連曉穎 吳洪生

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的靈魂，是高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。函數(shù)思想是數(shù)學(xué)解題的靈魂，深受命題者的親睞。本文通過(guò)對(duì)典型試題的分析研究，提出未來(lái)復(fù)習(xí)的建議。

關(guān)鍵詞：試題呈現(xiàn);分析總結(jié);復(fù)習(xí)建議

中圖分類號(hào)：G633.6????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）19-022-2

2017年版課標(biāo)對(duì)函數(shù)的要求是：“會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈ鐖D像、列表、解析法表示函數(shù)，理解函數(shù)圖像的作用，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù);借助圖像會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，最大、小值，了解函數(shù)奇偶性、周期性及其幾何意義。理解冪函數(shù)的變化規(guī)律，理解指、對(duì)數(shù)函數(shù)，探索并理解指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)。”縱觀2020高考數(shù)學(xué)函數(shù)題，不難發(fā)現(xiàn)試題既注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，也考查考生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，突出新課標(biāo)對(duì)考生能力的要求。

一、典型試題再現(xiàn)

1.（B，新高考Ⅱ，8）若定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（? ）

A.[-1，1]∪[3，+∞）? B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）? D.[-1，0]∪[1，3]

分析：本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬于中檔題。

解答：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是單調(diào)遞減，且f（-2）=0，f（0）=0，所以當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，2）時(shí)，f（x）>0，當(dāng)x∈（-2，0）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）<0，所以由xf（x-1）≥0可得：

x<0-2≤x-1≤0或x<0x-1≥2或x>00≤x-1≤2或x>0x-1≤-2 或x=0

解得-1≤x≤0或1≤x≤3。所以，滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3]。

2.（B，新課標(biāo)Ⅱ，文12理11）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ）

A.ln（y-x+1）>0B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

分析：本題考查對(duì)數(shù)式的大小判斷問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題。

解答：2x-2y<3-x-3-y，

設(shè)f（x）=2x-3-x，則

f′（x）=2xln2+3-xln3>0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒（x）1，ln（y-x+1）>0。

3.（C，新課標(biāo)Ⅰ，理12）若2a+log2a=4b+2log4b，則（? ）

A.a>2b B.a<2bC.a>b2D.a

分析：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬中檔題。

解答：由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b

又因?yàn)?2b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b即2a+log2a<22b+log22b，

令f（x）=2x+log2x，由指對(duì)函數(shù)單調(diào)性可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

由f（a）

4.（B，新課標(biāo)Ⅲ，文理4）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域。有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累積確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）=K1+e-0.23（t-53），其中K為最大確診病例數(shù)。當(dāng)I（t）=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t約為（ln19≈3）（?? ）

A.60 B.63C.66 D.69

分析：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬中等題。

解答：由已知有K1+e-0.23（t-53）=0.95K，得e-0.23（t-53）=119，

兩邊取對(duì)數(shù)有-0.23（t-53）=-ln19，

解得t=66。

5.（B，江蘇，17）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）。經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b，已知點(diǎn)B到OO′的距離40米。

（1）求橋AB的長(zhǎng)度;

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上（不包括端點(diǎn)），橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0），問(wèn)O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

分析：本題考查實(shí)際成本問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬中檔題。

解答：（1）過(guò)A、B分別作MN的垂線，垂足為A′，B′，則AA′=BB′=-403800+6×40=160，令140a2=160，得a=80，所以AO′=80，AB=AO′+BO′=80+40=120。