邵 云

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

文獻(xiàn)[1]曾經(jīng)對(duì)滑塊在粗糙斜面內(nèi)的平拋運(yùn)動(dòng)做了較為深入的研究，但仍留下一些缺憾。比如，由于當(dāng)初計(jì)算機(jī)技術(shù)尚未普及的緣故，文獻(xiàn)[1]未能給出滑塊在空間的軌跡圖像及對(duì)比；又如，可能由于篇幅的緣故，文獻(xiàn)[1]也未能對(duì)滑塊的速度分量及運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)等進(jìn)行進(jìn)一步的討論與論證；另外，文獻(xiàn)[1]對(duì)于特殊情況下滑塊解析形式的軌跡方程和運(yùn)動(dòng)方程的討論也略欠系統(tǒng)，所枚舉的例子尚不夠全面。盡管如此，文獻(xiàn)[1]不愧是一篇佳作，尤其是積分變量的選擇，使得相關(guān)的積分變得異常簡(jiǎn)單，其中蘊(yùn)含的變換技巧意味深長(zhǎng)！筆者在下文中仍將沿襲該積分思路，從個(gè)人認(rèn)識(shí)的角度，繼續(xù)對(duì)滑塊在粗糙斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析和研究，籍以對(duì)文獻(xiàn)[1]形成補(bǔ)充。

1 滑塊在粗糙斜面內(nèi)的平拋運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

如圖1所示，現(xiàn)設(shè)一質(zhì)量為m的滑塊在傾角為α的粗糙斜面上以初速度v0沿斜面做平拋運(yùn)動(dòng)，斜面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ。在重力沿斜面向下的分力G1和滑動(dòng)摩擦力f的共同作用下，滑塊將沿斜面向前下方做曲線滑動(dòng)，如圖2所示。設(shè)滑塊在任意t時(shí)刻的速度為v，v與斜面上水平x軸正方向的夾角為θ，與沿斜面向下的y軸正方向的夾角為φ，顯然有φ=π/2-θ。

圖1 粗糙的斜面上滑塊的平拋運(yùn)動(dòng)圖Figure 1 horizontal throwing motion of slider on rough inclined plane

圖2 斜面上滑塊的受力分析圖Figure 2 Force analysis diagram of sliding block on inclined plane

根據(jù)受力分析知識(shí)知

G1=mgsinα

(1)

f=μmgcosα

(2)

根據(jù)力學(xué)知識(shí)，滑塊在圖2所示的自然坐標(biāo)系et-en中的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

(4)

其中ρ為滑塊軌跡的曲率半徑，有

(5)

將式(1)、式(2)代入式(3)、式(4)，化簡(jiǎn)可得

(6)

(7)

(8)

式(6)除以式(8)即得

(9)

根據(jù)初始條件：vt=0=v0和θt=0=0，對(duì)式(9)兩邊進(jìn)行定積分，可得

(10)

由于圖1中φ=π/2-θ，因此式(10)可以簡(jiǎn)化成

(11)

(12)

則從式(11)可解得

(13)

綜合式(5)、式(7)、式φ=π/2-θ及式(13)可得

(14)

利用式(14)和式(13)，又可推得

(15)

(16)

(17)

可見(jiàn)，在將式(15)—式(17)均積分后，便得滑塊的含參軌跡方程和含參運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[2]。

2 關(guān)于滑塊速率v的討論

(18)

由此可以判斷：

⑵當(dāng)ε=1時(shí)，有

(19)

滑塊的速率v同樣隨φ角的減小而減小。但是當(dāng)φ=0時(shí)有v=v0/2[3,4]，滑塊將沿斜面向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑塊處于受力平衡狀態(tài)。

⑶當(dāng)ε<1時(shí)，滑塊的速率v將隨φ角的減小先減小后增大，最終當(dāng)φ→0時(shí)有v→。經(jīng)計(jì)算，v的極小值vmin出現(xiàn)在

(20)

處，且有

(21)

3 滑塊的含參運(yùn)動(dòng)學(xué)方程及等時(shí)逐點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

(22)

(23)

(24)

將式(22)兩邊積分得

其中積分下限1源自于初始時(shí)刻的φ=π/2即τ=1。進(jìn)一步計(jì)算得

(25)

同理，分別對(duì)式(23)、式(24)兩邊進(jìn)行相應(yīng)的定積分，便得

(26)

(27)

至此，式(25)—式(27)便構(gòu)成滑塊在粗糙斜面上的含參運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，其中參量為φ角；而式(25)、式(26)則構(gòu)成滑塊的含參軌跡方程。

從式(26)可見(jiàn)，當(dāng)ε1即斜面的傾角相對(duì)較大時(shí)，隨著φ→0，y→，滑塊將沿y軸正方向不斷下滑；而當(dāng)ε>1即斜面相對(duì)較平緩時(shí)，隨著滑塊將在y方向停止前進(jìn)。

圖3 大傾角α的斜面上滑塊的等時(shí)逐點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)軌跡(Δt = 0.5)Figure 3 Isochronous point by point trajectory of slider on inclined plane with large inclination angle α (Δt = 0.5)

圖4 中傾角α的斜面上滑塊的等時(shí)逐點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡(Δt = 0.3)Figure 4 Isochronous point by point trajectory of slider on the inclined plane with medium inclination angle α (Δt = 0.3)

