項(xiàng)長生，李凌云，周 宇，王立憲，吳 侃

(1. 蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050； 2. 蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050； 3. 安徽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

梁結(jié)構(gòu)在服役過程中會(huì)因?yàn)椴牧闲阅芡嘶?承擔(dān)荷載變化等因素出現(xiàn)不同損傷，存在潛在的安全隱患，對(duì)其進(jìn)行及時(shí)有效的健康監(jiān)測(cè)與損傷診斷具有非常重要的意義[1]. 因此，學(xué)者們對(duì)梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別方法展開了廣泛且深入的研究，其中，柔度矩陣包含了結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)振型這兩種結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性，廣泛用于結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別[2-5]，如柔度曲率[6-7]、 柔度曲率差變化率[8]等. 為了克服柔度矩陣在結(jié)構(gòu)損傷定位上存在的缺陷，文獻(xiàn)[9-10]首次將結(jié)構(gòu)損傷前后的廣義柔度矩陣(generalized flexibility matrix, GFM)的變化用于識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷，表明GFM具有較好的損傷定位能力. 由于廣義柔度矩陣引入了高次頻率，從而有效減小了截?cái)喔唠A模態(tài)造成的截?cái)嗾`差的影響. 因此，一經(jīng)提出就受到廣大學(xué)者的關(guān)注[11-14].

信息熵可以度量系統(tǒng)中某個(gè)信號(hào)所提供信息量的無序程度，對(duì)系統(tǒng)的非線性具有顯著的突顯作用. 在機(jī)械故障診斷[15-16]和圖像處理[17-18]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用. 但在混凝土梁式結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別方面的相關(guān)研究并不多見，具有較大的發(fā)展?jié)摿? 文獻(xiàn)[19]首次系統(tǒng)地將信息熵理論應(yīng)用到混凝土結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，用信息熵來描述結(jié)構(gòu)單元能量分布的均勻程度(主要體現(xiàn)在單元?jiǎng)偠群皖l率帶的變化上). 隨后，有學(xué)者將信息熵理論用于混凝土結(jié)構(gòu)的裂縫擴(kuò)展及損傷演化的研究中, 取得了較好的研究成果[20-22].

本研究結(jié)合信息熵和廣義柔度矩陣在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的優(yōu)勢(shì)，提出廣義柔度曲率信息熵指標(biāo)(generalized flexibility curvature information entropy, GFCIE)，以簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁這兩種常見梁結(jié)構(gòu)為例，對(duì)新指標(biāo)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.

1 廣義柔度曲率矩陣

設(shè)M為n×n階與歸一化振型{Φi}相關(guān)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，且滿足正交條件：

{Φi}TM{Φi}=1

(1)

基于對(duì)振型歸一化的質(zhì)量矩陣，廣義柔度矩陣定義為[9]：

Fg=F(MF)l=ΦΛ-1ΦT(MΦΛ-1ΦT)l=ΦΛ-1-lΦT(l=0, 1, 2, …)

(2)

(3)

式中:ωi為第i階振動(dòng)圓頻率;δi為第i階歸一化系數(shù);n為模態(tài)階數(shù). 本研究只考慮l=1的情況，此時(shí)廣義柔度矩陣表達(dá)式為：

(4)

對(duì)GFM做一次橫向差分，可以得到一個(gè)(n-2)×n階矩陣dFg：

(5)

(6)

由于廣義柔度曲率矩陣是一個(gè)(n-2)×(n-2)矩陣，會(huì)造成邊跨支座處節(jié)點(diǎn)信息的缺失，這是其不可避免的缺點(diǎn)，應(yīng)該引起注意.

2 GFCIE指標(biāo)的提出與計(jì)算

2.1 信息熵的基本理論

熵是熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中特有的宏觀量，1948年信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)(Shannon)打破學(xué)科壁壘，創(chuàng)造性地提出了信息熵的概念：

(7)

式中:S為某個(gè)信息所攜帶信息量的大小，反應(yīng)信號(hào)狀態(tài)的紊亂程度；pi是第i種信源信號(hào)出現(xiàn)的概率； lnpi是第i種信源信號(hào)的自信息量.

