黃元，苑海波，黃樣

(1.北京師范大學(xué) 天文系，北京100875；2.云南大學(xué) 中國西南天文研究所，昆明650500)

1 引言

雙星及多星(下文統(tǒng)稱為雙星)系統(tǒng)在宇宙中廣泛存在。根據(jù)恒星之間的距離以及洛希瓣半徑，雙星可以分為分離雙星、相接雙星和密近雙星。分離雙星兩顆成員星的洛希瓣相互分開，對(duì)彼此都沒有顯著的影響，演化本質(zhì)上相互獨(dú)立。相接雙星是雙星的一顆已經(jīng)充滿了洛希瓣，而另一顆還沒有達(dá)到的系統(tǒng)，氣體會(huì)從充滿洛希瓣的恒星溢出(洛希瓣溢流，Roche Lobe Overflow,RLOF)，然后轉(zhuǎn)移到伴星；這時(shí)質(zhì)量轉(zhuǎn)移會(huì)影響這個(gè)系統(tǒng)的演化，并且流入的氣體會(huì)在被轉(zhuǎn)移的恒星周圍形成吸積盤。密近雙星的兩顆恒星都充滿了各自的洛希瓣，且洛希瓣發(fā)生重疊，最外層的恒星大氣層組成了公共包層，最終兩顆星可能會(huì)發(fā)生合并[1]。

研究雙星系統(tǒng)的性質(zhì)具有重要的意義。雙星系統(tǒng)對(duì)恒星的演化有重要影響，會(huì)形成諸多具有特殊研究價(jià)值的天體。其中包括被稱為“宇宙標(biāo)準(zhǔn)燭光”、可測(cè)量宇宙膨脹歷史的Ia型超新星[2,3]，產(chǎn)生可以探測(cè)引力波信號(hào)的致密雙星系統(tǒng)[4]，發(fā)出高能X射線、用于研究高能物理現(xiàn)象的X射線雙星[5]，以及藍(lán)離散星[6]等。除了演化為別具價(jià)值的特殊天體外，雙星系統(tǒng)對(duì)星族合成模型[7,8]也有重要影響。同時(shí)，雙星系統(tǒng)也會(huì)影響恒星的測(cè)光距離估計(jì)[9]，從而對(duì)銀河系的結(jié)構(gòu)分析產(chǎn)生影響。

長久以來，人們提出多種直接認(rèn)證雙星系統(tǒng)的方法，例如：目視雙星、食雙星、分光雙星等，但是這些方法都有其各自的局限性和偏差，如目視雙星一般都是發(fā)現(xiàn)分離角度較大、周期長、且光度相當(dāng)?shù)男牵駝t較亮星會(huì)遮蔽較暗的星使其難以分辨；而分光雙星適用于尋找質(zhì)量相當(dāng)?shù)亩讨芷陔p星；食雙星要求兩顆星的軌道平面與觀測(cè)方向一致；天測(cè)雙星對(duì)于質(zhì)量比大、軌道周期長的星測(cè)量起來非常困難。想要準(zhǔn)確無誤地識(shí)別雙星系統(tǒng)，然后對(duì)雙星系統(tǒng)的性質(zhì)開展統(tǒng)計(jì)無偏的研究，并不是一件容易的事情。

基于太陽附近直接觀測(cè)的小樣本雙星的數(shù)據(jù)，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)量越大的主序恒星的雙星比例越高，類太陽主序星的雙星比例在40%～60%之間[10,11]，質(zhì)量小于0.5M⊙的雙星的比例約為26%[12]，而質(zhì)量大于5M⊙的雙星的比例達(dá)到了70%[13]。2017年，Moe和Stefano詳細(xì)描述了不同質(zhì)量的雙星的比例變化情況[14]。

