趙宏凱，蔣科堅

(浙江理工大學 信息學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

主動電磁軸承(AMB)也可稱為電磁軸承，是一種新型的轉(zhuǎn)子懸浮支承技術(shù)。與滾動軸承和滑膜軸承相比，電磁軸承不但可以無接觸地支承轉(zhuǎn)子，還可以有效避免傳統(tǒng)機械軸承耗損大、不耐磨、能效低等問題。在某些高性能要求環(huán)境下，例如高轉(zhuǎn)速機械等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，電磁軸承還可以通過控制策略實現(xiàn)對支承特性的有效調(diào)節(jié)，達到對電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主動控制。

電磁軸承的動力學建模是研究電磁軸承的前提之一，其控制方法的優(yōu)良和控制器設(shè)計的好壞是決定電磁軸承系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)精度、動態(tài)性能和穩(wěn)定性能的關(guān)鍵。

目前，學者們在電磁軸承動力學建模和控制算法的研究上，已取得了不少成果。田擁勝等[1]針對一臺4 000 r/min、50 kW的高轉(zhuǎn)速電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了承載力建模，并對其剛度阻尼和系統(tǒng)性能進行了分析，給出了高轉(zhuǎn)速下電磁軸承的運行規(guī)律；SUN Z等[2]提出了一種單元映射的全局分析方法，在獲取電磁軸承全局結(jié)構(gòu)的同時，研究了各參數(shù)對性能的影響。胡永等[3]將電磁軸承的動力學內(nèi)容與傳統(tǒng)機械軸承進行了對比，并在磁力軸承API617標準下進行了動力特征分析，得出了兩者的不同之處；莫逆等[4]通過有限元方法，計算了轉(zhuǎn)子在外擾力作用下的傳遞頻率響應(yīng)、位移響應(yīng)及動態(tài)力響應(yīng)，并與滾珠軸承進行了對比，考察了電磁軸承的振動傳遞特性；LYU M等[5]在電磁軸承系統(tǒng)響應(yīng)識別的基礎(chǔ)上，提出了一種阻尼系數(shù)整定PID控制方法，有效地抑制了轉(zhuǎn)子振動；YUAN Y等[6]選取控制電流和目標平衡位置，在不涉及任何模型信息的基礎(chǔ)上，提出了一種三自由度電磁軸承無模型自適應(yīng)控制方法，簡化了模型分析過程；蔣科堅等[7]提出了一種基于基礎(chǔ)加速度信號為參考信號，包含自適應(yīng)濾波器的電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)激勵響應(yīng)抑制方法，有效抑制了基礎(chǔ)激勵造成的轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)，但基礎(chǔ)激勵僅為平穩(wěn)振動時才有效。

隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能控制方法被廣泛應(yīng)用于高精度、高效率的控制器設(shè)計中，有效提高了系統(tǒng)的控制性能。KUMAR P等[8]針對未知非線性SISO非仿射系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種RBF網(wǎng)絡(luò)估計等效仿射非線性系統(tǒng)的控制方法；羅隆等[9]提出了一種漸近穩(wěn)定的自適應(yīng)神經(jīng)控制方法，在連續(xù)的自適應(yīng)魯棒控制項中，實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近跟蹤，減輕了控制輸入的顫振問題；SUN Y G等[10]在磁懸浮非線性仿射的數(shù)學模型上，設(shè)計了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂破?，并采用最小參數(shù)學習法代替網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，證明了控制方法的有界性和收斂性。

在電磁軸承系統(tǒng)的動力學分析中，雖然有大量的研究成果，但在建模過程中，通常假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在靜止載體的基礎(chǔ)上。然而，在實際應(yīng)用當中，電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)往往安裝在移動載體上，此時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)必然會受到來自外部基礎(chǔ)激勵的干擾，引起電磁軸承轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)。因此，在靜止基礎(chǔ)上得到的動力學模型，難以滿足移動載體上的電磁軸承控制設(shè)計要求。

筆者在考慮移動載體下電磁軸承的動態(tài)變化基礎(chǔ)上，對電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行受力分析，提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制算法，來對由系統(tǒng)引起的振動響應(yīng)進行抑制；在移動載體上電磁軸動力學模型的基礎(chǔ)上，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實時調(diào)節(jié)PID控制參數(shù)，實現(xiàn)在非隨機和隨機基礎(chǔ)激勵下電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定懸浮。

