李浩光,文柯柯

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 武漢 430074)

1 相關(guān)知識(shí)

考慮如下齊次玻爾茲曼方程的柯西問(wèn)題：

(1)

其中f=f(t,v)取決于時(shí)間t≥0，速度變量v∈R3.

玻爾茲曼方程是描述時(shí)間和空間演化的最成功的數(shù)學(xué)模型，從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度看就是描述稀薄氣體中粒子的位置和速度的分布函數(shù)，一般通過(guò)相關(guān)的偏微分方程來(lái)描述這個(gè)運(yùn)動(dòng).由于其深厚的物理背景，可測(cè)初值的玻爾茲曼方程解的存在唯一性、光滑性以及大時(shí)間漸近形態(tài)一直是許多數(shù)學(xué)家著迷的課題.麥克斯韋模型下齊次玻爾茲曼方程的研究已經(jīng)取得了比較完善的結(jié)論[1-3]. 類(lèi)似的動(dòng)力學(xué)方程柯西問(wèn)題解的適定性的相關(guān)研究可參閱文獻(xiàn)[4].對(duì)于非麥克斯韋模型的齊次玻爾茲曼方程，受限于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，在很多時(shí)候沒(méi)有獲得滿(mǎn)意的結(jié)論.MORIMOTO等在文獻(xiàn)[3]中利用近似解的方法研究軟位勢(shì)玻爾茲曼解的存在性以及光滑性，沒(méi)有穩(wěn)定性的結(jié)論.

本文將探討帶可測(cè)初值的改進(jìn)軟位勢(shì)齊次玻爾茲曼方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性.該方程的右邊是一個(gè)二元碰撞算子：

f(v*)f(v)}dσdv*,

對(duì)于-3<γ<0,考慮碰撞核函數(shù)Φ(z)=|z|γ傅里葉變換：

φt=G(φ),

這里：

|η|-3-γ)φ(η)φ(ξ-η)dηdσ,κ=ξ/|ξ|.

考慮到相函數(shù)|ξ|-3-γ在原點(diǎn)有奇異性，為此對(duì)位勢(shì)函數(shù)做一點(diǎn)修改：

2 主要結(jié)果

(2)

(3)

關(guān)于Sobolev空間Kα，可以參考文獻(xiàn)[3].

為證明定理1，先要證明以下定理2.

證明考慮空間Kα的定義，只需要證明對(duì)某個(gè)常數(shù)λ0>0，有：

(4)

這里記〈η〉=(1+|η|2)1/2.證明過(guò)程分為兩部分：

(1)當(dāng)|ξ|≤1時(shí)，考慮到對(duì)稱(chēng)性有：

〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|·

由微分中值定理(二階)：

〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+(6+γ)η·

ξ-〈-η〉-8-γ=

〈-η+τξ-〉-10-γdτ,

從而得到：

|〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+

(6+γ)η·ξ-〈-η〉-8-γ|≤

同理可以證明：

|〈-η+ξ+〉-6-γ-〈-η+ξ〉-6-γ-

(6+γ)(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

又由于：

|η·ξ-〈-η〉-8-γ-(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

考慮到|ξ-|=|ξ|sinθ，得到：

|〈-η+ξ-ξ-〉-6-γ+〈-η+ξ-〉-6-γ-

〈-η+ξ〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|≤

τξ-〉-8-γ+〈-η+τξ〉-8-γdτ,

由于|ξ|≤1,-2<γ<0,0<α≤1,則可求得：

〈-η+τξ-〉-8-γ](|η|α+|ξ-η|α)dτdη≤

考慮到：

于是有結(jié)論：

其中λ0依賴(lài)于γ,α.

當(dāng)|ξ|>1時(shí)，直接計(jì)算可得：

做適當(dāng)平移變換和球坐標(biāo)變換，且考慮到：

-2<γ<0,0<α≤1,

可以得到：

于是：

綜上所述，可以找到一個(gè)正常數(shù)距離λ0滿(mǎn)足公式(4)，命題得證.

定義算子：

由方程：

可得：

從而：

由定理1可得：

當(dāng)T0>0足夠小時(shí)，使得λ0T0<1時(shí)，H是一個(gè)壓縮映射.

由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可得，上述問(wèn)題存在一個(gè)唯一解φ(ξ,t)∈C([0,T0],Kα).即，帶可測(cè)初值的改進(jìn)軟位勢(shì)齊次玻爾茲曼方程存在唯一解.以φ(ξ,T0)∈Kα作為初值代回柯西問(wèn)題(2)中，利用定理2，可得到帶可測(cè)初值的改進(jìn)軟位勢(shì)齊次玻爾茲曼方程存在唯一解φ(ξ,t)∈C([T0,2T0],Kα).重復(fù)上述過(guò)程可以得到φ(ξ,t)∈C([0,∞),Kα).

利用定理2，可得：

λ0‖φ-φ‖α.

計(jì)算上述微分方程得到：

這就證得公式(3)，定理1證畢.