近年來，隨著多個(gè)大型天文巡天的開展，如斯隆數(shù)字巡天計(jì)劃(Sloan Digital Sky Surve,SDSS)[15]、LAMOST[16]、蓋亞(Gaia)巡天[17]等，人們獲得了海量恒星的高質(zhì)量測(cè)光、分光以及天測(cè)的數(shù)據(jù)。針對(duì)大樣本的數(shù)據(jù)，人們提出大樣本統(tǒng)計(jì)方法來對(duì)雙星的性質(zhì)進(jìn)行研究。使用統(tǒng)計(jì)方法，不需要區(qū)分每一顆星是單星還是雙星，只需要對(duì)樣本的整體統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行測(cè)量，所以，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法能夠極大地提高樣本的容量，并研究雙星性質(zhì)隨不同樣本(如豐度、空間位置、年齡等)的變化。

Gao等人基于多次測(cè)量恒星視向速度(以后簡稱速度)差的變化[18]，利用SDSS數(shù)據(jù)測(cè)得FGK類主序星的雙星比例為43%左右，利用LAMOST的類似樣本測(cè)得的為30%左右，并且雙星比例隨著有效溫度的上升而增大，隨金屬豐度的升高而降低[19]。Yuan等人基于恒星顏色相對(duì)于單星顏色的偏離[20]，測(cè)得FGK類主序星的雙星比例為41%左右，雙星比例隨著金屬豐度的減小而增大，在[-0.5,0.0]dex為37%左右，而[-2.0,-1.5]dex達(dá)到了53%，且銀暈的雙星比例明顯高于薄盤和厚盤。Liu基于恒星的絕對(duì)星等相對(duì)于單星模型的偏離[21]，并使用LAMOST數(shù)據(jù)，分析了(0.4～1)的GK主序星在不同的質(zhì)量比情況下，雙星比例和質(zhì)量比分布隨著質(zhì)量及金屬豐度變化的趨勢(shì)。他發(fā)現(xiàn)主星質(zhì)量較小時(shí)，質(zhì)量比偏大，雙星比例與金屬豐度成反比，與質(zhì)量關(guān)系較??；主星質(zhì)量較大時(shí)，質(zhì)量比偏小，雙星比例與質(zhì)量成正比，與金屬豐度的關(guān)系較小。以上這些工作都是針對(duì)主序恒星，對(duì)處于巨星階段的恒星，例如對(duì)紅巨星RGB和紅團(tuán)簇星RC的雙星比例性質(zhì)研究還非常少見。

紅巨星位于赫羅圖上主序星帶的右上方。在主序星演化晚期，中心核反應(yīng)產(chǎn)生的輻射壓逐漸不足以抵抗引力，有著He核和H外殼的恒星在引力作用下坍縮，這時(shí)恒星外層膨脹，表面溫度降低，亮度升高，成為紅巨星。而紅團(tuán)簇星是小質(zhì)量的恒星經(jīng)歷了紅巨星階段和He閃階段之后的He核燃燒階段，且當(dāng)He燃燒時(shí)He核具有相似的質(zhì)量和光度，在赫羅圖上形成了很緊密的分布。除此之外，紅團(tuán)簇星由于I波段和近紅外K波段的絕對(duì)星等相對(duì)穩(wěn)定不易變化，適合被作為“標(biāo)準(zhǔn)燭光”[22]。幾乎所有質(zhì)量合適的主序雙星系統(tǒng)都將經(jīng)歷巨星演化階段，取決于軌道周期等性質(zhì)，此時(shí)雙星系統(tǒng)將發(fā)生不同程度的相互作用進(jìn)而改變其性質(zhì)。因此，研究這兩類天體的雙星比例對(duì)于研究恒星的演化也有非常重要的作用。

