吳妙妮，蔣科堅(jiān)

(浙江理工大學(xué) 信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在目前的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究過(guò)程中，大多數(shù)的研究條件是將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體的質(zhì)心位置處[1]。但是在實(shí)際應(yīng)用中，因不同的需求，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能沒(méi)有安裝在載體的質(zhì)心位置處。

當(dāng)載體運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的任意安裝位置和軸向方向?qū)ζ鋭?dòng)力學(xué)特性存在的影響，是一個(gè)需要解決的問(wèn)題。即當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置和軸向方向發(fā)生變化時(shí)，研究其動(dòng)力學(xué)特性的變化是有必要的。林富生等[2，3]將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在移動(dòng)載體的質(zhì)心位置處，研究了載體勻速或勻變速運(yùn)動(dòng)對(duì)其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，及載體的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特性的影響[4]，機(jī)動(dòng)開始和結(jié)束條件下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性[5]和載體的大幅度運(yùn)動(dòng)與定子運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系[6]。LU Z Y等[7]使用有限元方法建立轉(zhuǎn)子模型，研究了有限元降階方法。

而在目前的動(dòng)力學(xué)研究中，學(xué)者將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝載體的質(zhì)心位置處、軸向方向與載體前進(jìn)方向平行，研究了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)特性[8]、耦合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性[9]、基礎(chǔ)激勵(lì)下的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制[10]、多頻振動(dòng)控制[11]、主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題[12]等。在上述研究中的模型大多是基于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置為載體的質(zhì)心、軸向方向與載體的前進(jìn)方向平行，考慮載體運(yùn)動(dòng)對(duì)其轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響。當(dāng)載體運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體不同位置條件下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究較少，需進(jìn)一步研究。

為了研究載體運(yùn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位置對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，筆者首先建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體任意位置條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程；然后以一個(gè)單盤、多質(zhì)量和單軸承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，在載體運(yùn)動(dòng)條件下，采用MATLAB/Simulink建模，研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝位置和軸向方向的不同對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響；最后，在一個(gè)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證模型的正確性。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

為了方便分析，筆者建立4個(gè)三維直角坐標(biāo)系，分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體任意安裝位置和軸向方向條件下的總動(dòng)能；基于Lagrange方程，建立單盤、多質(zhì)量和單軸承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一般運(yùn)動(dòng)微分方程。

1.1 坐標(biāo)系建立

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體上的安裝位置有多種形式。一般為了減小轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝位置和軸向方向?qū)?dòng)力學(xué)特性的影響，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體的質(zhì)心位置處。

帶有單個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的載體常用坐標(biāo)名稱和方向如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的位置和坐標(biāo)系

單個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體的質(zhì)心位置處，載體繞縱軸oz、橫軸ox和立軸oy的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為橫滾、俯仰和偏航。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的位置會(huì)根據(jù)不同的需求而安裝在不同的位置上。假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置是任意的，軸向方向也是任意的。

為了方便描述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的位置，筆者采用了地面固定直角坐標(biāo)系OXYZ、載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz、輔助直角坐標(biāo)系o′σηζ和轉(zhuǎn)子直角坐標(biāo)系o′x′y′z′。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與坐標(biāo)系OXYZ，oxyz，o′σηζ與o′x′y′z′之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子與坐標(biāo)系統(tǒng)示意圖

筆者用位于地面上的固定直角坐標(biāo)系OXYZ來(lái)描述載體的空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，主要是對(duì)載體的速度和加速度進(jìn)行描述。

載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz是以載體的質(zhì)心o為坐標(biāo)系原點(diǎn)，固定在載體表面上的直角坐標(biāo)系，用來(lái)描述載體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。其軸與地面固定坐標(biāo)系OXYZ各軸平行，方向一致。

輔助直角坐標(biāo)系o′σηζ是為了方便描述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上角度變化的直角坐標(biāo)系。輔助直角坐標(biāo)系o′σηζ的各軸與載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz對(duì)應(yīng)軸之間存在安裝位置參數(shù)a，b，h。

轉(zhuǎn)子直角坐標(biāo)系o′x′y′z′的各軸分別與輔助直角坐標(biāo)系o′σηζ的對(duì)應(yīng)軸存在軸向方向參數(shù)α1、α2、α3。