1 基礎(chǔ)激勵下電磁軸承系統(tǒng)動力學建模

筆者對電磁軸承支承特性的研究，沿用了傳統(tǒng)機械軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效剛度和等效阻尼的分析方法。對于電磁軸承控制系統(tǒng)，其支承特性總可以用支承的等效剛度和等效阻尼來表示。在線性范圍內(nèi)，由于單自由度電磁軸承模型能夠較好地反映基礎(chǔ)激勵下系統(tǒng)的主要性能，筆者將電磁軸承的電磁力等效為一個單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。

在忽略轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)的前提下，筆者建立了基礎(chǔ)激勵下的單自由度電磁軸承支承系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 基礎(chǔ)激勵下的電磁軸承支承系統(tǒng)

在基礎(chǔ)激勵下，根據(jù)牛頓定理，筆者建立數(shù)學模型表達式如下：

(1)

(2)

式中：mr—轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ms—定子質(zhì)量；Ks—等效彈簧剛度系數(shù)；Cs—等效彈簧阻尼系數(shù)；Kt—定子剛度系數(shù)；U—外加控制力。

(3)

結(jié)合式(1,2)，可得基礎(chǔ)激勵下電磁軸承系統(tǒng)的空間狀態(tài)變量表達式為：

(4)

由式(4)可得狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為：

(5)

(6)

(7)

計算可得電磁軸承系統(tǒng)的輸出向量表達式為：

(8)

由式(8)可得狀態(tài)方程的輸出矩陣C和直接傳遞矩陣D為：

(9)

(10)

為觀測移動載體上單自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)構(gòu)造的基本特性，需要結(jié)合式(5,6)和式(9，10)進行系統(tǒng)能控性和能觀性的判定。

根據(jù)狀態(tài)能控和能觀的判定定理[11]，當Ks≠Kt≠0，且mrms不為0情況下，可得：

rank(Γc[A,B])=rank([BABA2BA3B])=4

(11)

由式(11)可知，系統(tǒng)能控性矩陣的秩等于4，與系統(tǒng)的階數(shù)相等，即電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是能控的。這意味著當定子上的轉(zhuǎn)子稍稍偏離平衡位置時，總可以通過在定子-轉(zhuǎn)子間施加一個適當?shù)耐饬?，使得將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在平衡位置，即：

(12)

由式(12)可知，系統(tǒng)能觀性矩陣的列向量秩為4，為列滿秩，即電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是能觀的。這意味著，可以通過觀測其轉(zhuǎn)子的位移信號來確定系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的速度、定子的位移量和速度等信息。

由于移動載體上電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有可控性和可觀性，則必定可以設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，來使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

2 基礎(chǔ)激勵模型

在移動載體上運行時，電磁軸承所受到的基礎(chǔ)激勵有多種形式，例如隨機激勵和非隨機激勵、確定激勵和非確定激勵、周期激勵和非周期激勵等。載體以及外部環(huán)境對基礎(chǔ)激勵的大小及變化影響很大。

筆者以車輛作為移動載體，研究分析隨機和非隨機基礎(chǔ)激勵下的電磁軸承支承特性。其中，非隨機激勵選取正弦信號和方波信號；在隨機激勵選取上，由于得到完整全面的路面輪廓數(shù)據(jù)的難度很大。為方便實驗分析，采用高斯白噪聲通過一個積分器來產(chǎn)生隨機路面不平度時間輪廓的方法。

在垂直方向上的移動載體外部激勵輸入模型的表達式為：

(13)

式中：f0—下截止頻率，Hz；G0—路面不平度系數(shù)，m3/cycle；v0—前進速度，m/s；ω—數(shù)字期望為零的高斯白噪聲。

車輛載體在行進過程中，由于存在前后輪軸距，后輪與前輪之間的外部基礎(chǔ)激勵在時間上存在一定的偏差。為方便仿真分析，此處忽略后車輪相對于前車輪的基礎(chǔ)激勵產(chǎn)生的時滯，將其視為同一個外部激勵。

