鄭美茹，黑 棣

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電系，陜西 渭南 714000；2.三門(mén)峽速達(dá)交通節(jié)能科技股份有限公司，河南 三門(mén)峽 472000)

0 引 言

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)是動(dòng)力設(shè)備的核心部件，其運(yùn)行穩(wěn)定性直接決定了動(dòng)力設(shè)備的運(yùn)行穩(wěn)定性和安全性。如果轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)故障，則會(huì)導(dǎo)致整個(gè)設(shè)備無(wú)法正常運(yùn)轉(zhuǎn)，甚至出現(xiàn)重大的事故。

軸承基座松動(dòng)和碰摩耦合故障是轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)最常見(jiàn)的故障之一。因此，針對(duì)此類(lèi)故障開(kāi)展研究，分析其動(dòng)力特性，掌握其產(chǎn)生機(jī)理，有利于對(duì)轉(zhuǎn)子故障進(jìn)行診斷。

許多學(xué)者針對(duì)轉(zhuǎn)子的基座松動(dòng)、轉(zhuǎn)子與機(jī)匣碰摩故障進(jìn)行研究。蔣勉[1]考慮了軸承基座松動(dòng)，并在此基礎(chǔ)上建立了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算建立了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性度與松動(dòng)程度之間的關(guān)系，進(jìn)而形成了一種支承松動(dòng)的評(píng)估方法；王威[2]建立了有界噪聲激勵(lì)作用下的碰摩轉(zhuǎn)子模型，并運(yùn)用替代算法分析了受不確定性激勵(lì)碰摩轉(zhuǎn)子的響應(yīng)；劉杰[3]建立了轉(zhuǎn)軸和輪盤(pán)松動(dòng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并且研究了非穩(wěn)態(tài)油膜力對(duì)該松動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；TIAN G[4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了飛機(jī)機(jī)體側(cè)傾飛行時(shí)具有碰摩故障的轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)頻譜圖、小波比例尺等方法獲得了碰摩轉(zhuǎn)子的一些新特征；BAB S[5]根據(jù)燃?xì)廨啓C(jī)建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，并且研究了光滑非線(xiàn)性能量池對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的影響；通過(guò)遺傳算法分析可知，光滑非線(xiàn)性能量池可以有效地減小振動(dòng)和碰摩現(xiàn)象，同時(shí)可以使轉(zhuǎn)子運(yùn)行更加平滑；劉楊[6]考慮了軸承基座松動(dòng)-碰摩耦合故障，并建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，同時(shí)將故障轉(zhuǎn)子與健康轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了比較驗(yàn)證，從而為具有該故障的轉(zhuǎn)子診斷提供了理論依據(jù)；蔣勉[7]針對(duì)具有支承松動(dòng)-碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子進(jìn)行了分析，通過(guò)計(jì)算建立了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性度與松動(dòng)程度之間的關(guān)系，進(jìn)而形成了一種支承松動(dòng)的評(píng)估方法。

以上研究主要是針對(duì)整體轉(zhuǎn)子的支座松動(dòng)、碰摩故障進(jìn)行的研究，而且取得了非常多的成果。拉桿轉(zhuǎn)子在動(dòng)力設(shè)備中也得到了廣泛的應(yīng)用，因此，一些學(xué)者針對(duì)具有故障的拉桿轉(zhuǎn)子也進(jìn)行了深入研究。胡亮[8，9]利用達(dá)朗貝爾原理建立了拉桿轉(zhuǎn)子模型，分別分析了定點(diǎn)碰摩拉桿轉(zhuǎn)子和帶橫向裂紋拉桿轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為；姚康瑞[10]基于達(dá)朗貝爾原理建立了拉桿轉(zhuǎn)子模型，分析了健康轉(zhuǎn)子和具有碰摩故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為。

筆者建立周向拉桿轉(zhuǎn)子模型，同時(shí)考慮轉(zhuǎn)子一端軸承支座松動(dòng)和輪盤(pán)與定子之間的碰摩故障，基于有限長(zhǎng)滑動(dòng)軸承油膜力近似解析解，運(yùn)用Newmark法分析同時(shí)具有這兩種故障的拉桿轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

