方 潔,婁新杰,許丹瑩，鄧 瑋

(鄭州輕工業(yè)大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院,河南 鄭州 450002)

0 引言

混沌同步是混沌研究的一個重要方向，隨著混沌理論的發(fā)展，混沌同步在電子電路、生物工程、保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，混沌同步控制已成為非線性科學(xué)的一個重要研究熱點[1-3]。到目前為止，各類同步現(xiàn)象及特性已經(jīng)被相繼提出，如完全同步[4]、反同步、相同步、投影同步[5]、延遲同步、廣義同步[6]、組合同步[7]和函數(shù)投影同步[8]等。

組合同步是指多個主從系統(tǒng)之間按照某種關(guān)系實現(xiàn)同步,選擇不同的組合參數(shù)和組合形式，組合同步涵蓋了大多數(shù)其他同步類型，是一種更廣義的同步方法。近年來，組合同步作為一種較為新穎的同步類型引起了科研人員的興趣。文獻[9]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，得到了對偶組合多開關(guān)的充分條件，實現(xiàn)了4個驅(qū)動系統(tǒng)與4個響應(yīng)系統(tǒng)之間的組合同步。文獻[10]采用多開關(guān)同步的方法，將2種混沌驅(qū)動系統(tǒng)與1種混沌響應(yīng)系統(tǒng)進行同步，得出了3種混沌系統(tǒng)實現(xiàn)理想同步的充分條件。文獻[11]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計相應(yīng)的控制器，實現(xiàn)了3個同構(gòu)超混沌復(fù)系統(tǒng)之間以及混沌復(fù)系統(tǒng)和實系統(tǒng)之間的組合復(fù)同步。

函數(shù)投影同步通過引入函數(shù)比例因子,實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)按照函數(shù)比例關(guān)系同步,將其應(yīng)用于保密通信中，可增強信息的安全性。近年來，已有多位學(xué)者對函數(shù)投影同步進行了研究。文獻[12]在參數(shù)未知的情況下，通過設(shè)計非線性控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，實現(xiàn)了兩個不同的復(fù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。文獻[13]基于分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和跟蹤控制方法，設(shè)計了一種分數(shù)階混沌系統(tǒng)控制器，實現(xiàn)了不同階數(shù)的分數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的函數(shù)投影同步。文獻[14]針對已知和未知混沌系統(tǒng)參數(shù)，分別提出了兩種自適應(yīng)控制方案，使一類整數(shù)階混沌系統(tǒng)與分數(shù)階混沌系統(tǒng)之間進行自適應(yīng)修正廣義函數(shù)投影同步。文獻[15]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，設(shè)計了一種魯棒自適應(yīng)控制器，實現(xiàn)了具有不確定參數(shù)和擾動的5項混沌系統(tǒng)的完全切換修正函數(shù)投影同步。文獻[16]采用自適應(yīng)控制技術(shù)，得出一組能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)修正函數(shù)投影同步的充分條件，實現(xiàn)了具有任意復(fù)參數(shù)的復(fù)變量混沌系統(tǒng)之間的復(fù)修正函數(shù)投影同步?，F(xiàn)有的函數(shù)投影同步研究主要集中在單驅(qū)動系統(tǒng)和單響應(yīng)系統(tǒng)的同步方案上，對多驅(qū)動系統(tǒng)和多響應(yīng)系統(tǒng)之間的組合同步研究相對較少。如何將組合同步和函數(shù)投影同步相結(jié)合，研究多個混沌系統(tǒng)之間的組合函數(shù)投影同步問題是一個新的課題。

滑?？刂剖且环N特殊的非線性控制方法，其通過開關(guān)函數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)進行不連續(xù)的切換控制，能消除系統(tǒng)對外部擾動和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化的敏感性，具有很強的魯棒性。本文利用滑?？刂频目垢蓴_性，結(jié)合主動控制方法，設(shè)計相應(yīng)的滑模面和控制器，實現(xiàn)了2個混沌驅(qū)動系統(tǒng)和多個混沌響應(yīng)系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步。利用連續(xù)函數(shù)替代控制律中的非連續(xù)符號函數(shù)，消除了滑?？刂破鞯亩墩駟栴}。該組合同步方式中，混沌驅(qū)動系統(tǒng)和混沌響應(yīng)系統(tǒng)可以擴展為3個或者多個混沌系統(tǒng)進行同步，具有一定的通用性?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論的理論分析和數(shù)值仿真，證明了所設(shè)計控制器的有效性。

