陳 璇 ，李 奇 ，李博文 ，肖意可，晏 良

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073；2. 上海機(jī)電工程研究所， 上海 201109)

0 引 言

當(dāng)前，隨著科技的不斷進(jìn)步與發(fā)展，目標(biāo)干擾樣式和手段、導(dǎo)引頭制導(dǎo)方式、作戰(zhàn)場(chǎng)景與作戰(zhàn)方式等日趨靈活多樣。在復(fù)雜多變的電磁環(huán)境下，導(dǎo)引頭能否準(zhǔn)確命中目標(biāo)，能否對(duì)其命中精度、命中概率、抗干擾能力等精度性能指標(biāo)進(jìn)行有效評(píng)估，是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)試驗(yàn)鑒定中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容。

目前，武器系統(tǒng)精度評(píng)估較為常用的方法主要有三類[1-8]：一是小子樣快速收斂統(tǒng)計(jì)方法，適用于現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)量不大，又無(wú)法獲得其他可用信息的情況，包括序貫決策、Bootstrap抽樣、Bayesian Bootstrap方法、隨機(jī)加權(quán)法等；二是多狀態(tài)信息融合統(tǒng)計(jì)方法，適用于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)量不大，但存在相關(guān)歷史信息的情況，主要包括Bayes統(tǒng)計(jì)、Fiducial統(tǒng)計(jì)、百分統(tǒng)計(jì)學(xué)、模糊判決、D-S推理等；三是原型(仿真)系統(tǒng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法，適用于由于安全、成本、規(guī)模等各種因素難以開(kāi)展實(shí)裝試驗(yàn)的情況，主要利用系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)、模型的校驗(yàn)、驗(yàn)證和確認(rèn)(verification,validation and accreditaion, VV&A)技術(shù)，確認(rèn)原型系統(tǒng)或仿真模型，并通過(guò)少量外場(chǎng)試驗(yàn)，應(yīng)用小子樣方法，評(píng)估武器系統(tǒng)的性能。此外，還可以應(yīng)用馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo, MCMC)方法，在試驗(yàn)分布參數(shù)確定、序貫信息融合方面應(yīng)用前景廣闊，可以避免大量的積分計(jì)算[3]。

1 多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度評(píng)估原理與方法

對(duì)于制導(dǎo)精度評(píng)估問(wèn)題而言，由于其性能試驗(yàn)類型具有多源性，覆蓋面十分廣泛，既包括系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)，也包括數(shù)值模擬試驗(yàn)、半實(shí)物仿真試驗(yàn)、掛飛試驗(yàn)、地面靜態(tài)模擬試驗(yàn)等替代等效試驗(yàn)。受地域、成本、資源等因素的限制，系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，具有小子樣的特點(diǎn)，單純靠少量的原型試驗(yàn)數(shù)據(jù)難以有效評(píng)估制導(dǎo)精度。這時(shí)，進(jìn)一步擴(kuò)充信息源，充分利用其他類型的替代等效試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展融合評(píng)估，是較為常見(jiàn)的一種解決思路，屬于多狀態(tài)信息融合統(tǒng)計(jì)方法。

在評(píng)估過(guò)程中需要注意的是，替代等效試驗(yàn)與系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)是在不同狀態(tài)下進(jìn)行的試驗(yàn)，因此，兩類試驗(yàn)結(jié)果并不屬于同一總體，不能直接進(jìn)行融合。工程中常用的方法是從物理機(jī)理模型出發(fā)，將替代等效試驗(yàn)結(jié)果通過(guò)折合或者誤差補(bǔ)償，推算到原型試驗(yàn)狀態(tài)下，再與原型試驗(yàn)小樣本數(shù)據(jù)融合評(píng)估。然而，在推算過(guò)程中，受各種誤差因素的影響，折合或者誤差補(bǔ)償時(shí)必然會(huì)產(chǎn)生一定的折合誤差。此外，當(dāng)替代等效試驗(yàn)折合后的數(shù)據(jù)與原型試驗(yàn)小樣本數(shù)據(jù)存在顯著差異時(shí)，融合結(jié)果也會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，這時(shí)需要從數(shù)據(jù)分布差異的角度考慮，利用數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)結(jié)果判斷兩種類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否能夠進(jìn)行融合，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)可信度加權(quán)融合。然而，在替代等效試驗(yàn)數(shù)據(jù)有具體物理機(jī)理來(lái)源信息的情況下，仍只從數(shù)據(jù)層面去度量可信度，則評(píng)估結(jié)論會(huì)顯得過(guò)于片面[1-3]。