Badenes等人[23]2018年使用了阿帕奇點(diǎn)天文臺(tái)銀河系演化實(shí)驗(yàn)(The Apache Point Observatory Galactic Evolution Experiment,APOGEE)DR13的巨星數(shù)據(jù)，根據(jù)多次測(cè)量的速度差最大值ΔRVmax，對(duì)巨星的前身主序星的雙星比例及隨金屬豐度的變化進(jìn)行了研究。他們發(fā)現(xiàn)不同lgg區(qū)間的ΔRVmax的最大值的分布與對(duì)應(yīng)的lgg區(qū)間有很強(qiáng)的相關(guān)性，并利用ΔRVmax＞10 km/s的樣本占總樣本比例的方法求得巨星前身主序星的雙星比例大約為35%，且金屬豐度越低的樣本有更高的雙星比例。Badenes等人[23]工作中的RGB樣本數(shù)量為56 533個(gè)，RC樣本為15 667個(gè)，ΔRVmax＞10 km/s的樣本總共為1 037個(gè)，其結(jié)果有較大的不確定性，需要進(jìn)一步的研究。

Belokurov等人[24]近期使用Gaia DR2的數(shù)據(jù)，通過對(duì)恒星位置變化的多次測(cè)量來區(qū)分單星與雙星(單星的光心與質(zhì)心重合，雙星的光心與質(zhì)心通常不同)，研究了雙星比在赫羅圖上的相對(duì)變化。他們發(fā)現(xiàn)主序階段雙星比例隨恒星質(zhì)量的減小而逐漸降低，與前人的結(jié)果一致。對(duì)巨星來講，紅巨星的雙星比在20%～30%左右，巨星越亮，雙星比例越低；紅團(tuán)簇星的雙星比最低，約為15%；藍(lán)水平分支星呈現(xiàn)了非常高的雙星比例，約為70%。

在本文中，我們發(fā)揮LAMOST數(shù)據(jù)的大樣本優(yōu)勢(shì)，針對(duì)紅巨星和紅團(tuán)簇星開展雙星比例的系統(tǒng)研究。本文結(jié)構(gòu)如下：第2章介紹研究所使用的數(shù)據(jù)；第3章介紹研究方法和模型；第4章通過計(jì)算得出結(jié)果；最后給出總結(jié)。

2 數(shù)據(jù)

郭守敬望遠(yuǎn)鏡(Large Sky Area Multi-Object Fiber Spectroscopy Telescope,LAMOST)，是中國自主設(shè)計(jì)和建造的大天區(qū)面積多目標(biāo)光纖光譜天文望遠(yuǎn)鏡，是一架新類型的大視場(chǎng)兼?zhèn)浯罂趶酵h(yuǎn)鏡[16]。其由反射施密特改正板MA，球面主鏡MB以及焦面三部分構(gòu)成，有效通光口徑為4 m，視場(chǎng)廣達(dá)5°。其采用了并行可控的光纖定位技術(shù)，在直徑為1.75 m的焦面上放置了4 000根光纖，將遙遠(yuǎn)天體的微弱星光分別傳輸?shù)蕉嗯_(tái)光譜儀中，因此能同時(shí)獲得4 000個(gè)天體的光譜，是世界上光譜獲取率最高的望遠(yuǎn)鏡[25]。

我們使用的數(shù)據(jù)為郭守敬望遠(yuǎn)鏡DR4網(wǎng)站上提供的反銀心方向巡天第二版增值星表[26]。該星表提供4 378 824顆恒星的178項(xiàng)恒星參數(shù)，包括有效溫度、金屬豐度、速度、視星等、消光值以及各項(xiàng)誤差等。Wu等人[27]使用核主成分分析的方法，在該星表中挑出418 304顆紅巨星，并測(cè)得了其質(zhì)量和年齡。Huang等人使用類似的方法，從該星表中挑選出了151 251顆紅團(tuán)簇星，同樣對(duì)質(zhì)量和年齡進(jìn)行了測(cè)量[28]。

