袁澤世，臧 飛

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，江蘇南京210000)

自1963年氣象學(xué)家Lorzen首次揭示混沌運(yùn)動(dòng)以來(lái)，混沌現(xiàn)象在各領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注與應(yīng)用。常見(jiàn)的典型混沌系統(tǒng)包括Lorenz系統(tǒng)[1]、R?ssler系統(tǒng)[2]、Chen系統(tǒng)[3]、Lü系統(tǒng)[4]等，其中一些系統(tǒng)之間存在著某種聯(lián)系，例如：Chen系統(tǒng)是在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用工程反饋控制方法構(gòu)造而來(lái)的；Lü系統(tǒng)建立了Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)聯(lián)系的橋梁。研究新混沌系統(tǒng)的方法可大致分為三類：對(duì)自然界中某種現(xiàn)象進(jìn)行模型提??；對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)；基于計(jì)算機(jī)的大規(guī)模搜索。第一類方法，最典型的是提取大氣運(yùn)動(dòng)模型的Lorenz系統(tǒng)。多數(shù)新混沌系統(tǒng)的提出基于第二類方法，例如：Zhang等在Chen系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對(duì)第一個(gè)狀態(tài)方程進(jìn)行改造，加入一個(gè)可變系數(shù)的乘積項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)[5]；Li 等[6]參考Chen 系統(tǒng)和Lü 系統(tǒng)的構(gòu)建模式，對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行改造；包伯成等[7]將蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管替代為憶阻器，實(shí)現(xiàn)了基于憶阻器的混沌振蕩電路；袁澤世等[8]通過(guò)在Chen 系統(tǒng)中引入可變系數(shù)的乘積項(xiàng)和平方項(xiàng)，構(gòu)造類Chen 混沌系統(tǒng)。第三類方法的典型代表是Sprott團(tuán)隊(duì)，他們利用大規(guī)模計(jì)算機(jī)仿真搜索的方法，揭示了19個(gè)不同的簡(jiǎn)單混沌系統(tǒng)流型[9]。通過(guò)類似的搜索方法，Li等[10]和Yuan等[11]也發(fā)現(xiàn)并研究了新混沌系統(tǒng)。

構(gòu)造基于混沌的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器是混沌系統(tǒng)的重要應(yīng)用之一。Bernstein等[12]首次提出基于一階數(shù)字鎖相環(huán)混沌電路產(chǎn)生安全隨機(jī)數(shù)的方法；Koyuncu等[13]提出一種基于Sprott 94G混沌系統(tǒng)的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，并采用異或運(yùn)算的后處理方法進(jìn)一步優(yōu)化輸出序列性能；Cicek等[14]將斜交Tent映射作為案例，提出一種基于離散時(shí)間混沌的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，并使用真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的數(shù)學(xué)模型得到最大化隨機(jī)性的最佳參數(shù)值；Teh等[15]設(shè)計(jì)一種利用圖形處理器(graphics processing unit，GPU)計(jì)算的混沌映射作為熵源的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，并使用基于加法和異或計(jì)算的后處理實(shí)現(xiàn)無(wú)偏輸出。Yuan等[16]針對(duì)數(shù)字系統(tǒng)的有限精度效應(yīng)問(wèn)題，提出將數(shù)字系統(tǒng)與少量模擬器件相結(jié)合的數(shù)?；旌舷到y(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法，完成混沌隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。文中將基于第二類混沌系統(tǒng)的研究方法，通過(guò)對(duì)類Chen系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，提出不同于文獻(xiàn)[8]中類Chen系統(tǒng)的一種含三次項(xiàng)的類Chen系統(tǒng)；將兩個(gè)類Chen系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，基于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)造混沌方法隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，生成的隨機(jī)數(shù)序列能夠通過(guò)NIST檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到實(shí)際應(yīng)用水平。

1 系統(tǒng)模型和動(dòng)力學(xué)分析

構(gòu)造的含三次項(xiàng)的類Chen系統(tǒng)模型方程如式(1)，與文獻(xiàn)[8]中類Chen系統(tǒng)相比，其最大的特點(diǎn)在于第一個(gè)狀態(tài)方程中引入三次方項(xiàng)，該項(xiàng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生重要影響。

式中：a,b,c,d ∈R，為可變系數(shù)。當(dāng)a=30，b=5，c=18，d=9，初值(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)時(shí)，可計(jì)算出系統(tǒng)的3 個(gè)Lyapunov 指數(shù)L1=1.181 2，L2=0，L3=-18.186 2 及Lyapunov 維數(shù)DL=2.065 2。Lyapunov 指數(shù)與分?jǐn)?shù)維數(shù)表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖1為參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9，初值為(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)時(shí)，本文新系統(tǒng)典型的混沌吸引子。

