2-1/θ，上尾相關(guān)系數(shù)是零；Frank Copula函數(shù)是具有對(duì)稱性的相關(guān)系數(shù)，上、下尾相關(guān)系數(shù)相等且同時(shí)為零[10]。

1.2 對(duì)數(shù)似然估計(jì)[11]

對(duì)Sklar定理：

FY(y1,…,yd)=CY{FY1(y1),…,FYd(yd)}

(3)

求導(dǎo)得到：

fY(y1,…,yd)=cY{FY1(y1),…,FYd(yd)}fY1(y1)…fYd(yd)

(4)

設(shè)邊緣累計(jì)分布函數(shù)有參數(shù)模型FY1(·|θ1),…,FYd(·|θd)，Copula密度參數(shù)模型為cY(·|θC)，則對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

L(θ1,…,θd,θC)=

(5)

求出極大似然估計(jì)，即可獲得參數(shù)。

1.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[12]

AIC準(zhǔn)則也稱赤池信息準(zhǔn)則，用于衡量模型優(yōu)劣的重要函數(shù)，樣本量較少時(shí)有較高的精確度，故選用AIC準(zhǔn)則。它將擬合效果函數(shù)與維度參數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，即：

AIC=-2log(L)+2K

(6)

其中L為模型的極大似然估計(jì)值，K為模型的維度參數(shù)數(shù)量。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及描述

選取2020年1月2號(hào)至4月29號(hào)上證綜合指數(shù)的日最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格，上證指數(shù)數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)泰安(CSMAR)數(shù)據(jù)庫(kù)，使用R軟件進(jìn)行分析。做出最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格的時(shí)序波動(dòng)圖，見圖1，為更好的觀察，對(duì)圖1進(jìn)行了縮減處理。從圖1可以觀察到，春節(jié)后指數(shù)呈現(xiàn)上漲趨勢(shì)，至3月份有一段時(shí)期呈現(xiàn)連續(xù)下跌的走勢(shì)，其后才緩慢調(diào)整。

圖1 最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格波動(dòng)圖

表2中標(biāo)準(zhǔn)差表明日最低價(jià)價(jià)格波動(dòng)稍大，從圖1中可見三者的波動(dòng)；超額峰度值都小于0，表明三個(gè)指標(biāo)有輕尾特征，偏度皆大于0，表明數(shù)據(jù)右端的極端值較多，故三者分布皆為輕尾右偏；SW正態(tài)性檢驗(yàn)表明在95%的置信度下三個(gè)指標(biāo)都不服從正態(tài)分布，此結(jié)論也可以從圖2QQ正態(tài)圖中直觀地看出。

表1 常見的阿基米德Copula函數(shù)表

表2 上證綜指日最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格統(tǒng)計(jì)表

圖2 上證綜指日最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格QQ正態(tài)圖

2.2 Copula模型的選擇及尾部分析

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，使用R軟件得到表3和表4中橢圓Copula函數(shù)和阿基米德函數(shù)的參數(shù)，以AIC準(zhǔn)則選擇合適的Copula函數(shù)。

表3 上證綜指最高價(jià)價(jià)格和收盤價(jià) 價(jià)格估計(jì)Copula參數(shù)

表4 上證綜指最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià) 價(jià)格估計(jì)Copula參數(shù)

從表3和表4中可以對(duì)比得出，Gumbel-Copula的AIC最小，極大化對(duì)數(shù)似然值擬合的也較好。相關(guān)學(xué)者對(duì)上證指數(shù)與其他市場(chǎng)進(jìn)行相關(guān)性研究中也是選用Gumbel Copula函數(shù)[13,14,15]，故本文以Gumbel Copula函數(shù)分析上證指數(shù)的尾部相關(guān)關(guān)系，從Gumbel Copula函數(shù)的特性知，對(duì)上尾相關(guān)性敏感，對(duì)下尾相關(guān)性不敏感，圖4分別展示了最高價(jià)、最低價(jià)和收盤價(jià)的Gumbel Copula函數(shù)的密度分布。

圖4 最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格的Gumbel Copula函數(shù)的密度分布圖

表5中最高價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格的Kendall秩相關(guān)系數(shù)稍大，說明最高價(jià)價(jià)格對(duì)收盤價(jià)價(jià)格的影響更大。從圖4可以看出最高價(jià)價(jià)格對(duì)收盤價(jià)價(jià)格的上尾相關(guān)性要強(qiáng)于最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格的上尾相關(guān)性，這表明上證指數(shù)上漲的力量大于下跌的力量。

表5 Gumbel-Copula相關(guān)系數(shù)

2.3 建立分布模型

最高價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格的Gumbel Copula函數(shù)分布模型可根據(jù)表1中相應(yīng)的公式和表3中已估計(jì)的參數(shù)得到：

u，v代表最高價(jià)價(jià)格與收盤價(jià)價(jià)格的邊際分布函數(shù)，計(jì)算得到：

圖3 最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格與收盤價(jià)價(jià)格的直方圖和密度曲線圖

3 結(jié) 論

始于2019年底的新型冠狀病毒對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了巨大影響，但面對(duì)本次全球性疫情，我國(guó)防疫成果顯著，而國(guó)外疫情仍令人擔(dān)憂，受美國(guó)股票市場(chǎng)在3月份四次歷史性熔斷的影響，各國(guó)股票市場(chǎng)不同程度的受到?jīng)_擊，投資者對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)的走勢(shì)十分關(guān)注，在此背景下，選取2020年1月至4月上證指數(shù)的日最高價(jià)價(jià)格、最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格進(jìn)行分析，實(shí)證結(jié)果表明：(1)對(duì)上尾變化敏感的Gumbel Copula函數(shù)可以更好地描述三個(gè)指標(biāo)的相關(guān)關(guān)系；(2)最高價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格之間的上尾相關(guān)性大于最低價(jià)價(jià)格和收盤價(jià)價(jià)格之間的上尾相關(guān)性，這表明最高價(jià)價(jià)格對(duì)收盤價(jià)價(jià)格的影響大于最低價(jià)價(jià)格對(duì)收盤價(jià)價(jià)格的影響，由此得到股市整體上漲的概率大于下跌的概率的結(jié)論，最高價(jià)局部出現(xiàn)極值的概率增大。雖然新型冠狀病毒對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了影響，但研究表明上證指數(shù)的未來(lái)走勢(shì)仍比較樂觀。通過判斷4月30日壓力線所對(duì)應(yīng)的價(jià)格值2830.32結(jié)合最高價(jià)價(jià)格與收盤價(jià)價(jià)格的聯(lián)合分布函數(shù)求得近期上證指數(shù)不超過價(jià)格2830.32的概率為0.118，即未來(lái)上證指數(shù)有較小的概率低于價(jià)格2830.32，即上證指數(shù)有大的概率將上漲，這為投資者提供了一個(gè)判斷上證指數(shù)漲跌的信息依據(jù)。同理可以建立周最高(低)價(jià)價(jià)格與周收盤價(jià)價(jià)格的聯(lián)合分布函數(shù)，可與五日均線結(jié)合，得到不突破五日均線的概率。不足之處在于，尋找壓力線具有一定的主觀性，因此投資者還需要其他信息幫助判斷股市走勢(shì)。