陳慧芳， 馬忠軍

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

近年來(lái)，在許多領(lǐng)域人工智能有著及其廣泛的應(yīng)用[1-3]，不同領(lǐng)域的學(xué)者從各自的研究領(lǐng)域分別對(duì)其進(jìn)行研究，希望可以借助多個(gè)智能體間之間的合作以高效完成一些單個(gè)智能體無(wú)法完成的復(fù)雜任務(wù)。作為多智能體系統(tǒng)中最基本的問題，一致性指的是借助一些控制策略，智能體的狀態(tài)變量(如位移或速度等)通過(guò)相互通信或相互作用漸近趨于恒同。目前在一致性領(lǐng)域，多智能體已經(jīng)涌現(xiàn)了很多優(yōu)秀的研究成果[4-9]。

聚類一致是一種相比恒同一致來(lái)說(shuō)更為一般的一致性，目前已有一些重要文獻(xiàn)，如Wu等[10]通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的牽制控制器使普通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到聚類一致，并給出了一種通過(guò)調(diào)整控制增益強(qiáng)度來(lái)提高收斂速度的方法；Lin等[11]通過(guò)應(yīng)用時(shí)變線性反饋控制協(xié)議探討了不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類一致性問題；Wu等[12]提出了一種分布式牽制控制策略，通過(guò)控制每個(gè)社區(qū)中生成樹的耦合權(quán)重參數(shù)從而使系統(tǒng)達(dá)到聚類一致，這種方法費(fèi)用低，更具有現(xiàn)實(shí)意義；Wang等[13]引入一種有效的反饋控制方案，導(dǎo)出了時(shí)變時(shí)滯耦合網(wǎng)絡(luò)聚類一致的判定依據(jù)；Ma等[14]研究了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為有向、弱連通時(shí)，多智能體系統(tǒng)達(dá)到聚類一致的幾個(gè)一致性準(zhǔn)則；考慮到在實(shí)際情況下通信會(huì)延時(shí)，Xie等[15]研究了二階時(shí)滯系統(tǒng)的聚類一致問題；文獻(xiàn)[16-17]分別探討了一階和二階非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)聚類-滯后一致的問題，并導(dǎo)出了帶有時(shí)變通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)達(dá)到聚類-滯后一致的充分條件。

此外，F(xiàn)eng等[18]研究了二階非線性多智能體系統(tǒng)的部分狀態(tài)一致性(速度變量一致，位移變量不一致)問題，并得到了一種具有切換拓?fù)洹r(shí)變時(shí)延和間歇性信息傳輸?shù)漠惒椒植际揭恢滦詤f(xié)議；吳彬彬等[19]首次應(yīng)用微分方程關(guān)于部分變?cè)€(wěn)定性，探究了一階非線性多智能體系統(tǒng)中所有狀態(tài)變量的部分分量達(dá)到一致的充分條件。

聚類-分量一致，指的是多智能體系統(tǒng)中所有狀態(tài)變量的部分分量實(shí)現(xiàn)漸近趨同，而對(duì)于所有智能體狀態(tài)變量(含所有分量)來(lái)說(shuō)是通常意義上的聚類一致。聚類-分量一致比聚類一致強(qiáng)，比恒同一致弱，是介于兩者之間的一種群體動(dòng)力學(xué)行為。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)每個(gè)智能體的模型為

xi(t))+ui(t)，i=1,2,…,N，

(1)

其中：xi=(xi1,xi2,…,xin)T∈Rn為第i個(gè)智能體的位移變量；f:Rn→Rn為一個(gè)非線性函數(shù)，用來(lái)描述第i個(gè)智能體的局部動(dòng)力學(xué)；常數(shù)c>0為控制增益；Γ=diag(r1,r2,…,rn)為半正定的內(nèi)部耦合矩陣；A=(aij)N×N為相應(yīng)的鄰接矩陣；ui(t)為待定的控制項(xiàng)。

每一聚類中虛擬領(lǐng)導(dǎo)智能體的方程為

φi=1，2，…,m,

(2)

其中：φi為第i個(gè)智能體所屬的聚類指標(biāo)，即第i個(gè)智能體屬于第φi個(gè)聚類；sφi(t)為第φi個(gè)聚類中一個(gè)確定點(diǎn)的位移；常數(shù)gφi>0。