圖1 新系統(tǒng)的吸引子Fig.1 Attractors of the new system

可用Poincaré截面圖觀察系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性。Poincaré 截面的選擇應(yīng)遵循不包含系統(tǒng)的軌線、不與軌線相切的原則。圖2 為相同參數(shù)、截面z=2 時(shí)，新系統(tǒng)的Poincaré 截面。由圖2 可看出，截面有明顯的分形結(jié)構(gòu)密集點(diǎn)，吸引子的葉片清晰可見(jiàn)，驗(yàn)證了新系統(tǒng)的混沌特性。

圖2 系統(tǒng)Poincaré截面Fig.2 Poincaré cross section of the system

對(duì)式(1)進(jìn)行坐標(biāo)變換(x,y,z)→(-x, -y,z)可發(fā)現(xiàn)，所得系統(tǒng)與式(1)系統(tǒng)相同，即系統(tǒng)關(guān)于z 軸對(duì)稱。系統(tǒng)耗散性計(jì)算如下

式中V 為相體積。當(dāng)?V=-(a+b-c)＜0 時(shí)，系統(tǒng)是耗散的。當(dāng)參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9 時(shí)，滿足(a+b-c)＞0，系統(tǒng)的狀態(tài)變化有界。

令式(1)右邊為0，得到系統(tǒng)平衡狀態(tài)方程為：

取參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9，解式(3)得到系統(tǒng)共有7個(gè)平衡點(diǎn)，分別為：

Chen 系統(tǒng)有3 平衡點(diǎn)：(0,0,0)，( ( -b(a-2c))(1/2)，(-b(a-2c))(1/2),2c-a )和(-(-b(a-2c))(1/2)，(- b(a-2c))(1/2),2c-a )，文獻(xiàn)[8]中類Chen系統(tǒng)有5個(gè)平衡點(diǎn)。與Chen系統(tǒng)和文獻(xiàn)[8]中類Chen系統(tǒng)相比，本文新系統(tǒng)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)更多、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜。由于引入三次方項(xiàng)，導(dǎo)致4組平衡點(diǎn)S3,4和S5,6只是在符號(hào)上不同。

將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)S0處線性化，得到其雅克比矩陣為

其特征方程為 ||λI-J0=0，求出特征根λ1=18，λ2=-30，λ3=-5。λ2,λ3為負(fù)實(shí)數(shù)，λ1為正實(shí)數(shù)，故平衡點(diǎn)S0為 不 穩(wěn) 定 鞍 點(diǎn)。同 理 可 求 出：平 衡 點(diǎn)S1，S2的 特 征 根λ1=9.653 3+17.905 2i，λ2=9.653 3-17.905 2i，λ3=-14.219 2；平衡點(diǎn)S3，S4的特征根λ1=-87.36-232.62i，λ2=-39.33+2.07i，λ3=-9.35+6.97i；平衡點(diǎn)S5，S6的特征根λ1=-87.36+232.62i，λ2=-39.33-2.07i，λ3=-9.35-6.97i。

新系統(tǒng)對(duì)應(yīng)參數(shù)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜如圖3。為便于觀察Lyapunov指數(shù)譜的情況，舍去最小的Lyapunov 指數(shù)，觀察其余兩個(gè)指數(shù)。由圖3 可看出，分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜圖呈清晰對(duì)應(yīng)關(guān)系，即最大Lyapunov指數(shù)大于0、次大Lyapunov指數(shù)等于0時(shí)，系統(tǒng)分岔圖呈混沌狀態(tài)。

2 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)級(jí)聯(lián)

為增強(qiáng)系統(tǒng)的隨機(jī)性，將利用文獻(xiàn)[8]中類Chen 系統(tǒng)與新系統(tǒng)構(gòu)建級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，采取的級(jí)聯(lián)方法如圖4。利用文獻(xiàn)[8]中類Chen系統(tǒng)，生成一組種子混沌序列；利用此序列，按照一定的規(guī)律擾動(dòng)本文新系統(tǒng)，得到中間混沌序列；經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮筇幚磉^(guò)程，即可得到級(jí)聯(lián)系統(tǒng)最終的輸出混沌序列。對(duì)于新系統(tǒng)，可針對(duì)初始值和參數(shù)值分別擾動(dòng)，也可同時(shí)進(jìn)行擾動(dòng)。擾動(dòng)參數(shù)值的選取結(jié)合圖3所示的系統(tǒng)分岔圖，確保級(jí)聯(lián)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，從而保證輸出序列的隨機(jī)性。