載體作為一個(gè)剛體，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由地面固定坐標(biāo)系OXYZ上的平動(dòng)分量[XB,YB,ZB]和載體相對(duì)坐標(biāo)系oxyz上的轉(zhuǎn)動(dòng)分量[θB,x,θB,y,θB,z]來(lái)描述。

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量與廣義力

基于文獻(xiàn)[13]的研究，筆者在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的任意安裝位置基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝位置和軸向方向都是任意的情況。

圓盤的動(dòng)能Ti為：

(1)

在大多數(shù)研究中，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體的質(zhì)心位置處，此時(shí)相對(duì)位移矢量為:

(2)

本文的研究是將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在移動(dòng)載體的任意安裝位置和軸向方向上。因此，圓盤中心在載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz的相對(duì)位移矢量r發(fā)生了變化，此時(shí)有：

(3)

式中：xp，yp—圓盤形心與質(zhì)心在x，y軸上的關(guān)系，

則圓盤動(dòng)能的平動(dòng)部分Tt,i可表示為:

(4)

假設(shè)sin(θy,i+θB,y)≈θy,i+θB,y，cos(θy,i+θB,y)≈1，sin2β≈sin2α2和cos2β≈cos2α2，忽略其他高階小量的影響，圓盤的角速度可以用載體的角位移[θB,x,θB,y]、轉(zhuǎn)子直角坐標(biāo)系o′x′y′z′與輔助直角坐標(biāo)系o′σηζ的夾角[α1,α2,α3]和柔性軸相對(duì)于載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz的轉(zhuǎn)動(dòng)角來(lái)表示，則有:

φ=θx+α1+θB,x；β=θy+α2+θB,y；γ=Ωt+α3

(5)

式中：φ,β,γ—盤在oxyz坐標(biāo)系中x，y，z軸的角速度ωj。

則盤動(dòng)能的轉(zhuǎn)動(dòng)部分Tr,i為:

(6)

式中：Id,i，Ip,i—圓盤的直徑，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

因此，盤的總動(dòng)能為:

(7)

由于轉(zhuǎn)子直角坐標(biāo)系o′x′y′z′以轉(zhuǎn)子的靜變形為原點(diǎn)，軸的初始彈性恢復(fù)力與轉(zhuǎn)子的重力之間形成了平衡關(guān)系，則在圓盤處的柔性軸彈性勢(shì)能為:

(8)

Ki的表達(dá)式為：

(9)

式中：klm—圓盤處于軸上的ux,i，uy,i，θx,i及θy,i方向的剛度系數(shù)，其中l(wèi)，m分別為1，2，3，4。

如果圓盤上的阻尼是速度的線性函數(shù)，則圓盤上的耗散能為:

(10)

Ci的表達(dá)式為：

(11)

式中：ct,i，cr,i—盤的平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)。

假設(shè)FG,i為圓盤上的廣義力,，則系統(tǒng)的廣義力Q為

(12)

式中：fG,l(l為1，2，3，4)—在ux,i，uy,i，θx,i及θy,i方向上的非線性廣義力。

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

對(duì)于非保守的系統(tǒng)，Lagrange方程[14]為:

(13)

式中：L—系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，L=T-V；T，V—系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；qj—盤的廣義坐標(biāo)；D—系統(tǒng)的耗散能；Qj—系統(tǒng)在qj自由度方向上所受的廣義力。

將T，V，D和Q代入式(13)后，可得到圓盤在載體任意安裝位置和軸向方向條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(14)

對(duì)于軸承上的集中質(zhì)量，設(shè)質(zhì)量中心相對(duì)于轉(zhuǎn)子直角坐標(biāo)系o′x′y′z′的廣義坐標(biāo)qi=[ux,i,uy,i]T(i=2,3)，對(duì)式(14)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上任意安裝位置和軸向方向時(shí)，軸上某集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(15)

容易得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體任意安裝裝位置和軸向方向條件下，單盤、多質(zhì)量和單軸承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分程為：

(16)