將RGB和RC星表與LAMOST反銀心方向巡天第二版增值星表結(jié)合，去掉恒星參數(shù)有缺失的、只有一次測(cè)量的目標(biāo)源之后，我們獲得124 964個(gè)RGB源的385 984次速度測(cè)量，以及48 323個(gè)RC源的129 258次速度測(cè)量。為避免低溫恒星脈動(dòng)帶來的影響，我們要求有效溫度Teff＞4 000 K。由于金屬豐度[Fe/H]＜-1.5 dex的樣本只占總樣本的0.6%，因此工作中我們只考慮[Fe/H]＞-1.5 dex的樣本。我們對(duì)同一目標(biāo)源的速度進(jìn)行了兩兩做差，在兩次測(cè)量的信噪比均大于20，時(shí)間間隔大于1 d的情況下，我們選擇了速度差絕對(duì)值最大的一組ΔRVmax=max(RVn)-min(RVn)。最終，我們得到了62 295個(gè)RGB的ΔRVmax和19 270個(gè)RC的ΔRVmax。

由于lgg對(duì)于本工作非常重要，且為了便于與Badenes等人[23]基于APOGEE DR13數(shù)據(jù)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，我們將Wu等人的RGB星表與APOGEE DR14提供的allstar星表[29]進(jìn)行了交叉。我們得到128 380個(gè)共同源，對(duì)lgg進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖1a)所示。我們發(fā)現(xiàn)LAMOST的lgg值在APOGEE DR14的lgg較小時(shí)普遍偏低，黑線是我們對(duì)差值的中值使用四階多項(xiàng)式函數(shù)擬合的結(jié)果。我們根據(jù)擬合公式對(duì)LAMOST的RGB的lgg值進(jìn)行了修正，對(duì)RC的數(shù)據(jù)進(jìn)行了同樣的處理，并根據(jù)圖1b)黑線所示的擬合曲線對(duì)RC的lgg進(jìn)行了修正。

圖1 APOGEE DR14的lg g與LAMOST增值星表lg g的比較

為了檢驗(yàn)RGB與RC樣本的純凈度，利用Gaia DR2距離[30]與增值星表提供的2μm全天巡天(Two Micron All-Sky Survey,2MASS)K波段視星等[31]以及使用恒星配對(duì)方法計(jì)算得到的消光值[26]，我們計(jì)算了62 295顆RGB和19 270顆RC的K波段絕對(duì)星等，采用的K波段消光系數(shù)為0.306[32]。我們給出RGB與RC的溫度-K波段絕對(duì)星等圖，如圖2所示。我們剔除了圖中黑色實(shí)線以下的5 564個(gè)RGB源(主要受到主序星的污染)和兩條虛線外側(cè)的2 688個(gè)RC源(主要受到RGB的污染)[33]。

圖3是經(jīng)過剔除后的RGB與RC樣本在赫羅圖上的分布，橫坐標(biāo)為有效溫度，縱坐標(biāo)為表面重力加速度，圖中的顏色代表了金屬豐度。最后我們比較了LAMOST與APOGEE DR14數(shù)據(jù)的同源多次觀測(cè)時(shí)間間隔，LAMOST的觀測(cè)時(shí)間間隔中值在350 d左右，而APOGEE的觀測(cè)時(shí)間間隔中值僅為35 d左右。相比之下，觀測(cè)時(shí)間跨度越長越有利于體現(xiàn)雙星的速度變化特征，因此，LAMOST的數(shù)據(jù)更有利于本文工作的開展。

3 方法

我們使用的方法與Badenes等人[23]采用的方法類似：首先定義一個(gè)常數(shù)ΔRVcrit，這個(gè)常數(shù)需要避免速度誤差不確定性的影響，因此遠(yuǎn)大于速度誤差σRV；再通過統(tǒng)計(jì)ΔRVmax＞ΔRVcrit的樣本占總樣本比例(比例記為Nf)的方法，來探究雙星比例在不同樣本中的變化趨勢(shì)，并借助模型對(duì)雙星比例進(jìn)行定量的估計(jì)。恒星速度誤差σRV與雙星比例之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，利用速度變化的分布來研究雙星比例通常要求對(duì)恒星的速度誤差σRV有非常精確的測(cè)量，而速度誤差σRV通常又與恒星的光譜型、金屬豐度、信噪比有密切關(guān)系，不能用一個(gè)常量來表示。本文采用的方法的優(yōu)點(diǎn)在于：ΔRVmax＞ΔRVcrit的樣本與速度誤差不敏感，因此不需要對(duì)速度誤差進(jìn)行精確的測(cè)量，就能測(cè)得雙星比例。

