肖偉煌，陳穎頻

(閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建 漳州 363000)

0 引言

圖像在成像、轉(zhuǎn)換過(guò)程中經(jīng)常受到運(yùn)動(dòng)、光學(xué)儀器工藝、噪聲等因素影響而造成圖像降質(zhì)。因此，圖像去模糊是圖像處理中的經(jīng)典問(wèn)題[1]。

文獻(xiàn)[2]中廣義全變分(total generalized variation，TGV)模型，對(duì)圖像的高階梯度進(jìn)行稀疏約束，能有效去除階梯效應(yīng)，同時(shí)保存圖像邊緣及細(xì)節(jié)信息，是圖像去模糊的重要工具。然而，傳統(tǒng)TGV模型僅以L1范數(shù)對(duì)圖像的梯度稀疏性進(jìn)行刻畫，沒有充分挖掘圖像梯度的鄰域結(jié)構(gòu)特性，不能有效刻畫圖像梯度的局部組稀疏先驗(yàn)，導(dǎo)致傳統(tǒng)廣義全變分模型在圖像邊緣保持和階梯效應(yīng)抑制能力有一定局限性[3]。

為了充分挖掘圖像梯度的局部相似性，本文將一階梯度和二階梯度的鄰域信息點(diǎn)進(jìn)行重疊組合，將重疊組稀疏(overlapping group sparsity，OGS)理論[4-9]引入TGV模型，提出了基于重疊組稀疏收縮技術(shù)的改進(jìn)廣義全變分(total generalized variation based on overlapping group sparsity，TGV-OGS)圖像去模糊模型。通過(guò)該模型進(jìn)一步提高平滑區(qū)域與邊界區(qū)域的差異性，保留圖像邊緣的有效信息，提高圖像去模糊效果。

鑒于提出的圖像重構(gòu)模型較為復(fù)雜，計(jì)算量較大，本文引入帶重啟加速交替方向乘子(alternating direction method of multipliers，ADMM)方法[10-12]求解該模型，有效提高了圖像去模糊算法收斂速度。

在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中對(duì)比了幾種圖像去模糊方法，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，本文提出方法取得了最佳圖像去模糊效果。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 二階廣義全變分去模糊模型

圖像降質(zhì)過(guò)程可理解為清晰圖像和模糊核卷積運(yùn)算后再加上噪聲的結(jié)果[13]，即：

G=H*F+N

(1)

式(1)中，G表示觀察圖像，H表示模糊核，F(xiàn)表示原始圖像，N表示高斯噪聲，*表示卷積算子。

二階TGV模型不僅在去噪基礎(chǔ)上發(fā)揮高階變分優(yōu)勢(shì)，還在去模糊方法中有效地避免了階梯效應(yīng)，較好地保護(hù)圖像邊緣和細(xì)節(jié)部分，從而提高去模糊效果。

標(biāo)準(zhǔn)二階TGV模型定義如式(2)所示[13]。

(2)

1.2 重疊組稀疏收縮算子

設(shè)V0為待收縮矩陣，可得其重疊組稀疏鄰近算子記為[6]：

(3)

(4)

V(k+1)=mat{(I+γD2(V(k)))-1v0}

(5)

式(5)中，I∈N2×N2表示單位矩陣，v0是V0的向量形式，mat表示向量矩陣化算子，D(U)∈N2×N2是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素定義如下：

(6)

2 重疊組稀疏廣義全變分圖像去模糊方法

本章將重疊組稀疏正則項(xiàng)引入二階廣義全變分模型，從而充分挖掘圖像梯度的局部組稀疏先驗(yàn)，提高對(duì)圖像高階梯度局部結(jié)構(gòu)相似性的刻畫能力，然后在帶重啟加速ADMM框架下，將復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)解耦合的子問(wèn)題求解，并加速算法收斂。

2.1 TGV-OGS模型

將重疊組稀疏的約束項(xiàng)來(lái)替換TGV模型中L1約束項(xiàng)，改進(jìn)的TGV-OGS數(shù)學(xué)模型如式(7)所示：

(7)

式(7)中，TGV2-OGS(F)表示基于重疊組稀疏的二階廣義全變分約束項(xiàng)。

2.2 TGV-OGS模型的ADMM求解

為求解式(7)定義的改進(jìn)TGV模型，利用ADMM框架對(duì)模型進(jìn)行求解，該方法通過(guò)引入去耦合的分裂變量，從而將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題進(jìn)行求解。分裂變量定義為Z1=Kh*F-Vx，Z2=Κv*F-Vy，Z3=Kh*Vx，Z4=Kv*Vy，Z5=Kv*Vx+Κh*Vy。