2.2 構(gòu)造GFCIE指標(biāo)

提取廣義柔度曲率矩陣ddFg的對(duì)角線元素，并按節(jié)點(diǎn)順序組成一個(gè)列向量，將其定義為廣義柔度曲率矩陣的對(duì)角向量Π：

Π=diag(ddFg)

(8)

將廣義柔度曲率對(duì)角線元素占總對(duì)角線元素之和的比值定義為GFCIE指標(biāo)函數(shù)中的概率函數(shù)P(x)：

(9)

顯然，新引入的物理量P(xi)滿足完備性和非負(fù)性，即：

(10)

將式(9)代入式(7)中可得廣義柔度曲率信息熵的表達(dá)式：

(11)

廣義柔度曲率信息熵指標(biāo)以廣義柔度矩陣對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的敏感性為切入點(diǎn)，以概率的形式對(duì)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的分布狀態(tài)及發(fā)展程度進(jìn)行描述，其計(jì)算的具體步驟如下.

1) 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷前后的模態(tài)分析，提取結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(4)～(6)編制MATLAB程序計(jì)算結(jié)構(gòu)廣義柔度曲率矩陣ddFg，并提取其對(duì)角線元素構(gòu)造對(duì)角向量Π.

2) 再將廣義柔度曲率對(duì)角線元素占總對(duì)角線元素的比值作為GFCIE指標(biāo)函數(shù)中的概率函數(shù)P(x)，由公式(7)～(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的GFCIE指標(biāo).

3 算例驗(yàn)證

3.1 簡(jiǎn)支梁損傷識(shí)別

用MIDAS/Civil建立一等截面簡(jiǎn)支梁，梁計(jì)算跨徑為6 m，截面尺寸為0.4 m×0.2 m，主梁材料采用C50混凝土，混凝土的彈性模量E=34.5 GPa，泊松比μ=0.2，容重c=25 kN·m-3，質(zhì)量密度ρ=2.549 kN·(m3·g)-1. 將結(jié)構(gòu)均勻劃分成50個(gè)單元, 假設(shè)結(jié)構(gòu)損傷只表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的減小，而質(zhì)量矩陣保持不變[24]，如圖1所示.

圖1 簡(jiǎn)支梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐趾徒孛娉叽?(單位：m)Fig.1 Element distribution of simply supported beam and section size (unit: m)

本研究提取結(jié)構(gòu)第一階固有頻率和模態(tài)振型，根據(jù)GFCIE指標(biāo)的計(jì)算步驟，簡(jiǎn)支梁的損傷工況識(shí)別結(jié)果如圖2～3所示. 由圖2可知，GFCIE指標(biāo)顯示出了較好的定位能力，與表1中設(shè)定的簡(jiǎn)支梁損傷工況比較吻合. 可以看到，跨中位置不同程度的損傷指標(biāo)突變峰值層次分明，可起到預(yù)判結(jié)構(gòu)相對(duì)損傷程度的作用. 對(duì)支座附近的識(shí)別結(jié)果不盡人意，雖能定位損傷，但指標(biāo)突變規(guī)律無跡可尋.

圖2 工況1～3損傷識(shí)別結(jié)果Fig.2 Case 1 to 3 damage identification results

圖3 工況4～6損傷識(shí)別結(jié)果Fig.3 Case 4 to 6 damage identification results

表1 簡(jiǎn)支梁損傷工況Tab.1 Damage cases of simply supported beam

對(duì)于多處損傷工況，GFCIE指標(biāo)也展現(xiàn)出了令人滿意的損傷定位能力. 如圖3所示，除了支座處的3號(hào)單元外，16、 30和45號(hào)單元的GFCIE指標(biāo)都隨著損傷的擴(kuò)展而持續(xù)增大. 工況4中，四處損傷位置都設(shè)定了20%的損傷，在圖3中對(duì)應(yīng)的指標(biāo)最大突變值分別為：0.004 6、 0.018、 0.019和0.023，除了3號(hào)單元外其他三個(gè)單元的指標(biāo)值較為接近，即可以通過指標(biāo)突變值反應(yīng)結(jié)構(gòu)各損傷量的接近程度.