為確定ΔRVcrit，我們對(duì)RGB和RC的ΔRVmax合并樣本進(jìn)行了多次3σ剔除，直至其速度分布不發(fā)生改變；然后對(duì)其進(jìn)行高斯擬合，將3σ處的速度定為ΔRVcrit，為20.0 km/s，如圖4所示，此時(shí)的σ為該樣本的典型速度誤差的倍。我們將RGB根據(jù)lgg的不同分為四個(gè)區(qū)間：[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex，RC則單成一個(gè)區(qū)間，開展下一步工作。

圖4 多次3σ剔除后的RGB和RC合并樣本的ΔRVmax的分布及擬合情況

基于LAMOST數(shù)據(jù)測(cè)得的恒星的速度誤差在較低信噪比(約為10，與恒星大氣參數(shù)有關(guān))的情況下，與信噪比成反比關(guān)系，而在高信噪比的情況下趨于穩(wěn)定[34]。為了避免信噪比判據(jù)不同對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，我們測(cè)量了四個(gè)lgg區(qū)間的RGB樣本以及RC樣本的Nf比例隨信噪比的變化，如圖5所示。從圖中可以看到，無論是RGB還是RC樣本，Nf比例隨著信噪比的增大，一開始均呈現(xiàn)了逐步下降的趨勢(shì)，但在信噪比大于20之后基本趨于穩(wěn)定。當(dāng)信噪比更高時(shí)，低lgg區(qū)間Nf會(huì)因大于ΔRVcrit的數(shù)據(jù)量較少而誤差較大出現(xiàn)波動(dòng)。因此，在信噪比大于20的情況下，測(cè)得的Nf比值與信噪比關(guān)系不大，具有更高的可靠性，這也解釋了為什么我們要求信噪比大于20。

圖5 RGB在不同lg g區(qū)間的樣本及RC樣本的Nf隨信噪比的變化

為了從Nf中反演出樣本中總的雙星比例，我們使用了蒙特卡洛模擬方法。假設(shè)觀測(cè)到的速度差分布由雙星和單星兩種情況構(gòu)成，單星的速度之差取決于兩次速度的測(cè)量誤差σRV，雙星的速度之差，還取決于雙星的具體繞轉(zhuǎn)情況。即對(duì)于一個(gè)大樣本，其速度差的分布可以表示如下[18]：

其中，p代表某樣本的分布，Δv代表速度差，fb代表雙星比例，pb代表雙星的樣本分布，Δt為兩次速度的觀測(cè)時(shí)間差，MB是主星的質(zhì)量，ps代表單星的樣本分布，σRV代表每一個(gè)樣本的速度誤差。

使用開普勒的二體公式，我們可以得到雙星速度的半振幅(記為K，單位為km·s-1)的表達(dá)式[19]：

其中，M1代表樣本中RGB[27]與RC[28]的質(zhì)量和。周期P滿足Raghavan等人[11]提出的對(duì)數(shù)分布。Pcrit為包含巨星的雙星軌道周期的最小值[23]，當(dāng)P＜Pcrit時(shí)，采用Badenes[23]等人工作中一樣的處理方式，即當(dāng)成雙星來處理，但是不會(huì)導(dǎo)致速度變化。需要注意的是，此時(shí)計(jì)算得出的fb代表其主星還在主序階段時(shí)的雙星比，并非當(dāng)前巨星的雙星比。q是兩顆星的質(zhì)量比，在0.08～1之間滿足均勻分布[14,18,19,23]。為了簡化模型，我們?nèi)∑穆蔱=0[18,19]。軌道傾角i滿足各向同性，因此cosi的取值滿足隨機(jī)分布。在以上條件下，我們最終獲得的雙星的速度差的表達(dá)式為[19]：