電磁軸承的非隨機和隨機基礎(chǔ)激勵曲線如圖2所示。

圖2 非隨機和隨機基礎(chǔ)激勵曲線

由圖2可知：在非隨機信號選擇上，采用頻率為5 Hz，幅值為1的正弦信號和占空比為50%，頻率為5 Hz的方波信號；在隨機信號選擇上，選取G0=16×10-6，v0=60 km/h，采樣時間為0.05 s，仿真時間為1 s的隨機高斯白噪聲信號。

3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制器

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常分為3層，依次為輸入層、隱含層和輸出層。相較于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]，在映射過程中RFB不會陷入局部最小，有較好的擬合效果。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層采用徑向基高斯函數(shù)作為激活函數(shù)，通過對各個輸入數(shù)據(jù)相乘相加的計算，來實現(xiàn)輸入向量的非線性變換，通過隱含層的多個神經(jīng)元實現(xiàn)對任意函數(shù)的逼近。

隱含層中所用的激活函數(shù)的表達式為：

(14)

式中：cj—第j個隱含層節(jié)點的中心徑向基矢量；bj—第j個隱含層節(jié)點的基寬系數(shù)；hj—第j個隱含層節(jié)點的輸出向量。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出之間的關(guān)系可表示為：

(15)

式中：wij—第i個輸入層節(jié)點與第j個隱含層節(jié)點之間的權(quán)重系數(shù)；uj—第j個輸出層節(jié)點的輸入量；ym—第m個輸出層節(jié)點的輸出量。

具體的迭代計算過程如下：

(16)

結(jié)合式(14，15)可得被控對象的輸出與控制輸入的比值，即Jacobian辨識信息矩陣為：

(17)

3.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器

在電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型基礎(chǔ)上，筆者采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制PID的原理如圖4所示。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制原理

筆者首先設(shè)計PID控制器，以降低轉(zhuǎn)子豎直方向上的加速度為控制目標，將轉(zhuǎn)子加速度的真實值和期望值之間的差值輸入至PID控制器當中；在外部激勵的干擾下，PID控制算法的參數(shù)不可動態(tài)調(diào)節(jié)。

筆者將PID控制方法與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對PID參數(shù)的實時整定，以滿足移動載體下電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

控制偏差為e(k)下的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器的算法為：

Δu(k)=kp(e(k)-e(k-1))+kie(k)+kd(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

(18)

具體計算過程如下：

(19)

其中：x1=e(k)-e(k-1)；x2=e(k)；x3=e(k)-2e(k-1)+e(k-2)。

4 仿真及結(jié)果分析

利用MATLAB，筆者對移動載體上電磁軸承的基礎(chǔ)激勵控制系統(tǒng)進行仿真實驗。

電磁軸承的基本參數(shù)如表1所示。

表1 電磁軸承的基本參數(shù)

根據(jù)移動載體上的電磁軸承支承模型和PID控制器模型，筆者采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)自整定控制方法進行仿真。

其中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為3-6-1，學習速率為0.5，動量因子為0.05，初始PID控制參數(shù)為kp=0.01、ki=0.01、kd=0.01，仿真可得非隨機輸入信號為正弦信號的控制響應(yīng)曲線，如圖5所示。

圖5 正弦信號控制響應(yīng)曲線

從圖5中可見：由于PID控制算法的參數(shù)固定，不能隨著輸入波形進行實時調(diào)參，單單采用PID控制方法，在未調(diào)參的情況下，控制效果非常不理想。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對PID參數(shù)的實時調(diào)整，在正弦信號的第3個周期，輸出信號就可基本跟隨輸入信號，明顯提高了系統(tǒng)的輸出跟蹤能力。

非隨機正弦信號的控制參數(shù)調(diào)節(jié)曲線如圖6所示。

圖6 正弦信號控制參數(shù)調(diào)節(jié)曲線

從圖6中可知：在控制初期，比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)的變化波動較為明顯；在0.5 s后，控制參數(shù)不再變化，達到穩(wěn)定狀態(tài)。