1 問題描述

本文設(shè)計的基于滑?？刂频亩嗷煦缦到y(tǒng)組合函數(shù)投影同步，由2個混沌驅(qū)動系統(tǒng)和多個混沌響應(yīng)系統(tǒng)組成。第1個混沌驅(qū)動系統(tǒng)定義為：

(1)

其中：x1(t)=[x11(t),x12(t),…,x1n(t)]T為混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量；f1(x1(t))為非線性連續(xù)函數(shù)，f1(x1(t))=[f11(x1(t)),f12(x1(t)),…,f1n(x1(t))]T。混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)的擾動項為A1(t)=[a11(t),a12(t),…,a1n(t)]T。

混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)的響應(yīng)系統(tǒng)可寫為：

(2)

其中：xj(t)=[xj1(t),xj2(t),…,xjn(t)]T是響應(yīng)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量;fj(xj(t))=[fj1(xj(t)),fj2(xj(t)),…,fjn(xj(t))]T，fj1(xj(t))，fj2(xj(t))，…，fjn(xj(t))是非線性連續(xù)函數(shù);Aj(t)=[aj1(t),aj2(t),…,ajn(t)]T為響應(yīng)系統(tǒng)(2)的擾動項?？刂破鳛閡j-1(t)=[uj-1,1(t),uj-1,2(t),…,uj-1,n(t)]T,j=2,3,4,…,N。

第2個混沌驅(qū)動系統(tǒng)定義為：

(3)

其中：y1(t)=[y11(t),y12(t),…,y1n(t)]T為混沌驅(qū)動系統(tǒng)(3)的狀態(tài)變量;g1(y1(t))是非線性連續(xù)函數(shù)，g1(y1(t))=[g11(y1(t)),g12(y1(t)),…,g1n(y1(t))]T?；煦珧?qū)動系統(tǒng)(3)的擾動項為B1(t)=[b11(t),b12(t),…,b1n(t)]T。

混沌驅(qū)動系統(tǒng)(3)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(4)

其中：yj(t)=[yj1(t),yj2(t),…,yjn(t)]T為響應(yīng)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)變量;gj(yj(t))=[gj1(yj(t)),gj2(yj(t)),…,gjn(yj(t))]T；gj1(yj(t))，gj2(yj(t))，…，gjn(yj(t))為非線性連續(xù)函數(shù)；Bj(t)=[bj1(t),bj2(t),…,bjn(t)]T為響應(yīng)系統(tǒng)(4)的擾動項；控制器為vj-1(t)=[vj-1,1(t),vj-1,2(t),…,vj-1,n(t)]T,j=2,3,4,…,N。

定義1分別將驅(qū)動系統(tǒng)x1(t)和驅(qū)動系統(tǒng)y1(t)、響應(yīng)系統(tǒng)x2(t)和響應(yīng)系統(tǒng)y2(t)、響應(yīng)系統(tǒng)x3(t)和響應(yīng)系統(tǒng)y3(t)、…、響應(yīng)系統(tǒng)xj(t)和響應(yīng)系統(tǒng)yj(t)進行組合,定義ej-1(t)=x1(t)+y1(t)-Mj(t)[xj(t)+yj(t)],如果時間t達到無窮大時，滿足

(5)

則稱驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)了組合函數(shù)投影同步。其中：ej-1(t)=[ej-1,1(t),ej-1,2(t),…,ej-1,n(t)]T；Mj(t)(j=2,3,…,N)為一個函數(shù)比例因子矩陣；mj1,mj2,…,mjn為非零的函數(shù)比例因子。

如果函數(shù)比例因子矩陣M是常數(shù)矩陣，那么組合函數(shù)投影同步問題將轉(zhuǎn)化為組合投影同步問題。如果函數(shù)比例因子矩陣M=I或M=-I，那么組合函數(shù)投影同步問題將轉(zhuǎn)為組合完全同步問題或組合反同步問題，其中I是一個n×n的單位矩陣。

由式(5)可得同步系統(tǒng)的動態(tài)誤差為：

f1(x1(t))+A1(t)+g1(y1(t))+B1(t)-Mj(t)[fj(xj(t))+Aj(t)+uj-1(t)+

f1(x1(t))+g1(y1(t))+A1(t)+B1(t)-Mj(t)[Aj(t)+Bj(t)]-

f1(x1(t))+g1(y1(t))+A1(t)+B1(t)-Mj(t)[Aj(t)+Bj(t)]-

(6)