其中，v1b代表第一次觀測(cè)的速度，v2b代表第二次觀測(cè)的速度，φ1和φ2分別代表兩次觀測(cè)的時(shí)間點(diǎn)在周期中的相位。速度誤差固定時(shí)，雙星的速度差分布是符合K(cosφ1-cosφ2)為均值，為誤差的高斯分布。對(duì)于每個(gè)樣本區(qū)間內(nèi)的σRV，我們采用求ΔRVcrit時(shí)的方法，測(cè)得RGB的lgg分別為[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex時(shí)的樣本，以及RC樣本的速度誤差σRV值依次為4.35 km/s,4.50 km/s,4.79 km/s,5.01 km/s和3.81 km/s。這個(gè)結(jié)果與Gao[18]及Tian[35]等人工作中K型主序星的結(jié)果相近。由于我們選用的ΔRVcrit為20.0 km/s，遠(yuǎn)大于σRV，可保證最終測(cè)得的雙星比例不受采用的速度誤差σRV及可能變化的影響。

綜上，我們把對(duì)應(yīng)lgg樣本區(qū)間內(nèi)單星和雙星的模型合并，通過不同的雙星比來調(diào)整Nf，再與觀測(cè)數(shù)據(jù)得出的Nf進(jìn)行比較，即可獲得樣本中最佳雙星比fb。再次聲明，此時(shí)我們得到的雙星比代表的不是當(dāng)前巨星的雙星比，而是其還處于主序階段時(shí)的雙星比。在我們的模型中，假設(shè)主序階段的雙星比為fb1，f為模型中P＜Pcrit的樣本占雙星總樣本的比例，可以推導(dǎo)出模型中演化到巨星階段的雙星比為fb1×(1-f)，小于主序階段的雙星比。

4 結(jié)果

4.1 ΔRVmax與lg g的關(guān)系

圖6顯示了RGB與RC樣本在ΔRVmax-lgg空間的分布。在大樣本恒星中，ΔRVmax的最大值對(duì)應(yīng)軌道傾角i=90°，軌道半徑及周期最小的情況下的雙星系統(tǒng)。對(duì)于包含巨星的雙星系統(tǒng)來講，允許的軌道半徑有一個(gè)最小值，此時(shí)的軌道周期計(jì)為Pcrit。當(dāng)周期P＜Pcrit時(shí)，雙星系統(tǒng)會(huì)因?yàn)榫嚯x過近從而發(fā)生物質(zhì)交換(RLOF)，甚至合并而處于不穩(wěn)定狀態(tài)，因此我們?cè)诟鶕?jù)Raghavan等人[11]的軌道周期分布構(gòu)造雙星模型時(shí)，需要將P＜Pcrit的部分特殊處理。Pcrit的計(jì)算如公式(4)所示(注意公式(4)與Badenes[23]工作中出現(xiàn)的公式不同，因?yàn)楹笳哂谐霭驽e(cuò)誤)。其中?(q)是恒星洛希瓣半徑與雙星軌道半徑的比值[36]，該值只與質(zhì)量比q有關(guān)，G為萬有引力常數(shù)，M為主星質(zhì)量，R為主星半徑。當(dāng)q=1時(shí)，?(q)值為0.38。

圖6 RGB(黑點(diǎn))和RC(紅點(diǎn))樣本在ΔRVmax-lg g空間的分布

由圖6可見，RGB不同樣本的ΔRVmax的最大值與對(duì)應(yīng)的lgg值存在很強(qiáng)的正相關(guān)，與Badenes[23]給出的結(jié)論一致。我們依據(jù)公式(2)計(jì)算了在q=1,sini=1,周期P=Pcrit的情況下，1M⊙和2M⊙的恒星在不同lgg情況下的ΔRVmax數(shù)值，分別對(duì)應(yīng)圖中的藍(lán)線和綠線。下端的藍(lán)點(diǎn)和綠點(diǎn)對(duì)應(yīng)恒星演化到TRGB時(shí)的結(jié)果，使用的是MIST恒星演化模型(http://waps.cfa.harvard.edu/MIST/interp-tracks.html)。在綠線右邊的數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的可能是包含了一個(gè)大質(zhì)量致密星(如黑洞或中子星)的雙星系統(tǒng)[37]。我們將這些源的信息整理為表1(表1中的lgg為修正后的值，其中編號(hào)為1,2,8,23的源為Gu等人[37]工作中已發(fā)現(xiàn)的候選體，圖中用紅十字表示)。RC的結(jié)果與小lgg情況下的RGB結(jié)果接近，這是因?yàn)镽C是從RGB支頂端演化而來，具有最大的Pcrit。

