白 瑩， 李科贊

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

同步問(wèn)題一直是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的一個(gè)重要分支?，F(xiàn)實(shí)中存在許多同步現(xiàn)象，如2008年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式上的“擊缶”表演是由2008名鼓手同步進(jìn)行的，所有的動(dòng)作整齊劃一；成千上萬(wàn)只同步閃爍的螢火蟲(chóng)；工廠里的各種機(jī)器設(shè)備之間的同步運(yùn)轉(zhuǎn)等。同步現(xiàn)象覆蓋了我們生活中的方方面面，所以對(duì)同步現(xiàn)象進(jìn)行深入研究很有必要。近些年，許多專家學(xué)者對(duì)同步做了大量研究[1-3]，對(duì)同步的種類也進(jìn)行了劃分。文獻(xiàn)[4]采用間歇控制的方法，只需要控制每個(gè)集群中的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就可實(shí)現(xiàn)聚類同步。文獻(xiàn)[5]研究了耦合不完全動(dòng)態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的聚類問(wèn)題，提出了保證聚類同步的條件，根據(jù)自適應(yīng)反饋算法來(lái)調(diào)整底層圖的權(quán)值，使任何滿足聚類條件的雙向網(wǎng)絡(luò)同步。文獻(xiàn)[6]研究了一類具有交換有向拓?fù)涞膹?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的全局牽制同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]將交叉耦合技術(shù)引入到多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了廣義同步控制器。文獻(xiàn)[8]研究了2種不同的不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)廣義函數(shù)投影同步問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種用于2種不同混沌系統(tǒng)同步的自適應(yīng)控制器，并得到了估計(jì)系統(tǒng)未知參數(shù)的更新規(guī)律。

時(shí)滯是時(shí)間滯后的簡(jiǎn)稱，在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)滯是系統(tǒng)之間信號(hào)傳遞不可避免的現(xiàn)象，在這種情況下，需要對(duì)時(shí)滯進(jìn)行分析，盡量減小由時(shí)滯帶來(lái)的誤差。而另一方面，有時(shí)不希望2個(gè)網(wǎng)絡(luò)或2個(gè)節(jié)點(diǎn)所要達(dá)到的同步效果出現(xiàn)在同一時(shí)刻，而是一個(gè)系統(tǒng)在完成某個(gè)動(dòng)作后另一個(gè)系統(tǒng)可以在間隔一段時(shí)間后再達(dá)到與其同步的動(dòng)作，此時(shí)需要利用時(shí)滯來(lái)幫助實(shí)現(xiàn)想要達(dá)到的同步效果，通常把這種帶有時(shí)滯的同步定義為滯后同步[9-10]。最近，滯后同步又被推廣為投射滯后同步[11]、廣義滯后同步[12]等。文獻(xiàn)[13]考慮了一種新型的滯后同步模式——相繼滯后同步(SLS)，即在動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中2個(gè)連續(xù)編號(hào)的節(jié)點(diǎn)之間出現(xiàn)滯后同步現(xiàn)象。文獻(xiàn)[14-16]對(duì)相繼滯后同步做了深入的研究。

由此可見(jiàn)，對(duì)時(shí)滯問(wèn)題進(jìn)行研究也是至關(guān)重要的。時(shí)滯系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài)需要的條件有2種情況，一種是實(shí)現(xiàn)同步的條件獨(dú)立于時(shí)滯，另一種是同步條件依賴于時(shí)滯。獨(dú)立于時(shí)滯的同步條件對(duì)時(shí)滯的大小無(wú)要求，而依賴于時(shí)滯的同步條件與時(shí)滯的大小有關(guān)。文獻(xiàn)[17]對(duì)一般復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行分析，分別得到了依賴于時(shí)滯和獨(dú)立于時(shí)滯的同步條件。鑒于此，針對(duì)文獻(xiàn)[17]中提出的分布式模型，利用Lyapunov函數(shù)方法和Barbalat引理，分析模型的相繼滯后同步穩(wěn)定性，并得到了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)相繼滯后同步依賴于時(shí)滯的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[18-19]QUAD(Δ,ω)是一個(gè)函數(shù)類，稱f∈QUAD(Δ,ω),若對(duì)任意的x,y∈Rm，連續(xù)函數(shù)f(x,t):Rm×[0,+∞)→Rm滿足：