式中：M，G，C，K—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量，陀螺，阻尼，剛度矩陣；Fu(t)，F(xiàn)G(t)—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡力矢量，廣義力矢量；Mn，Cn，Gn—圓盤或第n個(gè)集中質(zhì)量(n=1，2，3)的質(zhì)量，阻尼，陀螺矩陣；Fu,n(t)，F(xiàn)G,n(t)—圓盤或第n個(gè)集中質(zhì)量上的不平衡力矢量，廣義力矢量；CB，KB，F(xiàn)B(t)—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體任意安裝位置和軸向方向條件下的附加阻尼效應(yīng)矩陣，附加剛度效應(yīng)矩陣，附加外激勵(lì)力矢量；CB,n，KB,n，F(xiàn)B,n—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置和軸向方向任意時(shí)，圓盤或第n個(gè)集中質(zhì)量上產(chǎn)生的附加阻尼效應(yīng)矩陣，附加剛度效應(yīng)矩陣，附加外激勵(lì)力矢量。

其中：U=[q1…qn]T；

2 空間位置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響

將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體任意位置條件下的運(yùn)動(dòng)方程與文獻(xiàn)[15]中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在載體質(zhì)心條件下的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行對(duì)比，可以得到：

當(dāng)載體在做勻速平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，安裝位置參數(shù)a，b，h只影響附加外激勵(lì)力，但此時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無(wú)附加外激勵(lì)力產(chǎn)生，所以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置參數(shù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性沒(méi)有影響。雖然軸向方向參數(shù)α1,α2,α3對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在多方面的影響，但載體在做勻速平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸向方向參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特性沒(méi)有影響。

當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置參數(shù)a，b，h影響附加外激勵(lì)力的大小。因此，當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置不同會(huì)影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。

當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的軸向方向參數(shù)α1、α2、α3對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響較大。垂直于載體前進(jìn)方向的平面xoy夾角α1和α2不僅對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的慣性力、不平衡力產(chǎn)生影響，還對(duì)其附加剛度效應(yīng)項(xiàng)、附加阻尼效應(yīng)項(xiàng)、附加外激勵(lì)力產(chǎn)生影響。而與載體前進(jìn)方向縱軸的夾角α3，只對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的附加外激勵(lì)力產(chǎn)生影響。

所以，當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向?qū)\(yùn)動(dòng)特性存在影響。當(dāng)軸向方向參數(shù)α1=α2=α3=0°時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向?qū)ζ鋭?dòng)力學(xué)特性的影響最小。

3 仿真及結(jié)果分析

為了研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置和軸向方向不同對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，需要進(jìn)行仿真分析。

筆者所研究的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3 柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被簡(jiǎn)化為帶有1個(gè)剛性圓盤、2個(gè)集中質(zhì)量和1個(gè)無(wú)質(zhì)量彈性軸，具有8個(gè)自由度。轉(zhuǎn)子的基本參數(shù)分別為：無(wú)質(zhì)量柔性軸的半徑為0.03 m；lA=0.412 m；lB=0.373 m；l=lA+lB；圓盤的偏心距為0.1 mm；轉(zhuǎn)子圓盤質(zhì)量為50.3 kg；彈性軸承的集中質(zhì)量為2 kg，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定工作轉(zhuǎn)速為5 000 r/min，載體的運(yùn)動(dòng)速度為200 m/s。在工作轉(zhuǎn)速條件下，電磁軸承電流剛度系數(shù)為1 205i0N/A，電磁軸承位移剛度系數(shù)為3.7×106i02N/m。o點(diǎn)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幾何中心。

利用本文的推導(dǎo)，可以寫出該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的不同安裝位置和軸向方向條件下的一般運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(17)

剛性圓盤的廣義位移q1=[ux,1,uy,1,θx,1,θy,1]T，到軸承兩端的位移為：

(18)

由于本文主要研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體上的位置參數(shù)對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置描述如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝位置