4.2 Nf與lg g的關(guān)系

為了探究巨星中Nf與lgg的關(guān)系，我們前文已將RGB劃分為4個(gè)區(qū)間：[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex，RC則單成一個(gè)區(qū)間。我們分別計(jì)算了這5個(gè)樣本的Nf、泊松誤差以及f，如表2所示。

表2給出了5個(gè)子樣本的個(gè)數(shù)、子樣本中ΔRVmax＞20.0 km/s的樣本數(shù)、Nf值及其泊松誤差、lgg的中值以及f。可以看出，對(duì)于RGB，隨著lgg的減小，對(duì)應(yīng)樣本中Nf值呈現(xiàn)了一個(gè)下降的趨勢(shì)，比例從3.73%一直下降到了2.57%；RC樣本的Nf值最低為

1.22%，上述趨勢(shì)與Badenes[23]得到的結(jié)果一致。我們從模型中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于RGB，lgg越小，P＜Pcrit發(fā)生作用的比例越高(即f越大)，lgg為3,2,1 dex時(shí)，f分別為3%,5%,9%左右。RC發(fā)生作用的比例最高，f達(dá)到了15%左右；這說明短周期主序雙星在其主星演化到巨星后，由于發(fā)生相互作用而不復(fù)存在。

表1 特殊樣本以及相關(guān)參數(shù)

表2 Nf隨不同lg g子樣本的變化

4.3 Nf與[Fe/H]的關(guān)系

為了研究Nf與[Fe/H]的關(guān)系，我們?cè)?.2節(jié)的基礎(chǔ)上，對(duì)RGB中金屬豐度范圍相對(duì)較廣的2個(gè)子樣本([2.5,3.0]dex和[3.0,3.8]dex)以及RC樣本做了進(jìn)一步拆分，將[Fe/H]＞0.0 dex的星視為富金屬星樣本，-0.5 dex＜[Fe/H]＜0.0 dex的星視為中間豐度樣本，-1.5 dex＜[Fe/H]＜-0.5 dex的星視為貧金屬星樣本。另外，為了只考慮[Fe/H]對(duì)Nf的影響，而排除其他因素，我們將質(zhì)量范圍進(jìn)一步調(diào)整為[0.8,1.5]M⊙，發(fā)現(xiàn)溫度對(duì)巨星雙星比例的影響很小[38]，因此不做修改。我們把各個(gè)樣本區(qū)間的數(shù)目列在了表3中，并計(jì)算了對(duì)應(yīng)區(qū)間的Nf及其泊松誤差。

表3 不同子樣本情況下的Nf值隨金屬豐度的變化

表3給出了不同樣本區(qū)間源的數(shù)目、Nf數(shù)值以及泊松誤差。對(duì)于RGB和RC，不同子樣本的貧金屬豐度區(qū)間的Nf都大于中間金屬豐度和富金屬豐度區(qū)間的Nf數(shù)值。這說明貧金屬豐度樣本在雙星貢獻(xiàn)占主導(dǎo)的ΔRVmax范圍內(nèi)有著更大的比例，貧金屬星相對(duì)于富金屬星有更高的雙星比例，與Gao[18,19],Yuan[20],Liu[21]等人的結(jié)論一致。