其中：wj-1(t)=Mj(t)[uj-1(t)+vj-1(t)](j=2,3,4,…,N)為總控制器。

2 無抖振滑?？刂破髟O(shè)計

2.1 滑模面設(shè)計

首先，定義一個非奇異端面sj-1(t)；其次，確定控制律來保證混沌系統(tǒng)的運動軌跡沿設(shè)計好的滑模面滑動?；Ｃ娴亩x為：

sj-1(t)=λj-1ej-1(t)，

(7)

其中：sj-1(t)=[sj-1,1(t),sj-1,2(t),…,sj-1,n(t)]T(j=2,3,4,…,N)是一組函數(shù)變量；λj-1(t)=[λj-1,1(t),λj-1,2(t),…,λj-1,n(t)]T(j=2,3,4,…,N)是一組常數(shù)向量。

設(shè)計如下的滑模到達律：

(8)

當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面上，被控系統(tǒng)須滿足如下條件：

(9)

因此，設(shè)計的組合控制器為wj-1(t)=Mj(t)[uj-1(t)+vj-1(t)]，保證動態(tài)系統(tǒng)的運動軌跡在滑模面上滑動。

2.2 無抖振滑?？刂破髟O(shè)計

為了確保誤差系統(tǒng)軌跡到達并保持在已設(shè)定的滑模面上，可設(shè)計如下滑?？刂破鳎?/p>

wj-1(t)=Mj(t)[uj-1(t)+vj-1(t)]=

f1(x1(t))+g1(y1(t))-Mj(t)[fj(xj(t))+gj(yj(t))]-

(10)

其中：ρj-1=[ρj-1,1,ρj-1,2,…,ρj-1,n]T;j=2,3,4,…,N。

將控制器(10)代入式(6)，可以進一步求得同步動態(tài)誤差：

A1(t)+B1(t)-Mj(t)[Aj(t)+Bj(t)]+ρj-1θj-1(t)。

(11)

相應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)律為：

(12)

其中：qj-1>α;j=2,3,4,…,N。

根據(jù)式(6)、滑模到達律(8)和自適應(yīng)律(12)可以得出：

(13)

定理1對于定義1中的具有外界干擾的混沌組合同步誤差系統(tǒng)ej-1(t)=x1(t)+y1(t)-Mj(t)×[xj(t)+yj(t)]，在控制器(10) 和自適應(yīng)律(12)的作用下，誤差系統(tǒng)(5)將漸近收斂到零。

證明選擇正定的李雅普諾夫泛函為：

(14)

對其求導(dǎo)可得：

(15)

根據(jù)式(6)和式(7)可以得出：

λj-1sj-1(t){f1(x1(t))+g1(y1(t))+A1(t)+B1(t)}-

λj-1sj-1(t){Mj(t)[fj(xj(t))+gj(yj(t))]+Mj(t)[Aj(t)+Bj(t)]}-

(16)

(17)

(18)

λj-1sj-1(t){A1(t)+B1(t)-Mj(t)[Aj(t)+Bj(t)]}-|sj-1(t)|qj-1≤

(19)

即

(20)

因為控制器(10)中有不連續(xù)的符號函數(shù)sgn(sj-1(t))，會產(chǎn)生不期望的抖振，為避免抖振現(xiàn)象，在實際中可用雙曲正切函數(shù)tanh (sj-1(t)/?)(?>0)代替符號函數(shù)，其中，?是適當(dāng)大的正常數(shù)。最后的控制器為：

wj-1(t)=Mj(t)[uj-1(t)+vj-1(t)]=

f1(x1(t))+g1(y1(t))-Mj(t)[fj(xj(t))+gj(yj(t))]-

(21)

其中：ρj-1=[ρj-1,1,ρj-1,2,…,ρj-1,n]T;j=2,3,4,…,N。

3 數(shù)值仿真

為了驗證上述方案的正確性，分別以Lorenz混沌系統(tǒng)和Chen混沌系統(tǒng)作為第1個驅(qū)動系統(tǒng)和第2個驅(qū)動系統(tǒng)[17]，分別以Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)[18]和Liu混沌系統(tǒng)[19]作為第1個響應(yīng)系統(tǒng)和第2個響應(yīng)系統(tǒng)進行仿真實驗。

