鞠銀

（上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院，上海 201306）

旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。掌握旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算具有非常重要的實(shí)際意義，并且有助于學(xué)生分析和解決問題的能力。本文以旋轉(zhuǎn)體的體積為例，介紹多種方法，使學(xué)生能夠更好地理解微元法，并能熟練地求解各類旋轉(zhuǎn)體的體積。

求拋物線x=y2與直線y=x所圍的區(qū)域D,計(jì)算將D繞直線l:x=1旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：方法1 采用截面法，用垂直于旋轉(zhuǎn)軸的面積元素繞旋轉(zhuǎn)軸所得的體積看作旋轉(zhuǎn)體的體積元素

選y為積分變量，y∈[0,1]

方法2 柱殼法：用平行于旋轉(zhuǎn)軸的面積元素繞旋轉(zhuǎn)軸所得的柱殼體(將柱殼體展開，

可以近似成一個(gè)很薄的長方體)的體積看作旋轉(zhuǎn)體的體積元素。

選x為積分變量，x∈[0,1]

解：方法1 采用截面法，選x為積分變量，x∈[-a,a]

方法2 采用柱殼法，選y為積分變量，y∈[0,b]

方法3 采用三重積分的先二后一的方法計(jì)算體積，

解：此題可以采用前面介紹的截面法或者柱殼法都可以求得旋轉(zhuǎn)體的體積.這里我們介紹另一個(gè)方法.根據(jù)古希臘數(shù)學(xué)家Pappus總結(jié)出的一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積公式,d為區(qū)域D的重心到旋轉(zhuǎn)軸的距離，S為區(qū)域D的面積.圓的面積為π，重心到y(tǒng)的距離d=2.

由這個(gè)公式我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一些重心比較好求的圖形繞平面內(nèi)某一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是比較容易求得。

解：此題和前幾例的不同點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸不和坐標(biāo)軸平行。此題我們采用Pappus定理來解非常方便。這里我們介紹一下Pappus定理：

首先要解出交點(diǎn)