因此，本文提出了一種引入復(fù)合可信度的多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度評(píng)估方法，從數(shù)據(jù)分析和物理機(jī)理兩個(gè)角度進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，通過(guò)數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)和物理機(jī)理折合誤差結(jié)果,計(jì)算了替代等效試驗(yàn)折合樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的復(fù)合可信度。在此基礎(chǔ)上，以服從正態(tài)分布的制導(dǎo)精度指標(biāo)脫靶量為例，利用Bayes方法對(duì)多源數(shù)據(jù)進(jìn)行融合評(píng)估，具體流程如圖1所示。

圖1 多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度融合評(píng)估流程圖Fig.1 Flow chart of the guidance precision fusion evaluation on multi-source data

2 基于數(shù)據(jù)相容性與物理機(jī)理折合誤差的先驗(yàn)信息復(fù)合可信度計(jì)算

2.1 數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)及對(duì)應(yīng)先驗(yàn)信息可信度計(jì)算[3]

從數(shù)據(jù)分析角度而言，先驗(yàn)信息可信度計(jì)算方法一般是基于數(shù)據(jù)的相容性檢驗(yàn)。目前較為常用的方法是運(yùn)用秩和檢驗(yàn)法對(duì)兩類數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗(yàn)。針對(duì)制導(dǎo)精度而言，需要用系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本與不同類型的替代等效試驗(yàn)折合后的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)后兩者分布差異較大，不能看作同一總體，則該類替代等效試驗(yàn)折合樣本應(yīng)予以剔除，不能與系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本放到一起進(jìn)行融合。

記X=(X1,…,Xn1)為系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)樣本，Y=(Y1,…,Yn2)為一種類型的替代等效試驗(yàn)折合后數(shù)據(jù)樣本(先驗(yàn)子樣)，要求驗(yàn)證X與Y是否屬于同一總體，為此，引入競(jìng)擇假設(shè)

H0：X與Y屬于同一總體?H1：X與Y不屬于同一總體

運(yùn)用秩和檢驗(yàn)，將X、Y混合，由小到大排序，得次序統(tǒng)計(jì)量Z1≤Z2≤…≤Zn1+n2。

記Yk=Zj，即Y中的第k個(gè)元Yk在混合排序中的名次為j，稱它為Yk的秩，記作γk(Y)=j。

于是在獲得子樣X(jué)、Y之后，計(jì)算秩和T，在檢驗(yàn)水平α之下，若T1

先驗(yàn)子樣Y的可信度p可定義為當(dāng)采納H0事件時(shí)H0成立的概率，即X和Y屬于同一總體的概率，則有p=P{H0|A}。

利用Bayes公式推導(dǎo)可得

(1)

式中：β為采偽概率；P(H0)為先驗(yàn)概率。

下面分別討論采偽概率β和先驗(yàn)概率P(H0)的計(jì)算方法。

2.2 采偽概率β計(jì)算方法

確定檢驗(yàn)水平α之下的臨界區(qū)域?yàn)镈={T≤T1或T≥T2}，根據(jù)采偽概率定義，有β=P{T1

采偽概率β的計(jì)算相對(duì)較為復(fù)雜，想給出其解析表達(dá)式相對(duì)困難，通常采用Bootstrap方法估計(jì)分布，并通過(guò)Monte Carlo仿真進(jìn)行計(jì)算。針對(duì)制導(dǎo)精度指標(biāo)，如脫靶量，一般認(rèn)為X、Y均服從正態(tài)分布，于是相容性檢驗(yàn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體下均值與方差的相等性檢驗(yàn)問(wèn)題。

H0:D1/D0=1?H1:D1/D0=λ2>1

計(jì)算步驟如下：

Step1選擇檢驗(yàn)的顯著性水平α；

Step2查找自由度為(n1-1,n2-1)的Fα/2和自由度為(n2-1,n1-1)的Fα/2；

此時(shí)，采偽概率β=P{F1-α/2

β=P{F1-α/2

P{F1-α/2/λ

(2)