安裝位置發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體縱軸oz平行：(1)當(dāng)安裝位置在載體相對(duì)直角坐標(biāo)系oxyz原點(diǎn)上時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝移動(dòng)載體的質(zhì)心位置處；(2)當(dāng)安裝位置在坐標(biāo)系oxyz的x軸上時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝移動(dòng)載體的橫軸上；(3)當(dāng)安裝位置在坐標(biāo)系oxyz的z軸上時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝移動(dòng)載體的縱軸上；(4)當(dāng)安裝位置在坐標(biāo)系oxyz的y軸上時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝移動(dòng)載體的立軸上。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向描述如表2所示。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向方向

軸向方向發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置在載體的質(zhì)心位置處：(1)當(dāng)軸向方向與坐標(biāo)系oxyz的z軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向垂直的縱軸平行；(2)當(dāng)軸向方向與坐標(biāo)系oxyz的x軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向垂直的橫軸平行；(3)當(dāng)軸向方向與坐標(biāo)系oxyz的y軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向垂直的立軸平行。

3.1 勻速平動(dòng)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)載體在做勻速平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

圖4 勻速平動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡是以(x,y)=(0,0)為中心的圓。因?yàn)檩S承A端與B端的運(yùn)動(dòng)軌跡是相對(duì)的，軌跡圖以A端為例。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置變化、軸向方向不變時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，因?yàn)檗D(zhuǎn)子系統(tǒng)中沒(méi)有產(chǎn)生受安裝位置參數(shù)影響的附加外激勵(lì)力。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置不變、軸向方向變化時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡沒(méi)發(fā)生變化。

因此可得到結(jié)論：即當(dāng)載體在做勻變速平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的安裝位置和軸向方向可以任意。

3.2 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。

圖5 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖5可知：勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)生變化：(1)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在x軸時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡中心向在x軸負(fù)方向發(fā)生偏移；(2)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在y軸時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡中心向y軸正方向偏移；(3)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在z軸時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡是以(x,y)=(0,0)為中心的圓；

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向變化情況為：(1)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與y軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡不是穩(wěn)定狀態(tài)；(2)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與x軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條過(guò)(x,y)=(0,0)直線；(3)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與z軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以(x,y)=(0,0)為中心的圓。

當(dāng)軸向方向參數(shù)全為0°，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向平行時(shí)，安裝參數(shù)變化情況如下：

(1)當(dāng)安裝位置參數(shù)a發(fā)生變化，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在與載體前進(jìn)方向垂直的橫軸任意位置時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡大小沒(méi)發(fā)生變化。但是由于在x軸方向產(chǎn)生了一個(gè)恒定的附加外激勵(lì)力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子軌跡中心在x軸方向發(fā)生了偏移；

(2)當(dāng)安裝位置參數(shù)b發(fā)生變化，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體前進(jìn)方向縱軸上的任意位置時(shí)，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡大小沒(méi)發(fā)生變化。因?yàn)闆](méi)有產(chǎn)生附加外激勵(lì)力，轉(zhuǎn)子軌跡的中心也沒(méi)發(fā)生偏移；

(3)當(dāng)安裝位置參數(shù)h發(fā)生變化，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在與載體前進(jìn)方向垂直的立軸任意位置時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡大小沒(méi)發(fā)生變化。但是由于在y軸方向產(chǎn)生了一個(gè)恒定的附加外激勵(lì)力，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡中心在y軸方向發(fā)生偏移。

因此，當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向相同、安裝位置參數(shù)a、h的變化對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響較大，安裝位置參數(shù)b的不同對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響較小。

所以可以得到另一結(jié)論：即當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的位置沒(méi)有明確要求時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置在載體前進(jìn)方向縱軸上可以任意，但在與載體前進(jìn)方向垂直的軸上不能任意。

當(dāng)安裝位置參數(shù)全為0 m，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置在質(zhì)心處時(shí)，軸向方向的變化情況如下：

(1)當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向垂直的橫軸平行時(shí)，因?yàn)檩S向方向參數(shù)α1、α3的存在，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的慣性力、附加阻尼效應(yīng)項(xiàng)、附加剛度效應(yīng)項(xiàng)和附加外激勵(lì)力發(fā)生了變化，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡中心在x軸方向發(fā)生偏移，大小發(fā)生變化；

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向與載體前進(jìn)方向垂直的立軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行，產(chǎn)生碰撞。這是因?yàn)檩S向方向參數(shù)α2、α3的存在，不僅影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的慣性力、附加剛度效應(yīng)項(xiàng)和附加外激勵(lì)力，而且影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)項(xiàng)。