將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下問(wèn)題：

(8)

將式(8)轉(zhuǎn)化為增廣拉格朗日函數(shù)形式：

(9)

式(9)中，μ1=μα1，μ2=μα2，μ3=μα3，μ4=μα4，μ5=μα5，Λi(i=1,2,3,…,5)是拉格朗日乘子(也稱為Ζi(i=1,2,3,…,5)的對(duì)偶變量)?！碭,Y〉表示兩個(gè)矩陣X,Y的內(nèi)積。

2.2.1F,Vx,Vy子問(wèn)題求解

在ADMM框架下，分離變量及其對(duì)偶變量之間和三元組F,Vx,Vy是去耦合的。

對(duì)于F子問(wèn)題，其子目標(biāo)函數(shù)為：

(10)

利用快速傅里葉變換進(jìn)行卷積計(jì)算式(10)。將式(10)轉(zhuǎn)換為頻域表達(dá)式得：

(11)

(12)

(13)

對(duì)于Vx子問(wèn)題，子目標(biāo)函數(shù)為：

(14)

同理，將式(14)轉(zhuǎn)換為頻域表達(dá)式得：

(15)

(16)

整理得：

(17)

對(duì)于Vy子問(wèn)題，其子目標(biāo)函數(shù)為：

(18)

將式(18)轉(zhuǎn)換為頻域表達(dá)式得：

(19)

(20)

整理得：

(21)

綜合式(13)、式(17)、式(21)得到關(guān)于F、Vx、Vy三個(gè)變量的方程組，也即：

(22)

利用克萊姆(Cramer)法則與快速反傅里葉變換對(duì)F、Vx、Vy分別求解，即：

(23)

2.2.2Zi(i=1,2,…,5)子問(wèn)題

對(duì)于Z1子問(wèn)題，其目標(biāo)子函數(shù)為：

(24)

根據(jù)式(3)和式(5)，可以得到Z1的更新公式為:

(25)

同理，Zi(i=2,3,…,5)的更新公式為：

(26)

2.2.3Λi(i=1,2,…,5)子問(wèn)題

Z1的對(duì)偶變量為Λ1，其目標(biāo)子函數(shù)為：

(27)

可以利用梯度上升法得其更新公式為:

(28)

式(28)中，γ為學(xué)習(xí)率。

同理，變量Λi(i=2,3,…,5)的更新如式(29)所示：

(29)

2.3 TGV-OGS模型的帶重啟加速ADMM求解

(30)

Zi(i=1,2,…,5)子問(wèn)題的更新公式如下：

(31)

根據(jù)加速ADMM算法框架,Λi(i=1,2,…,5)子問(wèn)題的更新公式如下：

(32)

(33)

若重啟算法，將下列變量重置：

算法1為所提出模型的求解流程。

算法1 帶重啟加速ADMM框架下的TGV-OGS去模糊算法。

Input:觀測(cè)圖像G，模糊核H。

Output: 去模糊圖像F。

Initialize:

tol,Max(i=1,2，…，5).

1) While‖F(xiàn)(k+1)-F(k)‖2/‖F(xiàn)(k)‖2>tol do

2)B1,B2,B3按式(30)計(jì)算;

4) Whilen

7)n=n+1;

8) End While

13) Else

15) End if

16)k=k+1;

17) End While

18) ReturnF(k)asF。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)說(shuō)明

本文選取了6幅圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖1所示。每幅圖像大小為256×256。

圖1 測(cè)試圖像Fig.1 Test images

實(shí)驗(yàn)中使用的噪聲為高斯隨機(jī)白噪聲。在算法中，模糊核通過(guò)psf2otf(point spread punction to optical transform function)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來(lái)構(gòu)造，模糊類型為高斯模糊，模糊核大小為5×5，模糊核的標(biāo)準(zhǔn)差為5(利用Matlab指令fspecial('gaussian', [5 5], 5)產(chǎn)生)。實(shí)驗(yàn)中，模糊核保持固定不變，將噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ分別設(shè)置為5、10、20。

本文涉及實(shí)驗(yàn)主要對(duì)比參數(shù)為：峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)[5]和結(jié)構(gòu)相似性信息(structural similarity，SSIM)[14]。

