閆 軒，許 濤,2，曾柄杰

(1.西安工程大學機電工程學院，陜西 西安 710600；2.西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點實驗室，陜西 西安 710600)

0 引言

高性能電主軸是目前高端數(shù)控機床核心動力部件?！爸袊圃?025”將提升工業(yè)核心功能部件質(zhì)量、壽命和可靠性作為國家戰(zhàn)略任務(wù)之一。滾動軸承作為支撐部件是電主軸功能部件的重要組成部分，具有質(zhì)量可靠、機構(gòu)簡單和便于維護等優(yōu)點[1-4]。滾動軸承動態(tài)力學性能嚴重影響電主軸運行狀況，進而影響數(shù)控機床在復(fù)雜工況下的加工精度。軸承預(yù)緊技術(shù)對電主軸高精度和高速度運行具有決定性作用，是高速電主軸核心技術(shù)之一[5-6]。軸承預(yù)緊力過大會導(dǎo)致軸承溫升和磨損加快，降低軸承壽命，而軸承預(yù)緊力過小又會導(dǎo)致電主軸剛度降低，無法穩(wěn)定運轉(zhuǎn)。適當?shù)妮S承預(yù)緊力可使主軸準確定位，提高電主軸壽命、剛度和運轉(zhuǎn)精度。因此，合理的軸承預(yù)緊力對于電主軸綜合性能的提升具有重要意義[7]。

軸承預(yù)緊力一直是國內(nèi)外學者的研究熱點，日本研究者Hirano在1965年做了大量實驗，研究了多種工作條件下球軸承的打滑情況，最終從實驗結(jié)果中推導(dǎo)出球軸承打滑閾值[8]，確定不同工況下軸承所需最佳預(yù)緊力。打滑條件也為確定軸承預(yù)緊力標準提供一種可行思路[9]。旋滾比是反映球軸承高速狀態(tài)的重要參數(shù)，是滾動體在套圈軌道接觸處自轉(zhuǎn)角速度和滾動角速度比值。在不出現(xiàn)打滑情況下，旋滾比越大，滾動體磨損和發(fā)熱越嚴重。球軸承在高速狀態(tài)下旋滾比要盡可能低[10]。因此用旋滾比優(yōu)化軸承預(yù)緊力方案可行性較高。

目前，對于軸承預(yù)緊力確定很難給出能適用多種工況的理論解。Hirano[8]給出的軸承打滑閾值為軸承預(yù)緊力確定提供了可行路徑。本文建立了優(yōu)化軸承預(yù)緊力模型，以Hirano[8]的閾值為優(yōu)化標準，采用軸承旋滾比優(yōu)化高速狀態(tài)下軸承預(yù)緊力。

1 角接觸球軸承動態(tài)力學模型

角接觸球軸承滾動體在高速狀態(tài)下，受離心力影響使得軸承動力學特性發(fā)生變化，進而影響電主軸系統(tǒng)動力學。Jones[11]以軌道控制理論為基礎(chǔ)建立球軸承擬靜力學分析模型。本節(jié)基于Jones[11]的軌道控制理論，建立以旋滾比優(yōu)化軸承預(yù)緊力的軸承動力學模型。模型建立過程如圖1所示。

圖1 建立模型流程

1.1 高速狀態(tài)下滾動體載荷分析

角接觸球軸承在高速運轉(zhuǎn)時，滾動體受到離心力和陀螺力矩影響導(dǎo)致軸承內(nèi)部受力發(fā)生改變。本節(jié)建立一種考慮離心力和陀螺力矩的軸承動態(tài)力學模型，來描述高速狀態(tài)下軸承內(nèi)部載荷變化規(guī)律。分析軸承在運轉(zhuǎn)過程中，滾動體由于離心力和陀螺力矩作用,而導(dǎo)致的滾動體與軌道接觸處力學分布、相對變形和內(nèi)外軌道接觸角的完整變化規(guī)律。角接觸球軸承單個滾動體受力情況如圖2所示。

圖2中，F(xiàn)a為軸承預(yù)緊力；Fr為軸承徑向載荷；Fc為離心力；αi和αo分別為內(nèi)外軌道實際接觸角；Qi和Qo分別為外滾動體與內(nèi)外軌道的相互作用力；Ti和To分別為滾動體與內(nèi)外軌道切向摩擦力；Mg為陀螺力矩。Fc、Qi和Qo可由如下公式計算[9]：

Fc=π3dmρD3n3/10 800

(1)

(2)

