武潔瓊，吳江濤

(山西大學 數學科學學院， 山西 太原 030006)

0 引言

設V是RN中的緊集，V關于原點是星形的，Ω=RNV。研究如下帶有局部耗散的耦合波動方程組初邊值問題的局部能量衰減:

(1)

文獻[1-13]均是考慮方程主部是常系數的情形。當主部是變系數，即用divA(x)▽u取代△u時，問題更加復雜。文獻[14-15]借助黎曼幾何方法，分別研究了變系數主部情形下，帶線性局部阻尼的波動方程的柯西問題和外域上帶半線性局部阻尼的波動系統(tǒng)的能量衰減性質。

注意到文獻[1-15]均研究單個波動系統(tǒng)的能量衰減性質。然而,耦合是工程實踐中的一種普遍現(xiàn)象，而且有界域上耦合波動方程組解的能量衰減已得到了充分的研究。例如，文獻[16]研究了當問題(1)內部沒有阻尼(a(x)≡0)時，通過邊界阻尼所引起的能量指數衰減的性質，文獻[17]則研究了通過速度耦合的波動方程的衰減性質。

本文考慮外域上通過位移耦合的波動方程組的局部能量衰減問題。假設兩個波動系統(tǒng)在邊界的一個鄰域上耦合，系統(tǒng)的阻尼只在一個有界區(qū)域施加。利用乘子法，結合加權函數方法及截斷技巧，得到耦合系統(tǒng)局部能量的多項式衰減估計。

關于局部阻尼和耦合區(qū)域做如下假設：

1 主要結論

那么，問題(1)的解(u,v)有局部能量衰減，即對任意的R>L，有：

ER(t)≤CI0(t-R)2δ-1，

2 定理1的證明

采用乘子法可得到以下基本不等式。在問題(1)的第1個方程兩邊分別乘以ut，tut，x·▽u，u，并在(t0,t)×Ω上積分；在問題(1)的第2個方程兩邊分別乘以vt，tvt，x·▽v，v，并在(t0,t)×Ω上積分，得到：

(2)

(3)

(4)

其中:η(x)是Ω的邊界上x處的單位外法向量，

(5)

(6)

下面估計式(6)的各項。注意到V關于原點是星形的，有:

(7)

|(x·▽u(t),ut(t))+(x·▽v(t),vt(t))|≤

(|▽u|2+|ut|2+|▽v|2+|vt|2)dx+

(8)

用Young不等式，并注意到suppa(·)?BL，對式(6)左邊倒數第2項有以下估計:

(9)

注意到兩個系統(tǒng)在邊界的一個鄰域上耦合，對式(6)左邊最后一項有如下估計:

(10)

結合式(6)～式(10)，得到:

(11)

由式(8)知:|(x·▽u(t0),ut(t0))+(x·▽v(t0),vt(t0))|≤C(R,t0)I0，于是

(12)

(13)

在方程組(13)的第1個方程兩邊乘以ξφ得：

(14)

注意到

從式(14)得到：

(15)

注意到Eφ(0)≤CI0，從式(11)、式(12)和式(15)得到：

(16)

由于suppa(·)?BL={x∈RN||x|≤L}，由Poincare不等式，并注意到系統(tǒng)的能量衰減，得到：

(17)

(18)

接下來估計式(18)右邊第3項，有以下引理。

引理1存在與u,v無關的T0>0，C>0，使得當T>T0時，有：

證明采用反證法。記φ=u-v，假設結論不成立，則存在序列tn，φn使得：

(19)

ψtt-△ψ+2α(x)ψ=0，

(20)

現(xiàn)在將引理1中得到的不等式代入到式(18)，當t-t0>T0時，有：

(21)

為了控制式(21)右邊最后一項，引入加權函數φ(x,t)=|x|-t，類似于文獻[4]的引理2，有如下引理。

引理2令φ(x,t)=|x|-t，對于問題(1)的解(u,v)，有如下不等式成立:

于是式(16)成為:

(22)

引理3設u0+u1∈L2N/(N+2)，v0+v1∈L2N/(N+2)，那么:

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(23)

式(23)的第1個方程兩邊同乘wt，并在Ω×(0,t)上積分得：

(24)

(25)

由H?lder不等式、Sobolev嵌入定理及Young不等式有:

現(xiàn)在回到定理1的證明。由式(22)和引理2，得到:

(26)

接下來利用積分因子(t-R)-2δ-1乘以式(26)得:

即

對上式在(t0,t)上積分得：

所以

(27)

將式(27)代入式(26)得：

ER(t)≤CI0(t0-R)-2δ(t-R)2δ-1，