因此，當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能忽略轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向不同對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性的影響。

所以可以得到結(jié)論：即當(dāng)載體在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在載體上的位置沒(méi)有特殊要求時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向參數(shù)不能為任意值，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向不能任意；并且轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸向方向應(yīng)盡可能不與載體前進(jìn)方向垂直的立軸平行。

3.3 振動(dòng)仿真

當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置在載體的質(zhì)心位置處、軸向方向與載體的前進(jìn)方向縱軸平行時(shí)，轉(zhuǎn)子在靜止?fàn)顟B(tài)下，筆者基于Lagrange方程模型進(jìn)行了載體靜止或載體在Y方向以一個(gè)正弦信號(hào)作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)仿真軌跡圖如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)仿真軌跡圖

載體靜止時(shí)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡圖在載體的Y方向以一個(gè)正弦信號(hào)作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)子軌跡圖之下。當(dāng)載體在Y方向以一正弦信號(hào)作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸方向產(chǎn)生一個(gè)附加的外激勵(lì)力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的軌跡中心在y軸方向發(fā)生偏移。所以當(dāng)載體在做振動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與定子之間產(chǎn)生局部碰撞。

4 實(shí)驗(yàn)研究

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為了驗(yàn)證仿真模型，筆者在電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)半實(shí)物仿真平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)振動(dòng)平臺(tái)如圖7所示。

圖7 電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)平臺(tái)

電磁軸承安裝在一塊由6個(gè)彈簧腳墊支撐的鋼板上，鋼板的一邊安裝了振動(dòng)電機(jī)。此時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在載體的質(zhì)心位置處，軸向方向與載體前進(jìn)方向縱軸平行。轉(zhuǎn)子懸浮控制器由4個(gè)自由度的PID控制，系統(tǒng)的采樣頻率為10 kHz。轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m=9.92 kg，軸承氣隙為0.5 mm。振動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)頻率設(shè)置為50 Hz。

4.2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

載體靜止即振動(dòng)電機(jī)沒(méi)有運(yùn)動(dòng)時(shí)，筆者檢測(cè)到電磁軸承轉(zhuǎn)子靜止?fàn)顟B(tài)下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖8所示。

圖8 靜止時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軌跡圖

當(dāng)載體靜止時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖相對(duì)收斂。

振動(dòng)電機(jī)運(yùn)動(dòng)即載體在Y軸以一正弦信號(hào)振動(dòng)時(shí)，筆者檢測(cè)到電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)下的轉(zhuǎn)子相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖9所示。

圖9 正弦振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軌跡圖

圖9中，當(dāng)載體正弦振動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軌跡圖相對(duì)發(fā)散；并且將載體振動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡中心與載體靜止條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡中心進(jìn)行對(duì)比可知，其軌跡中心在y軸方向發(fā)生了偏移；對(duì)比分析相同條件下的仿真模型結(jié)果可知，運(yùn)動(dòng)軌跡中心偏移趨勢(shì)相同。但是由于振動(dòng)電機(jī)和外界環(huán)境的干擾，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡大小會(huì)與仿真模型的結(jié)果不一致。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了研究當(dāng)載體運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位置對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，筆者建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體上的任意安裝位置和軸向方向模型，研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝位置和軸向方向不同對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響；然后，在一個(gè)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，并將結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的正確性。

研究結(jié)果表明：當(dāng)載體在空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)且對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位置沒(méi)有明確要求時(shí)，為了減小轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置和軸向方向不同對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝位置可以在載體縱軸線上的任意位置處，即安裝位置參數(shù)a=h=0 m，軸向方向與載體前進(jìn)方向縱軸平行，即軸向方向參數(shù)α1=α2=α3=0°。該結(jié)果為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體上的位置安裝提供了理論依據(jù)。

因?qū)嶒?yàn)條件有限，在下一研究階段，筆者將通過(guò)進(jìn)一步搭建半實(shí)物仿真系統(tǒng)平臺(tái)，驗(yàn)證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在移動(dòng)載體上的位置對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響。