筆者考慮了轉(zhuǎn)子的基礎(chǔ)松動(dòng)和碰摩故障，轉(zhuǎn)子模型采用拉桿轉(zhuǎn)子模型，如圖1所示。

圖1 考慮基礎(chǔ)松動(dòng)和碰摩的拉桿轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖A(B)-轉(zhuǎn)子的左右兩端(即滑動(dòng)軸承支撐處)；O1(O2)-兩個(gè)輪盤(pán)的幾何中心；K1(K2)-軸段AO1(BO2)的抗彎剛度(在本文中取K1=K2)；Fx(Fy)-滑動(dòng)軸承油膜力沿x(y)軸負(fù)方向的分量；Kpm-輪盤(pán)O1與定子的碰摩剛度；Ks-基座的松動(dòng)剛度；ms-基座的松動(dòng)質(zhì)量；δ-輪盤(pán)O1與定子間的間隙

圖1中，兩輪盤(pán)O1和O2依靠拉桿螺栓將它們緊緊地壓在一起(本文將拉桿等效為具有非線(xiàn)性剛度的彈簧，其回復(fù)力可寫(xiě)為Fr=KbT+KrT3。

其中：Kb-拉桿彎曲剛度；Kr-拉桿非線(xiàn)性剛度；T-兩輪盤(pán)相對(duì)位移。

假設(shè)軸段AO1的質(zhì)量集中于A端軸承處，等效質(zhì)量為mA；軸段BO2的質(zhì)量集中于B端軸承處，等效質(zhì)量為mB；兩軸段均等效為無(wú)質(zhì)量的彈性軸。兩輪盤(pán)的質(zhì)量分別為mO1和mO2。

1.1 滑動(dòng)軸承油膜力的求解

此處滑動(dòng)軸承采用有限長(zhǎng)滑動(dòng)軸承模型，筆者運(yùn)用分離變量法和變分原理求解了Reynolds方程，并得到了油膜力的近似解析解[11]。

無(wú)量綱油膜壓力分布函數(shù)P(φ,λ)的表達(dá)式為：

P(φ,λ)=P*(φ)ζ(λ)

(1)

式中：λ-滑動(dòng)軸承軸向坐標(biāo)；φ-滑動(dòng)軸承周向坐標(biāo)；P*(φ)-周向壓力分布函數(shù)；ζ(λ)-軸向壓力分布函數(shù)。

ζ(λ)表達(dá)式為：

(2)

式中：L-軸承寬度；d-軸承直徑；W，V-中間變量。

W、V的表達(dá)式如下：

(3)

其中：

(4)

滑動(dòng)軸承的無(wú)量綱油膜力可通過(guò)下式求得：

(5)

(6)

式中：Fr(Ft)-油膜力在徑向(切向)的分量；Fx(Fy)-油膜力在x(y)方向的分量。

1.2 碰摩力模型

輪盤(pán)O1與定子的碰撞模型如圖2所示。

圖2 輪盤(pán)與定子的碰撞模型Fpn-輪盤(pán)O1與定子碰撞的法向力；Fpt-輪盤(pán)O1與定子碰撞的切向力

圖2中，定子與輪盤(pán)間的間隙為δ，摩擦系數(shù)為γ，則碰摩力可寫(xiě)為：

(7)

將碰摩力轉(zhuǎn)化到x和y方向上，可寫(xiě)為：

(8)

1.3 具有碰摩和基座松動(dòng)拉桿轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

針對(duì)圖1所示的拉桿轉(zhuǎn)子無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程，可寫(xiě)為如下形式：

(9)

式中：M-無(wú)量綱質(zhì)量矩陣；K-無(wú)量綱剛度矩陣；F-無(wú)量綱油膜力列向量；Q-無(wú)量綱外激勵(lì)力列向量；W-無(wú)量綱重力列向量；FR-無(wú)量綱非線(xiàn)性回復(fù)力列向量；Fpm-輪盤(pán)O1與定子的碰摩力列向量；q-無(wú)量綱轉(zhuǎn)子位移列向量。