3.2 算法性能對(duì)比

以圖1為實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖像，將提出算法與各向異性全變分(anisotropic total variation，ATV)[15]去模糊方法、各向同性全變分(isotropic total variation，ITV)[16]去模糊方法、TGV[2]去模糊方法及基于重疊組稀疏的各向同性全變分(anisotropic total variation based on overlapping group sparsity，ATV-OGS)[17]去模糊方法進(jìn)行對(duì)比。各比對(duì)算法去模糊指標(biāo)如表1所示。表中黑色粗體標(biāo)出的指標(biāo)表示最優(yōu)圖像恢復(fù)指標(biāo)。表1顯示，本文提出方法得到的PSNR值和SSIM值均高于其他幾種比對(duì)方法，說(shuō)明圖像去模糊性能最佳。但是，由于本文提出模型較為復(fù)雜，運(yùn)算速度在比對(duì)算法中最慢。

圖2和圖3分別展示了Lena降質(zhì)圖像的去模糊整體結(jié)果和局部放大結(jié)果。

圖2 Lena五種算法恢復(fù)對(duì)比圖Fig.2 Recovered image comparison

圖3 Lena五種算法恢復(fù)圖的局部放大圖Fig.3 Recovered image comparison

圖2中，模糊核如圖2(c)所示，模糊后的圖像被高斯白噪聲(σ=10)進(jìn)一步污染。觀察圖3可知，本文提出方法相比于其他方法更好地壓制了階梯效應(yīng)。

圖4反映了算法對(duì)圖像一階梯度和二階梯度的約束效果，從圖中可以看到，本文提出方法有效壓制了受污染圖像一階和二階梯度的噪聲，并保留了原圖像一階、二階梯度中的最大值，從而較好地恢復(fù)出圖像。對(duì)比圖4(a)、(d)、(g)可以發(fā)現(xiàn)，該方法有效地去除了尖峰和毛刺，恢復(fù)出來(lái)的圖像去模糊效果相比其他去模糊方法得到了一定程度提升。

表2將圖4(d)、(e)、(f)和圖4(g)、(h)、(i)關(guān)于圖4(a)、(b)、(c)的誤差進(jìn)行對(duì)比。從表中可以看到，提出方法的單道抽取圖、抽取圖的一階梯度和二階梯度誤差均小于污染圖像三條曲線關(guān)于原圖三條曲線的中心誤差。

表2 誤差對(duì)比Tab.2 Error contrast

圖4 單道對(duì)比圖Fig.4 Single signal comparison

圖5反映了迭代過(guò)程中，恢復(fù)圖像的相對(duì)誤差(relative error，RE)變化趨勢(shì)，其中RE=‖F(xiàn)(k)-F‖2/‖F(xiàn)‖2，F(xiàn)表示原圖像，F(xiàn)(k)表示算法恢復(fù)圖像。從圖中可以看到，隨著算法不斷迭代，恢復(fù)圖像和原圖的誤差逐步減小，且算法收斂得非常迅速，在第5次迭代以后，RE曲線就趨于平緩。

圖5 算法動(dòng)態(tài)迭代圖Fig.5 Dynamic iteration image

4 結(jié)論

本文提出了基于重疊組稀疏收縮技術(shù)的改進(jìn)廣義全變分模型去模糊方法。該方法能更充分地挖掘圖像一階和二階梯度的鄰域結(jié)構(gòu)相似性，從而進(jìn)一步提升了TGV模型的性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能有效抑制恢復(fù)圖像中的階梯效應(yīng)，提高對(duì)圖像高階梯度局部結(jié)構(gòu)相似性的刻畫能力，從而提高圖像去模糊效果。數(shù)值計(jì)算方面，利用帶加速重啟的交替乘子迭代法求解提出模型，有效提高算法效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出方法的圖像重構(gòu)質(zhì)量在所有比對(duì)算法中達(dá)到最佳效果，且算法在迭代少數(shù)步數(shù)后快速收斂。值得注意的是，本文提出方法也存在一定的局限性，本文算法復(fù)雜度較高，在實(shí)時(shí)處理圖像方面存在不足。

本文所提出的正則項(xiàng)可應(yīng)用于椒鹽噪聲、指數(shù)噪聲、柯西噪聲等其他噪聲背景下圖像的去模糊問(wèn)題，我們將在未來(lái)的工作中進(jìn)一步討論。