4.4 Nf與fb的關(guān)系

利用蒙特卡洛模擬方法，我們構(gòu)造了不同雙星比例的模型，計(jì)算了模型中不同lgg區(qū)間的Nf值，并與RGB和RC的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果見表2和圖7。

從圖中可以看出：對(duì)于整個(gè)紅巨星的樣本，Nf比例與fb=40%的情況下的模型比較接近，通過加權(quán)平均求得樣本整體的雙星比例為fb=(38.1±2)%。我們注意到雙星比例隨著lgg的增大出現(xiàn)了一定程度的下降。我們的結(jié)果比Badenes[23]的結(jié)果(fb=35%)稍大，但在誤差允許范圍內(nèi)。我們的雙星比結(jié)果與類太陽恒星的雙星比(40%～50%[18–20])也較接近。這意味著基于紅巨星數(shù)據(jù)與基于矮星數(shù)據(jù)得到的雙星比是一致的。

圖7 不同雙星比情況下Nf隨lg g的變化

除此之外，我們注意到，對(duì)于周期小于Pcrit的雙星系統(tǒng)，可以有兩種極端處理情況：情況A是假設(shè)這種雙星系統(tǒng)演化成為一顆單巨星，但它仍然作為“雙星”在我們的模型中(我們和Badenes[23]的工作均是建立在這種情況下)；情況B是，這種雙星系統(tǒng)經(jīng)相互作用后已演化為其他類型的天體，此時(shí)其系統(tǒng)內(nèi)已不再有巨星存在。因?yàn)槲覀兊臄?shù)據(jù)都是巨星樣本，此時(shí)這類數(shù)據(jù)將不出現(xiàn)在模型中，應(yīng)當(dāng)被去除。

我們對(duì)情況B的結(jié)果也進(jìn)行了估計(jì)：模型中P＜Pcrit的數(shù)量在最小的lgg區(qū)間占了雙星模型的9%，在最大的lgg區(qū)間占了3%。第二種處理情況使得lgg位于[0,1.5]dex區(qū)間的雙星比例從55%下降到了52%，對(duì)其他lgg區(qū)間的影響很小，可以忽略不計(jì)。由于兩種處理方式對(duì)lgg小于1.5 dex的RGB及RC樣本雙星比的影響較大，將來對(duì)這類樣本雙星比的精確測(cè)量有望區(qū)分這兩種情況。

5 總結(jié)

我們基于LAMOST的海量數(shù)據(jù)，選擇其反銀心方向巡天第二版增值星表中的56 731顆紅巨星以及16 582顆紅團(tuán)簇星數(shù)據(jù)作為樣本，通過統(tǒng)計(jì)ΔRVmax＞20.0 km/s的樣本數(shù)量占總樣本比例的方法，研究了紅巨星和紅團(tuán)簇星的雙星比例及其隨演化階段和金屬豐度的變化。我們定義Nf=NΔRVmax＞ΔRVcrit/Ntotal，通過Nf來示蹤雙星比在不同樣本中的變化趨勢(shì)，并借助于恒星視向速度差的模型來對(duì)雙星比進(jìn)行定量的估計(jì)。我們發(fā)現(xiàn)樣本ΔRVmax的最大值與RGB對(duì)應(yīng)的lgg值存在很強(qiáng)的正相關(guān)；RGB的lgg值越大，Nf值越大，RC的Nf值越小，說明巨星的演化階段越晚，雙星比例越低；金屬豐度越高，雙星比例越低。利用蒙特卡洛方法，我們測(cè)得紅巨星前身星的雙星比例為(38±2)%，紅團(tuán)簇星前身星的雙星比例為(35±3)%，從而證實(shí)了Badenes等人[23]的結(jié)果，與類太陽主序恒星的結(jié)果相符。此外，我們發(fā)現(xiàn)了46個(gè)可能包含大質(zhì)量致密星的雙星候選體，值得進(jìn)一步的研究。

致謝

感謝兩位審稿人的寶貴意見，使得這篇文章得以完善。感謝運(yùn)行團(tuán)隊(duì)提供數(shù)據(jù)。