其中，

q=[XA,YA,XO1,YO1,XO2,YO2,XB,YB,Ys]T，

F=[-FxA,-FyA,0,0,0,0,-FxB,-FyB,FyA]T，

W=[0,mA,0,mO1,0,mO2,0,mB,ms]T，

FR=[0,0,Kr(XO2-XO1)3,Kr(YO2-YO1)3,-Kr(XO2-XO1)3,-Kr(YO2-YO1)3,0,0,0]T，

Fpm=[0,0,kpm(1-δ/r0)(-XO1+γYO1),kpm(1-δ/r0)(-YO1-γXO1),0,0,0,0]T,

M=

基座松動(dòng)剛度Ks可寫(xiě)為：

(10)

式中：χ-松動(dòng)間隙。

此處令Ks1=Ks3，Ks2=0。

2 數(shù)值算例及結(jié)果分析

筆者根據(jù)上述基礎(chǔ)松動(dòng)和碰摩的拉桿轉(zhuǎn)子模型，采用Newmark數(shù)值積分法分析轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，計(jì)算時(shí)均采用無(wú)量綱量。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)如下：

首先，筆者將4種情況下(不考慮碰摩和基座松動(dòng)、僅考慮碰摩、僅考慮松動(dòng)和同時(shí)考慮碰摩與基座松動(dòng))轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行了比較，如圖3所示。

圖3 4種情況下轉(zhuǎn)子的分岔圖及時(shí)轉(zhuǎn)子左端軸承處軌跡比較

圖3(a～d)給出了4種情況下轉(zhuǎn)子左端軸承處的分岔圖：

由以上分析可知：(1)拉桿轉(zhuǎn)子無(wú)故障時(shí)，其分岔點(diǎn)最小，同時(shí)具有碰摩和基座松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子的分岔點(diǎn)介于僅有碰摩故障和僅有基座松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子的分岔點(diǎn)之間；(2)存在故障的轉(zhuǎn)子，可以研究的轉(zhuǎn)速范圍更廣，而且轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)行為更豐富復(fù)雜；(3)從分岔圖可以看出，基座松動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的影響更大一些。

接著，筆者分別以轉(zhuǎn)子的無(wú)量綱轉(zhuǎn)速、松動(dòng)剛度以及拉桿剛度為控制參數(shù)，研究了具有碰摩和基座松動(dòng)故障拉桿轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為。

2.1 無(wú)量綱轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

本節(jié)以無(wú)量綱轉(zhuǎn)速為控制參數(shù)分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

轉(zhuǎn)子松動(dòng)端、輪盤(pán)O1、松動(dòng)質(zhì)量塊的分岔圖如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖4中，無(wú)量綱轉(zhuǎn)速范圍為1～1.6；松動(dòng)質(zhì)量塊有著與轉(zhuǎn)子相同的運(yùn)動(dòng)行為。

隨轉(zhuǎn)速變化轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.2 無(wú)量綱松動(dòng)剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

轉(zhuǎn)子松動(dòng)端和輪盤(pán)O1隨松動(dòng)剛度變化的分岔圖如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨松動(dòng)剛度變化的分岔圖

從圖6中可以看出，隨著松動(dòng)端剛度的變化，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)行為變化非常豐富，所以松動(dòng)剛度對(duì)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)有很大影響。

隨著松動(dòng)端松動(dòng)剛度的變化，轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律如圖7所示。

圖7 不同松動(dòng)剛度下的輪盤(pán)O1的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)松動(dòng)剛度較小時(shí)，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ks=1.45時(shí)，圖7(a)給出了輪盤(pán)O1的運(yùn)動(dòng)軌跡和Poincaré映射，圖中顯示輪盤(pán)O1的運(yùn)動(dòng)軌跡限定與一個(gè)特定的區(qū)域，且Poincaré點(diǎn)列為一近似于圓的封閉曲線(xiàn)，故此時(shí)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。隨著松動(dòng)剛度增加，轉(zhuǎn)子將倒分岔為周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Ks=2時(shí)，圖7(b)給出了輪盤(pán)O1的周期運(yùn)動(dòng)軌跡。隨著松動(dòng)剛度的增加，轉(zhuǎn)子出現(xiàn)了短暫的倍周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ks=2.5時(shí)，圖7(c)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處倍周期運(yùn)動(dòng)軌跡。