3.2 連續(xù)梁橋損傷識(shí)別

以兩跨鋼筋混凝土連續(xù)梁橋?yàn)槔?，?yàn)證所提GFCIE指標(biāo)對(duì)不同梁結(jié)構(gòu)的適用性. 結(jié)構(gòu)材料與3.1節(jié)簡(jiǎn)支梁的材料相同，全橋均勻劃分為40個(gè)單元. 對(duì)連續(xù)梁定義了單處損傷、 對(duì)稱位置損傷和多位置損傷這三種損傷工況，在識(shí)別損傷時(shí)根據(jù)ΔS(Fg)突變量的大小定性判斷結(jié)構(gòu)的損傷程度，具體工況如表2所示. 橋全長40 m，跨徑布置為20 m+20 m，主梁截面形式為單箱單室箱型，如圖4所示.

表2 連續(xù)梁損傷工況Tab.2 Damage casesof continuous beam

(a) 單元?jiǎng)澐?(b) 截面尺寸圖4 結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)澐趾徒孛娉叽?(單位：cm)Fig.4 Element distribution of structural and section size (unit: cm)

識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷時(shí)，在損傷處y軸的正上方會(huì)有突變, 各損傷工況的識(shí)別結(jié)果如圖5～10所示. 由圖5可知，結(jié)構(gòu)發(fā)生單處損傷時(shí)，在3號(hào)單元處出現(xiàn)了突變，這與工況7設(shè)定的損傷位置相同. 注意到，在沒有設(shè)定損傷的位置處也出現(xiàn)了不同程度的突變，這可能是由指標(biāo)構(gòu)造過程中模態(tài)數(shù)據(jù)多次迭代引起的，但其突變量較小，不影響指標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性. 對(duì)比不同損傷程度的突變值，當(dāng)損傷程度從10%增大到50%時(shí)，指標(biāo)最大突變值分別為：0.013、 0.038、 0.061、 0.098、 0.151，將結(jié)構(gòu)損傷程度與其對(duì)應(yīng)單元的GFCIE指標(biāo)最大突變值的變化關(guān)系進(jìn)行擬合，如圖6所示. 發(fā)現(xiàn)GFCIE指標(biāo)在損傷位置的突變量隨著損傷程度的增加呈現(xiàn)出線性增加的趨勢(shì)，在損傷程度大于40%時(shí)，指標(biāo)突變的增幅迅速上升，可以推斷損傷位置處的結(jié)構(gòu)部件已進(jìn)入塑性破壞階段.

圖5 工況7損傷識(shí)別結(jié)果Fig.5 Case7 damage identification results

圖6 工況7損傷擬合曲線Fig.6 Case7 damage fitting curve

工況7損傷擬合曲線方程為：

y=3.33x4-2.7x3+0.99x2-0.065x-0.000 17

(12)

算例所示連續(xù)梁為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其普遍存在對(duì)稱位置損傷識(shí)別出現(xiàn)異常的問題，遂對(duì)指標(biāo)用于結(jié)構(gòu)對(duì)稱位置的損傷工況的實(shí)用性進(jìn)行研究.

工況8中為10號(hào)單元和30號(hào)單元同時(shí)發(fā)生10%、 20%、 30%的損傷，損傷識(shí)別結(jié)果如圖7所示. 可以清楚地看到，在10、 11、 30、 31號(hào)節(jié)點(diǎn)處的指標(biāo)突變值明顯大于其他位置的突變值，且兩組對(duì)稱節(jié)點(diǎn)的突變值比較接近，如10、 30號(hào)單元均發(fā)生20%的損傷時(shí)，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的指標(biāo)最大突變量分別為0.018和0.020. 由圖8可知，結(jié)構(gòu)兩邊對(duì)稱位置發(fā)生不同程度的損傷時(shí)，GFCIE指標(biāo)峰值的位置也隨之變化. 當(dāng)10號(hào)單元和30號(hào)單元分別發(fā)生20%和40%的損傷時(shí)，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的損傷指標(biāo)最大突變量分別為0.026和0.059. 那么，GFCIE指標(biāo)完全可以勝任對(duì)稱結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，且損傷識(shí)別結(jié)果比較理想.