因此，可得F1-β=Fα/λ，通過(guò)查找F分布表，可以得出采偽概率β。

2.3 先驗(yàn)概率P(H0)計(jì)算方法

在式(1)中，當(dāng)無(wú)任何其他先驗(yàn)信息可利用時(shí)，可取P(H0)=1/2，此時(shí)可信度p簡(jiǎn)化為

同理，完全加權(quán)負(fù)項(xiàng)集NI(Negative Itemset)關(guān)聯(lián)度(all-weighted Negative Itemset Relevancy,awNIR)的計(jì)算如式(9)所示：

(3)

針對(duì)制導(dǎo)精度試驗(yàn)，隨著制導(dǎo)方式、目標(biāo)特性、環(huán)境、干擾策略與樣式等各個(gè)因素的變化，脫靶量、命中概率等精度指標(biāo)也隨之產(chǎn)生變化。不同類型的替代等效試驗(yàn)制導(dǎo)精度結(jié)果均可依據(jù)物理機(jī)理模型折合到系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)下，但是由于不同類型下各因素的試驗(yàn)環(huán)境和狀態(tài)不一，以及折合過(guò)程中的誤差傳播、隨機(jī)擾動(dòng)等帶來(lái)的影響，折合結(jié)果都會(huì)產(chǎn)生誤差[9-13]。此時(shí)，將不同類型的替代等效試驗(yàn)折合數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息，若能夠測(cè)算到替代等效試驗(yàn)折合過(guò)程產(chǎn)生的誤差和觀測(cè)總誤差，則對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)概率P(H0)可以根據(jù)替代等效試驗(yàn)的折合精度進(jìn)行計(jì)算。

現(xiàn)設(shè)共有M類多源替代等效試驗(yàn)，每類試驗(yàn)的數(shù)據(jù)樣本數(shù)記為Ni(i=1,…,M)，分別折合到系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)狀態(tài)下。記第i類替代等效試驗(yàn)數(shù)據(jù)折合樣本的折合誤差為σi，可以依據(jù)物理模型的精度和誤差傳播關(guān)系推導(dǎo)得到觀測(cè)總誤差σ總i，則第i類替代等效試驗(yàn)折合樣本的先驗(yàn)概率P(H0)i可表示為

(4)

式中，參數(shù)ηi和γi為衡量變化速率的參數(shù)。對(duì)于不同類型試驗(yàn)應(yīng)該選取不同值，一般取ηi∈[0.5,2]，γi∈[1,2]，此時(shí)函數(shù)變化速率相對(duì)較為緩慢，也可以結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行選取[14]。

可以看出，若σi=0，即表示折合的方法和過(guò)程未產(chǎn)生任何折合誤差，這是一種理想情況，此時(shí)P(H0)i=1，代入式(1)后得先驗(yàn)信息復(fù)合可信度為1，即表示該類替代等效試驗(yàn)折合樣本完全可信，可以直接與系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)樣本進(jìn)行融合。若σi≈σ總i，并取ηi=1，得P(H0)i≈1/2，說(shuō)明該類替代等效試驗(yàn)折合樣本中的觀測(cè)誤差基本都是由折合過(guò)程產(chǎn)生的，此時(shí)等價(jià)于無(wú)先驗(yàn)信息可利用的情況，直接利用數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)得到的可信度與系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)樣本進(jìn)行加權(quán)融合。

從物理機(jī)理角度而言，本節(jié)中先驗(yàn)概率P(H0)i的定義其實(shí)表征了第i類替代等效試驗(yàn)折合樣本與原型試驗(yàn)樣本的一種相似程度。觀測(cè)總誤差中折合誤差越低，表示該類試驗(yàn)折合后的樣本數(shù)據(jù)越可信，這與式(1)中先驗(yàn)信息可信度隨先驗(yàn)概率增大而遞增的變化規(guī)律也是一致的。

先驗(yàn)信息可信度的準(zhǔn)確度量對(duì)Bayes融合估計(jì)結(jié)果影響很大。本節(jié)提出的先驗(yàn)概率計(jì)算建立在對(duì)誤差機(jī)理和誤差折合精度的分析基礎(chǔ)上，對(duì)應(yīng)算出的復(fù)合可信度具有一定的準(zhǔn)確性。

