祁崢東, 邱明華, 蔣瑩瑩, 孔 玥, 黃 晟

(1. 中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153 ；2. 南京大學 電子科學與工程學院，南京 210046 )

0 引 言

波束合成技術(shù)是陣列信號處理研究領(lǐng)域中的關(guān)鍵研究方向，其內(nèi)容包括對接收陣列信號的加權(quán)處理，以使方向圖主瓣對準期望角，零陷位置對準干擾角，從而提高系統(tǒng)的性能。該技術(shù)在聲聲吶、雷達、通信等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，在方向圖綜合問題中通常要求具有低副瓣特性。通過各類算法，理論上[1-6]可以設(shè)計出具有超低副瓣電平的遠場方向圖。但是，由于仿真和實際加工存在各種誤差，如單元之間的互耦效應(yīng)、單元位置加工誤差、通道響應(yīng)失配，以及單元的幅相誤差等因素，提高了最大副瓣電平。此外，所設(shè)計的遠場方向圖應(yīng)具有較好的方向性(如對應(yīng)較窄的主瓣波束)。因此，綜合過程應(yīng)在最大副瓣電平和主波束寬度之間進行平衡。和、差波束方向圖因在實現(xiàn)角度估計和目標跟蹤方面發(fā)揮著特殊的作用，使得這一研究方向一直以來受到很多學者的重視，目前已有很多技術(shù)成果問世。[7-11]

隨著軍民兩個領(lǐng)域?qū)走_分辨率、靈敏度等性能指標的要求不斷提高，使得雷達陣列朝著超大型規(guī)模發(fā)展。這一實際要求使雷達成本大幅提高，促使稀疏陣相關(guān)的研究得到越來越多的關(guān)注。稀疏陣的陣元合理的布置可以在不影響一些技術(shù)指標的前提下有效降低天線單元和通道總數(shù),從而降低系統(tǒng)的造價和饋電網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度。稀疏陣的單元位置優(yōu)化和單元數(shù)量最少化問題實際屬于非線性優(yōu)化范疇，以往經(jīng)典解決方案包括采用智能優(yōu)化算法、模擬退火法、遺傳算法、蟻群優(yōu)化算法和粒子群算法等。作為高效的全局優(yōu)化算法，智能優(yōu)化算法已在陣列方向圖綜合領(lǐng)域得到大量應(yīng)用，并取得了良好的應(yīng)用成果[12-15]。但是，此類算法存在運算量大、易陷入局部最優(yōu)、對初值敏感、收斂速度慢的缺點，尤其對大型天線陣列進行綜合優(yōu)化時陣元單元數(shù)量的激增會導致算法的計算負擔增大。

稀疏陣綜合的目的為使得陣列中單元數(shù)量最少化，即完成方向圖性能指標的同時從等間距柵格的滿陣中選擇數(shù)量最少的單元。此問題為L0范數(shù)最小化綜合問題，為NP-Hard困難問題。本文結(jié)合壓縮理論用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法替代原先L0范數(shù)算法以完成陣元數(shù)量最小化的設(shè)計目標。這一過程將非凸優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化(Convex programming)模型求解。

本文提出的以降低饋電系統(tǒng)復(fù)雜度為目的設(shè)計可分為兩類，第1類是通過優(yōu)化使得和、差波束模式下在部分單元上共用激勵，第2類降低系統(tǒng)復(fù)雜度的方法是通過減少天線陣列中單元總數(shù)。本文算法將共用單元部分加權(quán)和單元級加權(quán)作為統(tǒng)一優(yōu)化目標，以減少陣列中單元總數(shù)，而將涉及的輻射性能指標(如差方向圖斜率，以及和、差波束的主瓣寬度、最大副瓣電平等)利用凸優(yōu)化算法轉(zhuǎn)化為凸問題進行求解。

與經(jīng)典算法結(jié)果相比，本文基于L1范數(shù)最小化的稀疏陣綜合方法與凸優(yōu)化方法相結(jié)合的算法在提高某些方向圖輻射性能的同時可以有效減少陣列中單元的個數(shù)，從而有效簡化饋電網(wǎng)絡(luò)。