(3)

dm為軸承節(jié)圓直徑；ρ為滾動體密度；D為滾動體直徑；n為軸承轉(zhuǎn)速；Ki和Ko分別為內(nèi)外軌道載荷-位移常數(shù)；δi和δo分別為滾動體與內(nèi)外軌道接觸區(qū)變形量。

為保證軸承高速運轉(zhuǎn)中滾動體能夠平穩(wěn)運行，圖2a中預(yù)緊力Fa、滾動體與外軌道相互作用力Qo和軸承徑向載荷Fr三力需滿足三角形準則，因此，滾動體受力需滿足如下條件[12]：

Fa=Qosinαo

(4)

Fr=Qocosαo

(5)

由式(1)～式(5)可知，角接觸球軸承預(yù)緊力與內(nèi)外軌道接觸角和離心力密切相關(guān)。其中，離心力變化主要由于速度改變，接觸角變化也是由于軸承轉(zhuǎn)速增加。因此，在高速狀態(tài)下載荷分析中，轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力不可忽視。為保證軸承系統(tǒng)能夠正常運行，預(yù)緊力需與轉(zhuǎn)速共融匹配。

1.2 摩擦磨損機理

當軸承處于無載荷狀態(tài)下，內(nèi)外軌道曲率中心距離為BD，且BD=ri+ro-D(ri為內(nèi)軌道曲率半徑，ro為外軌道曲率半徑)。在軸向載荷作用下，內(nèi)、外軌道曲率中心之間將出現(xiàn)接觸變形δi和δo，且隨著軸向載荷的增加而增大，如圖3a所示。圖3b為軸承每個滾動體相對角位置，即滾動體方位角。

圖3 靜載荷作用下不同位置滾動體-軌道接觸

角接觸球軸承在回轉(zhuǎn)過程中，會出現(xiàn)離心力作用在滾動體上導(dǎo)致滾動體與內(nèi)外軌道接觸角不同現(xiàn)象，導(dǎo)致內(nèi)外軌道曲率中心之間連線不再與BD共線，而成為一條折線，如圖4所示[13]。根據(jù)Jones的外軌道控制理論，假設(shè)外軌道曲率中心在離心力與載荷聯(lián)合作用時保持不變，內(nèi)軌道曲率中心位置發(fā)生改變，導(dǎo)致滾動體中心位置也發(fā)生改變[11]。在滾動體任意方位角j處，滾動體中心最終位置與外軌道曲率中心距離為

Δoj=(fo-0.5)D+δoj

(6)

圖4 載荷作用后滾動體中心和軌道曲率中心示意

同理，滾動體中心與內(nèi)軌道曲率中心最終位置距離為

Δij=(fi-0.5)D+δij

(7)

其中，fi和fo計算方法為

(8)

當角接觸球軸承只受軸向預(yù)緊力作用時，軸承內(nèi)、外軌道之間會產(chǎn)生軸向位移δa，如圖4所示。在滾動體任意方位角處，內(nèi)、外軌道曲率中心軌跡軸向和徑向距離分別為

(9)

為了便于分析，在圖4中引入新的變量X1和X2，在滾動體任意方位角處，有

(10)

根據(jù)勾股定理可得

(11)

據(jù)圖2c所示滾動體受力情況，可得平衡方程為

(12)

其中，切向摩擦力T計算方法如下：

T=Mgj/D

(13)

(14)

(15)

(16)

為方便求解方程組(12)，需建立軸承軸向平衡條件：

(17)

Z為角接觸球軸承滾動體個數(shù)。在使用Newton-Raphson[14]法計算出每個軸承滾動體X1j、X2j、δij和δoj，并確定離心力Fc和陀螺力矩Mgj后，聯(lián)立式(10)～式(17)組成方程組。使用數(shù)值迭代法求得αi和αo的解。

1.3 角接觸球軸承滾動體打滑準則

在高速狀態(tài)下，軸承滾動體由于離心力作用導(dǎo)致滾動體與內(nèi)軌道赫茲接觸面積隨轉(zhuǎn)速增加而減小[8，12-13]。此時，滾動體打滑效應(yīng)因接觸面積減小而增加。當轉(zhuǎn)速到一定數(shù)值后，滾動體會與內(nèi)軌道完全隔離，出現(xiàn)打滑現(xiàn)象。滾動體打滑會引起摩擦增加，不利于整個回轉(zhuǎn)系統(tǒng)工作[9]。因此，電主軸預(yù)緊力將直接影響軸承內(nèi)部摩擦狀態(tài)。Hirano[8]針對軸承滾動體打滑效應(yīng)在不同工況下進行多次試驗研究，最終推導(dǎo)出軸承打滑閾值：