圖5 小傾角α的斜面上滑塊的等時(shí)逐點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡(Δt = 0.1)Figure 5 Isochronous point by point trajectory of slider on inclined plane with small inclination angle α (Δt = 0.1)

4 當(dāng)0<ε≤1/2時(shí)滑塊在x方向理論上能夠滑至∞遠(yuǎn)的解釋

由于本文所得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)論均由最初的動(dòng)力學(xué)方程解得，因此對(duì)于上述“遠(yuǎn)”的疑問(wèn)，只需利用所得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)論進(jìn)行分析即可。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度講，滑塊在x方向滑動(dòng)的距離以ε=1/2為分水嶺，分為有限和無(wú)限的原因，在于位移積分，或者說(shuō)在于速度分量vx在時(shí)間t足夠大時(shí)趨于0的漸近行為。從滑塊的速率表達(dá)式(13)可得

(28)

從式(27)又可得在ε<1的情況下，當(dāng)φ→0即t→時(shí)t的近似表達(dá)式：

(29)

(30)

可見(jiàn)在t→時(shí)，vx隨t而趨于0的漸近行為依賴(lài)于ε的具體取值。易見(jiàn)，當(dāng)ε<1/2時(shí)，有上述冪函數(shù)形式的vx隨時(shí)間t的衰減速率終將慢于1/t函數(shù)，由積分知識(shí)知滑塊在x方向上的位移。同理，當(dāng)ε=1/2時(shí)，vx隨時(shí)間t將按1/t函數(shù)衰減，滑塊在x方向上的位移照樣→；而當(dāng)1/2<ε<1時(shí)，vx隨t的衰減速率則將快于1/t函數(shù)，滑塊在x方向上的位移將收斂。

由此可見(jiàn)，雖然滑塊在x方向上的速度分量vx隨時(shí)間t逐漸減小至0，但滑塊在x方向上的位移大小Δx卻依賴(lài)于vx的漸近式(30)，vx→0并不意味著Δx有限！

5 滑塊在y方向的運(yùn)動(dòng)情況

從滑塊的速率表達(dá)式(13)又可得

(31)

分析該表達(dá)式可知，當(dāng)ε<1時(shí)，vy隨φ的減小而不斷增大，直至→；當(dāng)ε=1時(shí)，vy也隨φ的減小而增大，但當(dāng)φ→0時(shí)vy→v0/2；當(dāng)ε>1時(shí)，vy隨φ先增大后減小，直至φ=0時(shí)vy=0(注：等號(hào)源自運(yùn)動(dòng)時(shí)間有限)，其間vy的極大值出現(xiàn)在

(32)

處，且有

(33)

經(jīng)與第2節(jié)中的v進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，vy隨角度φ的變化情況與v有顯著的差別。

下面驗(yàn)證：當(dāng)ε<1時(shí)，滑塊在y方向上的極限運(yùn)動(dòng)(t→)是加速度為g(sinα-μcosα)的勻加速運(yùn)動(dòng)。

由式(31)可得，當(dāng)φ→0即t→時(shí)，有

(34)

vy≈gsinα(1-ε)t=g(sinα-μcosα)t

可見(jiàn)滑塊在y方向上的極限加速度為g(sinα-μcosα)，符合力學(xué)常識(shí)。

有必要指出的是，理論上僅當(dāng)1/2<ε<1時(shí)，滑塊最終的運(yùn)動(dòng)才是嚴(yán)格的沿y軸正方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖4)，而當(dāng)0<ε1/2時(shí)，由于滑塊在x方向上始終存在著一個(gè)緩慢不斷趨于0的速度分量vx，參見(jiàn)圖3及式(30)，因此滑塊在空間最終的運(yùn)動(dòng)只能近似地說(shuō)成是沿y軸正方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)！

6 特殊情況下滑塊解析形式的軌跡方程與運(yùn)動(dòng)方程

將它和ε=3/2一起代入式(26)，即得此時(shí)滑塊解析形式的軌跡方程：

(35)

又見(jiàn)式(26)，當(dāng)2ε+2=2(2ε-2)時(shí)，有ε=3，則由式(26)可解得

將它和ε=3一起代入式(25)，即得此時(shí)滑塊解析形式的軌跡方程：

(36)

(37)

將式(37)和ε=3一起代入式(25)、式(26)，便得此時(shí)滑塊解析形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(38)

(39)

注意：這里x、y、t的單位均取1；而將式(37)和ε=3一起代入式(18)，則得

(40)

7 總結(jié)與說(shuō)明

本文的研究豐富和完善了文獻(xiàn)[1]對(duì)于該問(wèn)題的討論，且分析過(guò)程更加細(xì)致、條理；在給出具體圖像的同時(shí)，也嘗試解釋了一些可能存在的疑惑。這些對(duì)于大中學(xué)物理的教學(xué)應(yīng)具有一定的參考意義。

需要說(shuō)明的是，雖然文獻(xiàn)[7-8]在直角坐標(biāo)系中利用數(shù)學(xué)技巧，同樣也計(jì)算出滑塊的含參運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，但是它們的計(jì)算過(guò)程并不比本文及文獻(xiàn)[1]所采用的自然坐標(biāo)系方法簡(jiǎn)單，物理圖像則更不如本文及文獻(xiàn)[1]清晰。