1 算法應(yīng)用模型

1.1 遠場方向圖模型

這里以平面陣列模型為例介紹本文算法，考慮2M×2N元的矩形陣列，其中沿x軸布置2M行單元，沿y軸布置2N行單元。各陣元等間距排布，dx和dy分別表示沿x軸和y軸陣元間距，遠場方向圖這里表示為

(1)

a=[a1，1,a1，2,…,a2M，2N-1,a2M，2N],

w(u,v)=ejβ[(-M+1/2)du+(-N+1/2)du]

=ejβ[(-M+1/2)du+(-N+3/2)du],…,

=ejβ[(M-1/2)du+(N-3/2)du]

=ejβ[(M-1/2)du+(N-1/2)du]

遠場仰、方位差波束輸出分別為

1.2 凸優(yōu)化方法

本文將凸優(yōu)化算法應(yīng)用于和、差波束方向圖綜合問題，以期減少陣列中可變增益放大器和單元總數(shù)的同時提高方向圖性能，優(yōu)化問題表述為

|w(u,v)as|≤ρs(u,v)(u,v)∈SLs,

|w(u,v)ad|≤ρd(u,v)(u,v)∈SLd,

(2)

這里，遠場和、差波束方向圖|AFs/d(u,v)|2的主瓣SBs/d以逼近期望和、差波形ds/d(u,v)為目的，這里有d(u,v)∈R+，其中，s、d分別表示和、差波數(shù)。|AFs/d(u,v)|2與ds/d(u,v)之間的距離εs/d盡可能地縮小。副瓣部分(SB)的峰值電平應(yīng)該小于ρs(u,v)。式(2)中，控制和、差波束主瓣寬度的約束問題為非凸函數(shù)。本節(jié)對以往凸優(yōu)化算法進行改進，引入雙變量的多凸優(yōu)化算法，通過循環(huán)逼近的多凸模型來求解控制主瓣寬度的非凸問題，式(2)內(nèi)容轉(zhuǎn)化如下：

(3)

(4)

本節(jié)選擇文獻[16-19]中的基于迭代傅里葉技術(shù)獲得的滿足式(4)的陣元激勵權(quán)值作為迭代過程的初值。

1.3 迭代加權(quán)L1范數(shù)理論

本節(jié)將壓縮感知理論應(yīng)用于單脈沖天線和、差波束合成技術(shù)中。為使陣列中單元總數(shù)盡可能少，稀疏陣列的綜合問題可表述為

(5)

式(5)為陣列中激勵值為0的單元數(shù)量。稀疏陣綜合的目的為使得陣列中單元數(shù)量最少化，即完成方向圖性能指標的同時從等間距柵格的滿陣中選擇數(shù)量最少的單元。此問題為L0范數(shù)最小化綜合問題，為NP-Hard困難問題。為解決此問題，利用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法完成設(shè)計目標，可表述為

(6)

其中

和、差波束形成中共用陣元激勵的約束可表示為

(7)

式(7)是線性規(guī)劃問題。在迭代過程中，未知變量減少數(shù)量為Ψ個。 在迭代過程中，上一步的封閉解將作為下一步迭代的初值。陣列天線和、差波束的綜合問題在第n+1次迭代過程中激勵約束表述為

(8)

(9)

2 計算實例

為了驗證本文提出的算法，本節(jié)選擇文獻[10]中凸優(yōu)化算法綜合得出的例1作為參考對比算例。

本節(jié)所有仿真驗證均采用臺式計算機，硬件參數(shù)如下：處理器：Intel? CoreTMi5-6500T，RAM為12 GB；仿真軟件為MATLAB，版本為R2018a。式(8)中μ值選擇固定值0.001。

例1中，初始陣列選擇口徑為5λ×5λ的正方形平面陣，且各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距均為0.5556λ。設(shè)兩列共用單元，位置分布在{m=1,…,10,n=1,10}，即這兩列單元在和、差波束形成過程中共用激勵。圖1和圖2給出了本文提出算法得出的三維遠場方向圖，相應(yīng)的陣元激勵與位置分布如圖3和圖4所示，僅畫出稀疏陣第三象限內(nèi)的陣元分布和激勵值。綜合得出和波束的方向性系數(shù)值為19.03 dB，方位差波束斜率值為[?AFdaz(u0,v0)/?u]|u=u0,v=v0= 22.14 dB。