圖7 工況8損傷識(shí)別結(jié)果Fig.7 Case 8 damage identification results

圖8 工況9損傷識(shí)別結(jié)果Fig.8 Case 9 damage identification results

3.3 GFCIE指標(biāo)抗噪性分析

工程中，實(shí)測(cè)模態(tài)信息難免會(huì)受到各種噪聲與誤差的干擾，如噪聲引起的測(cè)量誤差、 測(cè)量?jī)x器自身的誤差、 溫差影響等. 理論上認(rèn)為誤差的變化服從高斯分布[25]，但高斯分布與實(shí)際誤差的有界性相矛盾. 今引入服從截尾高斯分布 (truncated gaussian distribution, TGD) 的誤差模型[26], 將服從高斯分布的隨機(jī)變量模型進(jìn)行截尾修正. 模擬誤差以式(13)～(14)的形式引入：

(13)

(14)

對(duì)工況8分別引入噪聲水平為3%、 6%、 10%和12%的誤差，損傷識(shí)別結(jié)果如圖9所示. 由圖9分析可知，當(dāng)噪聲水平不大于10%時(shí)，GFCIE指標(biāo)可以較好地定位損傷位置，定性判斷結(jié)構(gòu)相對(duì)損傷程度. 當(dāng)噪聲水平超過10%時(shí)，損傷程度為10%的損傷工況無法通過GFCIE指標(biāo)正確識(shí)別，損傷程度為20%和30%的損傷，僅可通過指標(biāo)突變最大值及局部剛度退化情況描述其損傷位置和損傷程度.

(a) 引入3%噪聲損傷識(shí)別結(jié)果

(b) 引入6%噪聲損傷識(shí)別結(jié)

(c) 引入10%噪聲損傷識(shí)別結(jié)果

(d) 引入12%噪聲損傷識(shí)別結(jié)果圖9 GFCIE抗噪性分析Fig.9 Anti-noisy analysis of generalized flexibility curvature information entropy

4 結(jié)語

結(jié)合信息熵與廣義柔度矩陣在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的優(yōu)勢(shì)，提出了基于廣義柔度曲率信息熵指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，用MIDAS/Civil建立簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁兩種不同的梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證了指標(biāo)的有效性，并采用截尾高斯誤差模型驗(yàn)證了所提指標(biāo)的抗噪性，得到以下結(jié)論.

1) 相對(duì)于普通柔度矩陣，廣義柔度矩陣可進(jìn)一步降低高階模態(tài)的貢獻(xiàn)，提高指標(biāo)識(shí)別精度. 但在廣義柔度曲率矩陣推導(dǎo)過程中會(huì)損失結(jié)構(gòu)兩端2個(gè)節(jié)點(diǎn)的模態(tài)信息，會(huì)對(duì)支座處的損傷識(shí)別造成影響.

2) 所提GFCIE指標(biāo)可以勝任不同類型的梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，僅用一階模態(tài)數(shù)據(jù)就可較好地識(shí)別結(jié)構(gòu)的單處、 對(duì)稱位置處、 多處損傷的位置，且能定性反應(yīng)其損傷程度. 在識(shí)別過程中存在未損傷單元處也出現(xiàn)了突變，尤其在GFCIE指標(biāo)軸負(fù)方向出現(xiàn)較大突變的問題，雖不影響結(jié)構(gòu)損傷的判斷結(jié)果，但仍值得注意，這也是接下來需要改進(jìn)的地方. GFCIE指標(biāo)對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)工程的損傷識(shí)別能力還需進(jìn)一步驗(yàn)證提升.

3) 采用服從截尾高斯分布的誤差分布模型對(duì)指標(biāo)的抗噪性能進(jìn)行分析，該方法相比普通高斯誤差分布模型實(shí)際更接近誤差分布. 結(jié)果表明，GFCIE指標(biāo)具有一定的抗噪能力，但對(duì)噪聲水平在10%以上的抗噪能力有待進(jìn)一步完善提升.