3 基于復(fù)合可信度的Bayes融合評(píng)估

3.1 經(jīng)典Bayes估計(jì)[3,14-15]

給定先驗(yàn)樣本X=(X1,X2,…,Xn)，記參數(shù)θ的估值為δ(X)，令L(θ,δ)為損失函數(shù)。此時(shí)在給定X之下的平均損失為

(5)

式中，π(θ|X)為θ的驗(yàn)后密度函數(shù)。

(6)

損失函數(shù)L(θ,δ)取平方誤差損失函數(shù)L(θ,δ)=(θ-δ)2，則θ的Bayes估計(jì)即為其驗(yàn)后分布π(θ|X)的數(shù)學(xué)期望值δ(X)，即

(7)

估計(jì)的后驗(yàn)方差為

MSE(δ(X)|X)=Eθ|X(θ-E[θ|X])2=Var(θ|X)

(8)

3.2 無(wú)先驗(yàn)信息時(shí)的分布參數(shù)確定[14]

(9)

(10)

假定無(wú)先驗(yàn)信息可用，則有無(wú)信息先驗(yàn) π(μ,D)∝D-1，根據(jù)Bayes公式有

(11)

經(jīng)計(jì)算，可以得到正態(tài)-逆Gamma分布超參數(shù)α0、β0的估計(jì)值為

(12)

3.3 有先驗(yàn)信息時(shí)的Bayes融合估計(jì)

(13)

若不考慮替代等效試驗(yàn)的可信度，直接將樣本X(1)與X(0)融合估計(jì)，則有(μ,D)服從正態(tài)-逆 Gamma 分布，記

(14)

分布密度函數(shù)為

(15)

可以推出，超參數(shù)α1、β1的估計(jì)值為

(16)

(17)

將一類替代等效試驗(yàn)的推斷結(jié)果拓展到M類替代等效試驗(yàn)下，可以得出，(μ,D)服從正態(tài)-逆Gamma分布，超參數(shù)αM,βM的估計(jì)值為

(18)

則可得到μ和D的Bayes估計(jì)為

(19)

μ和D的后驗(yàn)方差為

(20)

3.4 基于復(fù)合可信度的Bayes融合估計(jì)

在有先驗(yàn)信息時(shí)的Bayes融合估計(jì)中考慮M類替代等效試驗(yàn)折合樣本的可信度。根據(jù)先驗(yàn)信息可信度的計(jì)算，可以得到第i類替代試驗(yàn)折合樣本的可信度為pi，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)融合，則可以得到(μ,D)服從正態(tài)-逆Gamma分布的超參數(shù)α′M,β′M的估計(jì)值為

(21)

此時(shí)，μ和D的Bayes估計(jì)為

(22)

后驗(yàn)方差為

(23)

4 仿真案例

以制導(dǎo)精度脫靶量指標(biāo)為例進(jìn)行仿真。脫靶量服從的總體分布其實(shí)是未知的，但是為了使仿真結(jié)果便于比較，這里假設(shè)其服從正態(tài)分布N(25,10)，從中隨機(jī)抽取樣本數(shù)為6的系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)子樣(單位為m)，記為X(0)=[5.721 7, 30.214 1, 15.089 8, 22.468 7，35.092 7，25.510 1]。另外，設(shè)現(xiàn)有兩類替代等效試驗(yàn)，假設(shè)其折合后的脫靶量結(jié)果分別服從正態(tài)分布N(25,11)和N(25,10.2)，從中各隨機(jī)抽取樣本數(shù)為20和10的樣本?？梢钥闯?，這里兩類替代等效試驗(yàn)折合數(shù)據(jù)的分布與原型試驗(yàn)的分布均有一定差異，第一類替代等效試驗(yàn)樣本量較大，但與原型試驗(yàn)總體分布對(duì)比，分布差異相對(duì)較大；第二類替代等效試驗(yàn)樣本量相對(duì)較少，但其分布差異與原型試驗(yàn)總體分布較為接近。