圖1 和波束三維方向圖的二維投影

圖2 方位差波束三維方向圖的二維投影

圖3 和波束對應(yīng)激勵幅度

圖4 差波束對應(yīng)激勵幅度

由表1中可以看出，和波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLs=-32.8 dB，方位差波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLdaz=-22.9 dB。綜合后的和、差波束在u=0、v=0方向上的半功率波瓣寬度(Half-Power Beamwidth，簡稱HPBW) 分別為HPBWPsu=0.27和HPBWsv=0.27，HPBWPdu=0.21和HPBWdv=0.27。與文獻[10]中LP算法綜合出的結(jié)果相比(如表1所示)，本文方法不僅實現(xiàn)了更低的最大副瓣電平(Peak Sidelobe,簡稱PSL)，并且獲得了更窄的波束寬度。與文獻[10]中的設(shè)計相比，本設(shè)計中“開”狀態(tài)的陣元數(shù)量在和、差波束兩種模式下分別減少了36% 和44%。此外，本設(shè)計中可變增益放大器(Variable Gain Amplifier，簡稱VGA)數(shù)量節(jié)省了30%，同時陣列孔徑減少了23.5%。

表1 本文算法與文獻[10]中LP算法的性能對比

例2中，初始陣列選擇口徑為5λ×5λ的正方形平面陣，且各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距均為0.5556λ。設(shè)兩列共用單元，位置分布在{m=1,…, 10,n=1, 10}，即這兩列單元在和、差波束形成過程中共用激勵。 圖5和圖6給出了本文提出算法得出的三維遠場方向圖，相應(yīng)的陣元激勵與位置分布如圖7和圖8所示，共用激勵用深黑色標記。綜合得出和波束的方向性系數(shù)值為19.23 dB，方位差波束斜率值為[?AFdaz(u0,v0)/?u]|u=u0,v=v0= 23.05 dB。由表2中可以看出，和波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLs=-21.5 dB，方位差波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLdaz=-16.5 dB。綜合后的和、差波束在u=0、v=0方向上的HPBW分別為HPBWPsu=0.27、HPBWsv=0.21、HPBWPdu=0.18和HPBWdv=0.23。與文獻[10]中LP算法綜合出的結(jié)果相比(如表2所示)，本文方法在實現(xiàn)了相同的最大副瓣電平值的同時獲得了更窄的波束寬度。與文獻[10]中的設(shè)計相比，本設(shè)計中“開”狀態(tài)的陣元數(shù)量在和、差波束兩種模式下分別減少了40%和44%。此外，本設(shè)計中VGA數(shù)量節(jié)省了45%。

圖6 方位差波束三維方向圖的二維投影

圖7 和波束對應(yīng)激勵幅度

3 結(jié)束語

本文提出了一種采用凸優(yōu)化算法與壓縮感知理論相結(jié)合的和、差波束方向圖合成新方法，將控制和、差波束的主瓣寬度的非凸約束問題轉(zhuǎn)化成凸約束問題進

圖8 差波束對應(yīng)激勵幅度

表2 本文算法與文獻[10]中LP算法的性能對比

行求解, 并結(jié)合壓縮理論用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法替代原先L0范數(shù)算法以完成陣元數(shù)量最小化的設(shè)計目標。這一過程將非凸優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化模型求解。本文提出的以降低饋電系統(tǒng)復(fù)雜度為目的設(shè)計可分為兩類，第1類是通過優(yōu)化使得和、差波束模式下的部分單元共用激勵，而第2類降低系統(tǒng)復(fù)雜度的方法是通過減少天線陣列中單元總數(shù)。本文算法將共用單元部分加權(quán)和單元級加權(quán)作為統(tǒng)一優(yōu)化目標，以減少陣列中單元總數(shù)。不同方向圖要求的稀疏平面陣綜合結(jié)果表明，與現(xiàn)有的和、差波束優(yōu)化算法相比，本文算法具有很好的普適性，綜合得出的和、差方向圖性能更優(yōu)且所需的陣列單元總數(shù)、可變增益放大器總數(shù)均更少。