Lorenz混沌系統(tǒng)的微分方程[17]中x11、x12、x13為狀態(tài)變量，當(dāng)參數(shù)β1=10、β2=28、β3=8/3時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；a11、a12、a13為驅(qū)動系統(tǒng)的外界擾動。Chen混沌系統(tǒng)的微分方程[17]中x21、x22、x23為狀態(tài)變量，當(dāng)參數(shù)ω1=35,ω2=3,ω3=28時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；a21、a22、a23為響應(yīng)系統(tǒng)的外界干擾；u11、u12、u13為響應(yīng)系統(tǒng)的控制器。Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的微分方程[18]中y11、y12、y13為狀態(tài)變量，當(dāng)參數(shù)ε1=-6.00、ε2=-2.92、ε3=-1.20時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);b11、b12、b13為驅(qū)動系統(tǒng)的外界干擾。Liu混沌系統(tǒng)的微分方程[19]中y21、y22、y23為狀態(tài)變量，當(dāng)參數(shù)φ1=10.0、φ2=40.0、φ3=1.0、φ4=2.5、φ5=4.0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);b21、b22、b23為響應(yīng)系統(tǒng)的外界干擾;v11、v12、v13為響應(yīng)系統(tǒng)的控制器。

假設(shè)干擾項為：A1=[0.2cos (2t),0.2cos (2t),0.2cos (2t)]T;A2=[0.2cos (2t),0.2cos (2t),0.2cos (2t)]T;B1=[0.2cos (2t),0.2cos (2t),0.2cos (2t)]T;B2=[0.2cos (2t),0.2cos (2t),0.2cos (2t)]T;函數(shù)比例因子矩陣為M(t)，M(t)=[2+sint,3+sint,4+sint]T。

圖1 同步誤差e11，e12，e13隨時間t的變化曲線

運用MATLAB軟件進行仿真，取驅(qū)動系統(tǒng)的初始值分別為(x11(0),x12(0),x13(0))=(1.0,0.5,3.0)，(x21(0),x22(0),x23(0))=(1,0,5)，取響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為(y11(0),y12(0),y13(0))=(0.6,1.0,6.0)，(y21(0),y22(0),y23(0))=(0,1,0)；取λ1=[1 1 1]T、ρ1=[1 1 1]T，q1=5，q2=15，q3=5，可以得出仿真圖，如圖1～圖3所示。

圖1中同步誤差e漸近收斂于零，說明驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)通過滑?？刂茖崿F(xiàn)了組合函數(shù)投影同步。圖2為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)相應(yīng)的函數(shù)比例因子m3(t)隨時間的變化曲線。由圖2可知：函數(shù)比例因子m3(t)與4+sint圖形基本保持一致。圖3為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的演化曲線，即x13+y13和x23+y23隨時間t的變化曲線。由圖3可知：經(jīng)過短暫的振蕩后，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以按照相應(yīng)的函數(shù)比例因子實現(xiàn)同步，即(x23+y23)=(4+sint)(x13+y13)。綜合圖1～圖3可知：在存在外部擾動和抖振的情況下，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)按照相應(yīng)的函數(shù)比例因子實現(xiàn)了同步，說明該混沌組合函數(shù)投影同步方法具有一定的魯棒性。

圖2 函數(shù)比例因子m3(t)隨時間t的變化曲線

圖3x13+y13和x23+y23隨時間t的變化曲線

4 結(jié)束語

本文研究了基于滑?？刂频亩嗷煦缦到y(tǒng)組合函數(shù)投影同步，理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)能夠在干擾和抖振的影響下實現(xiàn)同步。該組合同步方案中混沌驅(qū)動系統(tǒng)和混沌響應(yīng)系統(tǒng)可以擴展為3個或者多個混沌系統(tǒng)，一方面，組合同步的復(fù)雜性和函數(shù)比例因子的多樣性能有效增強保密通信的安全性;另一方面,滑模控制的快速響應(yīng)特性可以減少加密解密時間，從而降低破譯風(fēng)險。本文研究結(jié)果拓展了多混沌系統(tǒng)的同步控制方案，為混沌同步應(yīng)用于保密通信和信息傳輸?shù)阮I(lǐng)域提供了新思路。