定義2[19]令Eφi=sφi-sφ1，

Eφi(t)=(Eφi1(t),Eφi2(t),…,Eφin(t))T,

φi=1,2,…,m。

若存在1≤ω≤n,使得系統(tǒng)(1)、(2)的解滿足

則稱系統(tǒng)(1)、(2)關(guān)于前ω個(gè)分量達(dá)到(部分分量)一致。

聚類-分量一致既是聚類一致的，也是部分分量一致的。

假設(shè)1[19]若存在常數(shù)α>0,?x,y∈Rn,使得函數(shù)f滿足

(x-y)T(f(x)-f(y))≤α(x-y)T(x-y)。

引理1[19]考慮下列微分方程組

其中,

F(t,x)∈C[R+×Rn,Rn],F(t,0)≡0,

x=(y，z)T=(x1,x2，…,xw,xw+1,…,xn)T∈Rn，

y=(x1,x2，…,xw)T∈Rω,

z=(xw+1,…,xn)T∈Rp,

令η、Ψ和β都是K類函數(shù)，若存在函數(shù)V(t,x)滿足η(‖y‖)≤V(t,x)≤≤Ψ(‖y‖),它的導(dǎo)數(shù)滿足：

則式(2)的零解關(guān)于部分變?cè)獃是漸近穩(wěn)定的。

引理2[19]設(shè)H=(hij)∈RN×N,B=(bij)∈Rn×n, 則存在nN階置換矩陣P=Ps…P1，其中Pi是第一類初等行變換矩陣，即對(duì)調(diào)單位矩陣的某兩行后得到的矩陣，使得P(H?B)P-1=B?H成立。其中，i=1,2,…,s,s∈N+，?表示Kronecker積。

2 主要結(jié)果

定理1對(duì)于控制項(xiàng)

ui(t)=-gφiΓ(sφi-sφ1)-di(xi(t)-sφi(t))，

(3)

系統(tǒng)(1)、(2)在滿足假設(shè)1的條件下，若

同時(shí)成立，系統(tǒng)(1)、(2)實(shí)現(xiàn)聚類-分量一致。

證明1)由式(1)、(2)、(3)可得誤差系統(tǒng)

(4)

其中e(t)=(e1T(t),e2T(t),…,eNT(t))T，則

2)由式(2)可得誤差系統(tǒng)Eφi(t)=sφi(t)-sφ1(t),則

f(sφi(t)))-gφiΓ(sφi(t)-sφ1(t)),

φi=1,2,…,m。

令G=diag(g2,g3,…,gm)，可將上述誤差系統(tǒng)改寫為

(G?Γ)E(t),

(5)

其中，

Eφi(t)=(Eφi1(t),Eφi2(t),…,Eφin(t))T,

(6)

其中，

y=(E21(t),…,Em1(t),E22(t),…,Em2(t),…,

Emw(t))T, 1≤ω≤n。

顯然η,Ψ∈K。

η(‖y‖)≤V2(t,x)≤Ψ(‖y‖),

若αIm-1-rkG<0，則存在β>0，使得

3 數(shù)值模擬

例設(shè)第i個(gè)智能體的狀態(tài)方程為

通過(guò)計(jì)算，若上式滿足假設(shè)1，且α=1，假設(shè)N=7，則該智能體的拉普拉斯矩陣為

取Γ=diag(1,1,0)與di=20，gφi=15，定理1條件成立。運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算得到圖1。其中，圖1(a)、(b)分別為第1聚類中所有智能體和第2聚類中所有智能體的誤差軌跡圖。圖2為xi的3個(gè)分量隨時(shí)間變化的曲線。從圖2可看出，所有智能體的前2個(gè)分量都能達(dá)到一致，而最后一個(gè)分量未達(dá)到一致。

圖1 2個(gè)聚類的誤差軌跡

圖2 xi的3個(gè)分量隨時(shí)間變化的曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了一階非線性多智能體的聚類—分量一致性問題，通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制協(xié)議，將原智能體系統(tǒng)的一致性問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[19]，導(dǎo)出了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)聚類-分量一致性的充分條件。數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了理論的正確性。