圖3 系統(tǒng)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜對(duì)應(yīng)圖Fig.3 Bifurcation,Lyapunov exponent spectrum of the system

圖4 級(jí)聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of the cascaded system

2.2 后處理方法

基于時(shí)延和小數(shù)點(diǎn)后元素提取的后處理方法為兩種典型的后處理方法?；跁r(shí)延后處理方法的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)示意圖如圖5。將中間序列進(jìn)行適當(dāng)量化，得到一組只含“0”和“1”元素的二進(jìn)制序列；對(duì)二進(jìn)制序列進(jìn)行適當(dāng)時(shí)延，再將其與未時(shí)延的原始序列進(jìn)行異或運(yùn)算，得到最終輸出的混沌序列。

圖5 基于時(shí)延后處理方法的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of the cascaded system with time delay post-processing method

基于小數(shù)點(diǎn)后元素提取后處理方法構(gòu)成的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)示意圖如圖6。得到中間混沌序列，先不將序列進(jìn)行二進(jìn)制量化，而是將序列的每個(gè)元素取出小數(shù)點(diǎn)后第N(N為自然數(shù))位，隨后逐位進(jìn)行奇偶判斷。若該位數(shù)字為奇數(shù)，則量化為元素“1”，否則量化為元素“0”。將得到的一系列“0”和“1”元素按照一定順序排列組合，得到最終輸出的混沌序列。

圖6 基于元素提取后處理方法的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of the cascaded system with extracted element post-processing method

2.3 隨機(jī)數(shù)性能的檢驗(yàn)

為驗(yàn)證所得隨機(jī)數(shù)能否滿足實(shí)際應(yīng)用的要求，采用由美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(national institute of standards technology，NIST)提出的NIST檢驗(yàn)套件[17]。NIST檢驗(yàn)套件由15項(xiàng)檢驗(yàn)組成，用于衡量由基于硬件或軟件的加密隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成的(任意長(zhǎng)的)二進(jìn)制序列在特定方面的隨機(jī)性能。將每項(xiàng)檢驗(yàn)計(jì)算出的P值作為判斷對(duì)零假設(shè)相關(guān)強(qiáng)度的依據(jù)。若P=1，則序列近似具完美的隨機(jī)性；若P=0，則序列幾乎完全是非隨機(jī)的。最終將P 值與先驗(yàn)的顯著性水平(α=0.01)進(jìn)行比較，若P ≥α，則接受零假設(shè)，即序列是隨機(jī)的；若P ＜α，則拒絕零假設(shè)，即序列是非隨機(jī)的。表1為本文設(shè)計(jì)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生長(zhǎng)度為109隨機(jī)數(shù)序列的NIST檢驗(yàn)結(jié)果。

表1 級(jí)聯(lián)系統(tǒng)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成的隨機(jī)數(shù)NIST測(cè)試結(jié)果Tab.1 NIST results of random numbers produced by cascaded-system random number generator

將長(zhǎng)序列分為1 000 個(gè)子序列，每組序列長(zhǎng)度M=106，此時(shí)置信區(qū)間為(0.980 56, 0.999 44)，即在滿足P ≥α 的基礎(chǔ)上，通過(guò)率處于置信區(qū)間內(nèi)，認(rèn)為序列通過(guò)該項(xiàng)檢驗(yàn)[17]。從表1可看出，級(jí)聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列通過(guò)了15項(xiàng)NIST檢驗(yàn)，證明設(shè)計(jì)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器可產(chǎn)生滿足隨機(jī)性能要求的、具有實(shí)用價(jià)值的隨機(jī)數(shù)序列。

3 結(jié) 論

基于已有的類Chen系統(tǒng)，通過(guò)引入三次項(xiàng)構(gòu)造一種新的類Chen系統(tǒng)。利用兩種類Chen系統(tǒng)構(gòu)造級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于混沌方法的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。通過(guò)動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)，含三次項(xiàng)的類Chen 系統(tǒng)具理想的最大Lyapunov指數(shù)，具更多的平衡點(diǎn)及更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，是文獻(xiàn)[16]中含三次項(xiàng)三維混沌系統(tǒng)的一種典型情況；設(shè)計(jì)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列通過(guò)了15項(xiàng)NIST檢驗(yàn)，該隨機(jī)數(shù)發(fā)生器可產(chǎn)生滿足隨機(jī)性能要求的、具有實(shí)用價(jià)值的隨機(jī)數(shù)序列，其可運(yùn)用在安全通信、隨機(jī)數(shù)發(fā)生器與雷達(dá)波形設(shè)計(jì)等方面。