在相同條件下，仿真可得非隨機輸入信號為方波信號的控制響應(yīng)曲線，如圖7所示。

圖7 方波信號控制響應(yīng)曲線

在非隨機方波信號下，筆者采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，同樣實現(xiàn)了控制參數(shù)的實時調(diào)整，在不進行人為參數(shù)調(diào)整的情況下，及時遵循輸入信號的動態(tài)過程，輸出信號在第2個周期就可基本跟隨輸入信號。

控制參數(shù)調(diào)節(jié)曲線如圖8所示。

圖8 控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)曲線

由圖8可見，控制參數(shù)在方波信號下的調(diào)節(jié)呈現(xiàn)階梯狀，控制初期的參數(shù)變化較為平緩，在0.5 s后，比例系數(shù)和微分系數(shù)產(chǎn)生較大變化，并最終可得非隨機方波信號的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)分別為4.5、24和2。

根據(jù)電磁軸承在移動載體上的支承模型與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制模型，筆者將控制力U和隨機基礎(chǔ)激勵信號xg作為輸入變量，以降低最能反應(yīng)轉(zhuǎn)子懸浮性能的轉(zhuǎn)子加速度為控制目標，通過MATLAB建模仿真，得到了移動載體下電磁軸承的轉(zhuǎn)子加速度、轉(zhuǎn)子動位移和定子動位移的振動響應(yīng)，如圖9所示。

從圖9可以發(fā)現(xiàn)：采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法比采用單一PID控制方法有著更小的動態(tài)范圍，控制性能也有較大地提高；

在電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子加速度、轉(zhuǎn)子和定子動位移指標上，對于隨機基礎(chǔ)激勵的振動抑制效果明顯。

電磁軸承轉(zhuǎn)子控制性能的均方根值如表2所示。

圖9 隨機激勵下的振動響應(yīng)曲線

表2 電磁軸承轉(zhuǎn)子控制性能的均方根值

由表2可得：在隨機基礎(chǔ)激勵下，相比于PID控制方法，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法在轉(zhuǎn)子加速度、轉(zhuǎn)子動位移和定子動位移的優(yōu)化比分別為16.88%、34.55%、18.04%，有效改善了電磁軸承系統(tǒng)的動態(tài)變化，提高轉(zhuǎn)子的懸浮穩(wěn)定性。

筆者對移動載體上電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行功率譜分析，可得到隨機激勵下的轉(zhuǎn)子加速度、轉(zhuǎn)子動位移和定子動位移的功率譜幅值曲線，如圖10所示。

圖10 隨機激勵下的功率譜

圖10中，對比兩種控制方法下的功率譜曲線可以看出：

(1)在移動載體上，相比于采用PID控制方法，電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法得到的幅值更低，說明該方法可以有效減小電磁軸承隨機基礎(chǔ)激勵的振動；

(2)進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，隨機基礎(chǔ)激勵對電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動集中在低頻部分，隨著頻率的增大，振動幅值逐漸降低，可見在基礎(chǔ)激勵下的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制研究上，應(yīng)當關(guān)注低頻部分對其產(chǎn)生的影響。

5 結(jié)束語

筆者通過建立移動載體上的單自由度電磁軸承支承模型，研究了在非隨機基礎(chǔ)激勵和隨機基礎(chǔ)激勵下，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法的情況下，電磁軸承系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子加速度、轉(zhuǎn)子動位移和定子動位移的變化趨勢，通過仿真分析，可得到如下結(jié)論：

(1)移動載體上的單自由度電磁軸承系統(tǒng)的空間狀態(tài)模型具有可控性和可觀性；

(2)在周期正弦信號和方波信號下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法可以有效提高系統(tǒng)的控制性能，可自適應(yīng)調(diào)節(jié)PID參數(shù)，使系統(tǒng)輸出緊緊跟隨期望輸入；

(3)在隨機高斯白噪聲信號下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法對轉(zhuǎn)子的加速度、轉(zhuǎn)子動位移和定子動位移改善明顯，性能分別提升了16.88%、34.55%和18.04%，使電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在隨機基礎(chǔ)激勵下實現(xiàn)穩(wěn)定懸?。?/p>

(4)移動載體上的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅最大值出現(xiàn)在頻率較小處，低頻基礎(chǔ)激勵對電磁軸承系統(tǒng)的振動影響較大。