張弘 錢旭 宋松和

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程是高等院校理工科本科學(xué)生的一門選修課程，通過講授一些常用的數(shù)學(xué)算法方法及其程序?qū)崿F(xiàn)，包括插值、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、非線性方程求根、常微分方程數(shù)值解等，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的基本原理、熟悉主要數(shù)值算法和建模方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)編程計(jì)算能力。通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的全過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，拓展學(xué)生的視野和知識(shí)面，最終達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力的目的。

我校在高年級(jí)本科生中開設(shè)了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》專業(yè)選修課程，共16學(xué)時(shí)。通常，由于這門課程具有理論性強(qiáng)，高度抽象，算法的推導(dǎo)和分析過程復(fù)雜等特點(diǎn)，再加上一些學(xué)生的《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》等前續(xù)課程基礎(chǔ)較差，程序設(shè)計(jì)語言和編程方法的學(xué)習(xí)不夠扎實(shí)，理論與實(shí)踐銜接不緊密，致使學(xué)生對(duì)該門課程學(xué)習(xí)的興趣不高，教學(xué)效果也不夠理想。如何提高《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的教學(xué)效果，在教學(xué)過程中盡可能地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，變被動(dòng)灌輸為主動(dòng)思考，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有重要的意義。結(jié)合近幾年《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以下就如何在專業(yè)課教學(xué)中運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)與體會(huì).

1 啟發(fā)式教學(xué)的重要性

啟發(fā)式教學(xué)是中國最古老、最傳統(tǒng)的教育方法之一，為歷代教育家所推崇，有著廣泛的 實(shí)踐基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程涉及面廣、原理抽象、對(duì)實(shí)際操作的技術(shù)性要求高。如果采用“滿堂灌”的教學(xué)模式，則容易讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的動(dòng)力。此外高年級(jí)的本科生大多具備一定的分析問題和解決問題的能力，與其將課程內(nèi)容平鋪直敘地灌輸，不如啟發(fā)他們?nèi)ブ鲃?dòng)思考，去“探索”一些數(shù)學(xué)結(jié)論。通過結(jié)合課程教學(xué)要求，我們給出一個(gè)啟發(fā)式教學(xué)實(shí)踐案例。

2 啟發(fā)式教學(xué)實(shí)踐介紹

矩陣?yán)碚撌恰稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的基礎(chǔ)內(nèi)容和重要工具，而對(duì)角占優(yōu)矩陣及二次型在矩陣?yán)碚撝邪l(fā)揮著重要的作用，它有分析簡(jiǎn)單、易于掌握等優(yōu)點(diǎn)。本文就對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)矩陣的一些新的性質(zhì)，給出了相關(guān)分析，望促進(jìn)學(xué)生對(duì)對(duì)角占優(yōu)矩陣本質(zhì)的理解，更好的掌握《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的本質(zhì)。

2.1 對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)矩陣的新性質(zhì)

在《線性代數(shù)》課程中，我們知道對(duì)角線元素非負(fù)的對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)矩陣是正定的，即定理2.1 設(shè)滿足

由于定理2.1對(duì)部分學(xué)生而言較為抽象，為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解，在課堂上筆者要求學(xué)生使用Octave軟件編寫程序?qū)@一定理驗(yàn)證。驗(yàn)證程序如下：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random matrix in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1;? % random vector in [-1， 1]

minvalue = min（dot（xv， A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， theorem wrong?。躰'， minvalue）;

pause;

end

end

在驗(yàn)證完這一定理以后，我們希望可以對(duì)這一定理進(jìn)行推廣。為此我們啟發(fā)學(xué)生計(jì)算表達(dá)式的結(jié)果。通過編程計(jì)算，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)是非負(fù)的，筆者繼而要求驗(yàn)證的正確性。學(xué)生們?cè)俅伟l(fā)現(xiàn)也是非負(fù)的。最后筆者啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，得到如下猜想：

猜想2.2 設(shè)是對(duì)稱對(duì)角占優(yōu)矩陣且所有對(duì)角線元素均滿足則有，其中。

為驗(yàn)證這一猜想，學(xué)生們通過討論以后，給出了如下驗(yàn)證程序：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random value in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1; % random vector in [-1， 1]

p = 2;% 3， 4， 5， …

minvalue = min（dot（（xv.^（2*p-1）），? A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， Conjecture wrong?。躰'， minvalue）;

pause;

end

end

經(jīng)過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，大部分學(xué)生都認(rèn)為這一猜想是正確的。但是如何才能發(fā)掘出這一現(xiàn)象的本質(zhì)呢？通過共同努力，筆者引導(dǎo)學(xué)生們推導(dǎo)了猜想2.2的證明：

3 結(jié)束語

本文對(duì)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的特點(diǎn)和存在的問題進(jìn)行了分析，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)，給出了一個(gè)啟發(fā)式教學(xué)案例。這一案例以啟發(fā)學(xué)生的思維為核心，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，促使他們生動(dòng)活潑地理解了數(shù)學(xué)原理，并啟發(fā)他們給出了一個(gè)猜想，然后進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，最后給出了理論證明。具體到教學(xué)實(shí)踐，作為教師即要重視課堂數(shù)學(xué)理論的教學(xué)，又要注意啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，因材施教、靈活運(yùn)用，提高教學(xué)水平，為發(fā)展國防科技培養(yǎng)高素質(zhì)人才貢獻(xiàn)力量。

（作者單位：國防科技大學(xué)文理學(xué)院數(shù)學(xué)系）