謝元喜

(湖南理工學院 物理與電子科學學院，湖南 岳陽414006)

0 引言

隨著人類社會的不斷進步和計算技術的飛速發(fā)展，許多現(xiàn)代科學研究的核心已逐步從線性問題轉向非線性問題，而非線性科學問題的解決很大程度上取決于如何求解那些反映非線性問題本質的非線性演化方程.于是許多學者在如何求解非線性演化方程方面產(chǎn)生了濃厚的興趣，并提出了一些求非線性演化方程顯式精確解的方法[1～7]，但這些方法大多只能用來求解非線性演化方程.受限于數(shù)學理論和方法的缺乏，目前涉及到如何求解非線性演化方程組的研究很少.

文[8]中提出一種求非線性演化方程精確解的新方法.作為一種嘗試和探索，本文對文[8]進行一定程度的改進，并將它擴展到求解非線性演化方程組上，進而求得變形Boussinesp 方程組和 Whitham-Broer-Kaup 方程組的顯式精確解.

1 方法描述

本文探討如何求解非線性演化方程組

的顯式精確解.為方便求解上述方程組，引入變換

其中U0和H0為待定常數(shù)，u(w)、h(w) 和w(x，t) 均為試探函數(shù).這里w(x，t) 仍采用與文[8]相類似的形式，即為

試探函數(shù)u(w) 和h(w) 必須根據(jù)具體的方程組靈活選擇.選好試探函數(shù)后，再進行有關計算，即可求得非線性演化方程組的顯式精確解.下面利用該方法求出變形Boussinesp 方程組和 Whitham-Broer-Kaup方程組的顯式精確解.

2 方法應用

2.1 變形Boussinesq 方程組

變形Boussinesp 方程組在許多物理理論以及工程實際中有著重要應用，其一般形式為

為方便求解方程組(4)，選取試探函數(shù)為

其中a、b、d、e為待定常數(shù).

由式(2)、(3)、(5)容易求得

將式(6)代入式(4)，得到關于w的多項式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系數(shù)等于零，可得如下一組超定非線性代數(shù)方程

用Mathematic 解上述非線性代數(shù)方程組，得

將上述常數(shù)代入式(6)，并考慮式(3)，可得

取b=d=1，并利用等式

由式(7)可得變形Boussinesq 方程組(4)的精確解為

取b=d=-1，并利用等式

由式(7)可得變形Boussinesq 方程組(4)的精確解為

顯然，解(9)和解(11)與文[9]求得的解完全等價.

2.2 Whitham-Broer-Kaup 方程組

Whitham-Broer-Kaup 方程組在研究淺水波的色散上具有極其重要的意義，其一般形式為

其中α、β為表征不同色散程度的常數(shù).

為方便求解方程組(12)，考慮選取試探函數(shù)

其中a、b、d、e為待定常數(shù).

由式(2)、(3)、(13)不難求得

將式(14)代入式(12)，得到一關于w的多項式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系數(shù)等于零，可得如下一組超定非線性代數(shù)方程

用Mathematica 解上述非線性代數(shù)方程組，得

將上述常數(shù)代入式(14)，并考慮式(3)，可得

取b=d=1，并考慮式(8)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程組(12)的精確解為

取b=d=-1，并考慮式(10)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程組(14)的精確解為

顯然，解(16)和解(17)與文[10]求得的解完全相同.

3 結論

本文對文[8]中所提出的求非線性演化方程精確解的方法進行了改進，并將它擴展到求解非線性演化方程組上，從而便捷求得變形Boussinesp 方程組和Whitham-Broer-Kaup 方程組的顯式精確解，所得結果與已有結果完全等價.理論上來說，只要選取合適的試探函數(shù)，就可應用本文的方法求得其他非線性演化方程組的顯式精確解.