表1給出了三種脫靶量評(píng)估方法的結(jié)果，分別給出了均值、方差的點(diǎn)估計(jì)以及兩個(gè)估計(jì)的后驗(yàn)方差。第一種方法未融合替代等效試驗(yàn)的折合樣本，直接利用系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)樣本進(jìn)行估計(jì)；第二種方法經(jīng)相容性檢驗(yàn)判定兩類替代等效試驗(yàn)折合樣本均與原型試驗(yàn)子樣屬于同一分布后，未考慮物理機(jī)理影響，僅用數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)得到的可信度，利用Bayes方法融合估計(jì)，先驗(yàn)概率取P(H0)=1/2；第三種方法基于復(fù)合可信度進(jìn)行Bayes融合評(píng)估，兩類替代等效試驗(yàn)折合樣本的折合誤差分別取σ1=3.5，σ總1=4，σ2=1，σ總2=10，并均取η1=η2=γ1=γ2=1，代入式(4)可得，兩類替代等效試驗(yàn)折合樣本的先驗(yàn)概率分別為P(H0)1=0.533 3，P(H0)2=0.909 1。取α=0.025，利用F檢驗(yàn)計(jì)算得出兩類替代等效試驗(yàn)的采偽概率β1=0.035 5，β2=0.026 5，代入式(1)可得，兩類試驗(yàn)的信息可信度分別為p1=0.969 0，p2=0.997 3。

表1 三種脫靶量評(píng)估方法對(duì)比Tab.1 Comparison of three miss distance assessment methods

對(duì)比三種方法的評(píng)估結(jié)果并進(jìn)行分析,可知：

1) 方法1估計(jì)結(jié)果與仿真的初始分布N(25,10)差異極大，且均值與方差估計(jì)的后驗(yàn)方差都相對(duì)較高。這主要是因?yàn)橄到y(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量較少，估計(jì)結(jié)果與采樣數(shù)據(jù)高度相關(guān)。

2) 方法2與方法3均利用替代等效試驗(yàn)折合樣本擴(kuò)充了信息源，雖然兩類替代等效試驗(yàn)與原型試驗(yàn)分布有一定差異，但是融合后的評(píng)估結(jié)果與方法1相比更接近于仿真的初始分布，且均值、方差估計(jì)的后驗(yàn)方差均大幅降低。

3) 本例中第一類替代等效試驗(yàn)樣本量較多，但折合精度不高；第二類樣本量相對(duì)較少，但折合精度更高。引入復(fù)合可信度的多源數(shù)據(jù)Bayes融合評(píng)估方法(即方法3)的計(jì)算結(jié)果與方法2的計(jì)算結(jié)果相比，均值與方差估計(jì)相對(duì)更為穩(wěn)健，后驗(yàn)方差也有所降低，且有效降低了低可信度先驗(yàn)信息的影響，結(jié)果更為合理。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要針對(duì)多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度的融合評(píng)估問(wèn)題，以服從正態(tài)分布的脫靶量指標(biāo)為例，提出了一種依托數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)和物理機(jī)理折合誤差來(lái)計(jì)算多源替代等效試驗(yàn)信息可信度的方法，并以此為基礎(chǔ)，利用Bayes方法與系統(tǒng)級(jí)外場(chǎng)原型試驗(yàn)樣本加權(quán)融合評(píng)估。仿真結(jié)果表明，引入復(fù)合可信度后的Bayes融合評(píng)估方法能夠從一定程度上改善單純依靠外場(chǎng)原型試驗(yàn)小子樣評(píng)估結(jié)果不準(zhǔn)確的情況，使精度指標(biāo)的評(píng)估結(jié)果更為精確、穩(wěn)健，具有實(shí)用性。

本文提出的這種思路其實(shí)可以看作是工程化折合方法與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的有機(jī)結(jié)合，與物理工程背景結(jié)合緊密，具有合理性和實(shí)用性。文中制導(dǎo)精度指標(biāo)以脫靶量為例，若對(duì)命中概率、抗干擾概率等概率型指標(biāo)開(kāi)展評(píng)估，替代等效試驗(yàn)信息可信度的計(jì)算方法仍然適用，而在Bayes融合評(píng)估中則需要采用二項(xiàng)分布參數(shù)的相關(guān)估計(jì)方法[16-17]。