隨著松動(dòng)剛度的繼續(xù)增加，轉(zhuǎn)子將由倍周期運(yùn)動(dòng)倒分岔為周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Ks=3時(shí)，圖7(d)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處周期運(yùn)動(dòng)軌跡。在周期運(yùn)動(dòng)之后，轉(zhuǎn)子又變?yōu)橹芷谌\(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ks=4.5時(shí)，圖7(e)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處周期三運(yùn)動(dòng)軌跡及Poincaré映射。松動(dòng)剛度繼續(xù)增加，轉(zhuǎn)子由周期三運(yùn)動(dòng)變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ks=6時(shí)，圖7(f)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)軌跡及Poincaré映射。在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)階段還包含了其它多周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Ks=7.3時(shí)，圖7(g)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1的軌跡和Poincaré映射。由圖7(g)可以看出，轉(zhuǎn)子的軌跡是7條封閉的曲線(xiàn)，并且在Poincaré截面上留下7個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，所以此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期七運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Ks=9.2時(shí)，圖7(h)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1的軌跡和Poincaré映射。由圖7(h)看出，轉(zhuǎn)子的軌跡是11條封閉的曲線(xiàn)，且Poincaré點(diǎn)列為11個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，故此時(shí)轉(zhuǎn)子處于周期十一運(yùn)動(dòng)。

2.3 無(wú)量綱拉桿剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

轉(zhuǎn)子松動(dòng)端和輪盤(pán)O1處轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)隨拉桿剛度變化的分岔圖如圖8所示。

圖8 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨拉桿剛度變化的分岔圖

由圖8可知，在拉桿剛度變化時(shí)，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)也呈現(xiàn)出較為復(fù)雜豐富的運(yùn)動(dòng)行為。

隨著拉桿剛度的變化，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律如圖9所示。

圖9 不同拉桿剛度下輪盤(pán)O1的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)拉桿剛度較低時(shí)，轉(zhuǎn)子主要呈現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K=0.8時(shí)的轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處的周期運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9(a)所示；

在周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間中，當(dāng)K=2.2時(shí)，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出短暫的周期三運(yùn)動(dòng)，圖9(b)給出了轉(zhuǎn)子輪盤(pán)O1處的周期三運(yùn)動(dòng)軌跡及Poincaré映射；

隨著拉桿剛度的不斷增加，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)行為表現(xiàn)為周期五運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)拉桿剛度分別為K=5和K=6.8時(shí)，轉(zhuǎn)子松動(dòng)端的周期五和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)軌跡及Poincaré映射如圖9(c，d)所示。

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)在基座松動(dòng)和碰摩故障的情況下拉桿轉(zhuǎn)子非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，筆者建立了拉桿轉(zhuǎn)子模型及其運(yùn)動(dòng)微分方程，對(duì)故障轉(zhuǎn)子隨無(wú)量綱轉(zhuǎn)速、松動(dòng)剛度和拉桿剛度變化時(shí)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)論如下：

(1)基于有限長(zhǎng)軸承油膜力近似解析解，運(yùn)用Newmark法求解了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。首先將4種情況下(無(wú)故障、僅有碰摩故障、僅有基座松動(dòng)故障和兼有兩種故障)的轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)存在碰摩和基座松動(dòng)故障的轉(zhuǎn)子分岔點(diǎn)后移，且其轉(zhuǎn)速范圍更廣；同時(shí)，基座松動(dòng)故障對(duì)轉(zhuǎn)子的影響更大；

(2)分別以轉(zhuǎn)速、松動(dòng)剛度和拉桿剛度為控制參數(shù)，分析了其對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；從結(jié)果可以看出，隨著控制參數(shù)的變化，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)行為非常復(fù)雜豐富，具體的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)有周期、倍周期、周期三、周期四、周期五、周期七、準(zhǔn)周期和混動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

該研究可以為拉桿轉(zhuǎn)子故障檢測(cè)和判別提供一定的理論基礎(chǔ)。