(18)

在確定軸承參數(shù)和轉(zhuǎn)速后，根據(jù)圖5所示算法并將該閾值作為約束條件，即可計算出合適的預(yù)緊力。

圖5 數(shù)值迭代法流程

2 滾動體軌道和自旋速度分析

(19)

圖6 滾動體角速度矢量分解示意

(20)

(21)

假設(shè)滾動體與軌道接觸處沒有滑動，則有：

(22)

(23)

將同樣的方法應(yīng)用于外軌道，可得到滾動體自旋速度ωb大小的另一個表達式為

(24)

γ′=D/dm,γi=D·cosαi/dm，γo=D·cosαo/dm。β為軸承滾動體姿態(tài)角，計算方法為

(25)

聯(lián)立式(23)和式(24)，可得到滾動體軌道速度ωc和自旋速度ωb，即

(26)

假設(shè)滾動體相對于內(nèi)軌道角速度ωbi與CiO1共線，且O1為相對速度瞬心點。ωbi應(yīng)為接Ci觸點處內(nèi)軌道相對于保持架角速度與滾動體角速度的差，即

ωbi=ωb-(ωi-ωc)

(27)

同理，在接觸點Co處，滾動體相對于外軌道角速度為

ωbo=ωb-(-ωc)

(28)

(29)

則內(nèi)、外軌道旋滾比(RSRi和RSRo)計算公式為

(30)

3 案例分析

以角接觸球軸承B7007C為例，研究滾動體內(nèi)、外軌道旋滾比與第2節(jié)所述閾值之間關(guān)系，分析軸承在不同工況下電主軸軸向預(yù)緊力優(yōu)化方法。軸承主要參數(shù)如表1所示。

表1 B7007C軸承主要參數(shù)

根據(jù)該軸承主要參數(shù)，以及第1和第2節(jié)編寫了MATLAB腳本文件，計算軸承旋滾比。圖7為滾動體內(nèi)軌道旋滾比計算結(jié)果。由圖7可以明顯看出，不同速度旋滾比變化趨勢一致，同一預(yù)緊力下，隨著速度增加內(nèi)軌道旋滾比呈增加趨勢。隨著預(yù)緊力的增加，不同速度下旋滾比逐漸與靜止狀態(tài)下旋滾比曲線重合。

圖7 滾動體內(nèi)軌道旋滾比

圖8為內(nèi)軌道旋滾比隨預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速變化三維圖。圖8中，黑線代表Hirano發(fā)現(xiàn)的閾值，即滾動體打滑臨界狀態(tài)。根據(jù)閾值計算內(nèi)軌道旋滾比大小，再根據(jù)旋滾比大小得出對應(yīng)轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力值，即優(yōu)化結(jié)果。該條曲線將圖像劃分為2個區(qū)域，即打滑區(qū)域和不打滑區(qū)域。電主軸在實際運行過程中，軸承預(yù)緊效果應(yīng)達到圖8所示不打滑區(qū)域，但預(yù)緊力過大會使摩擦加劇，加大滾動體與軌道之間磨損。因此，圖8中曲線所示優(yōu)化結(jié)果既能保證軸承工作效率，又能最大限度降低軸承內(nèi)部磨損。

圖8 內(nèi)軌道旋滾比預(yù)緊力優(yōu)化結(jié)果

圖8中，曲線對應(yīng)內(nèi)軌道旋滾比范圍為0.12～0.14。內(nèi)軌道旋滾比處于一個相對穩(wěn)定狀態(tài)，因此旋滾比大小可以反映軸承預(yù)緊效果。

4 結(jié)束語

基于外軌道控制理論，根據(jù)角接觸球軸承高速運行過程中滾動體打滑狀態(tài)，結(jié)合Hirano發(fā)現(xiàn)滾動體打滑閾值，建立了一種以旋滾比優(yōu)化軸承預(yù)緊力動力學模型。數(shù)字仿真結(jié)果顯示：根據(jù)打滑狀態(tài)可以得出角接觸球軸承不同轉(zhuǎn)速下最佳預(yù)緊力;當軸承處于最佳預(yù)緊力下，不同轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力狀態(tài)下內(nèi)滾道旋滾比取值穩(wěn)定在0.12～0.14之間；本文研究可為實際的工程操作提供理論指導(dǎo)。