(x-y)T{[f(x,t)-f(y,t)]-Δ[x-y]}≤

-ω(x-y)T(x-y),

(1)

其中，ω>0，t≥0，Δ=diag{δ1,δ2,…,δm}。

引理2[21]對(duì)于合適維數(shù)的矩陣A、B、C,克羅內(nèi)克積滿足如下運(yùn)算法則：

1)σ(A+B)=σA+σB，σ為常數(shù)；

2)(A+B)?C=A?B+A?C；

3)(A+B)T=AT+BT。

引理3[22]設(shè)矩陣M=(mij)p×q，則

xTMy≤π(M)(xTx+yTy)，

對(duì)所有x∈RP，y∈Rq成立，其中

考慮動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)[17]

ui(t)，i=1,2，…,n，

(2)

其中，

ui(t)=-dxi(t)，

(3)

或

ui(t)=-d(xi(t)-x1(t-(i-1)τ))。

(4)

定義2[13]對(duì)任意的初值條件

xi(t)=φi(t)∈C([-(n-1)τ,0],Rm),

i=1,2，…,n，

若有

(5)

則稱動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到相繼滯后同步，或者說(shuō)相繼滯后同步是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2 依賴時(shí)滯的同步條件

根據(jù)相繼滯后同步的定義，動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(2)的相繼滯后同步誤差可定義為

ei(t)=xi(t-τ)-xi+1(t)，i=1,2，…,n-1。

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，可得如下誤差系統(tǒng)：

f(xi(t-τ))-f(xi+1(t))+

ui(t-τ)-ui+1(t)。

(6)

雖然式(3)和式(4)兩種控制器不同，但均滿足：

ui(t-τ)-ui+1(t)=-dei(t),i=1,2，…,n-1。

所以模型(2)在分別帶有控制器(3)和控制器(4)兩種情況下的誤差系統(tǒng)是相同的。在控制器(3)或者控制器(4)下，可令

B=(bik)(n-1)×n=(aik-a(i+1)k)(n-1)×n，

k=1,2,…,n，i=1,2，…,n-1,

上述誤差系統(tǒng)可寫為

(7)

定理1若存在常數(shù)ω>0，正定對(duì)角矩陣

Δ=diag{δ1,δ2,…,δn-1}，

使得f∈QUAD(Δ,ω)，且存在ε>0，d>0，正定矩陣

Ξ=diag{α1,α2,…,αn-1}，

Φ=diag{β1,β2，…,βn}，

使得

(8)

其中：

M1=Ξ?Δ+(N+(n-1)Φ+hΩ)?Im+

cπ(M)I(n-1)m，

N=diag{(ca22-d-ω)α1,(ca33-d-ω)α2,…,

(cann-d-ω)αn-1}，

M=Γ?Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，

M2=cπ(M)I(n-1)2m-Φ?I(n-1)m。

則對(duì)任意τ∈(0,h]，帶有分布式控制器(3)的模型(2)的相繼滯后同步是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù)：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)，

(9)

其中：

對(duì)V(t)沿著誤差系統(tǒng)(6)求導(dǎo)可得

其中：

(10)

(11)

(12)

令

對(duì)于式(10)，有以下結(jié)論：

(13)

其中M=Γ?Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，Γ是一個(gè)分塊矩陣。根據(jù)式(13)，式(10)可改為

(14)

由引理3可得

(15)

根據(jù)定義1和式(15)，由式(12)、(14)可得

(16)

因?yàn)棣印?0,h]，所以有

(17)

根據(jù)式(16)、(17)，可得

(18)

則式(18)可改寫為

hΩ)?Im+cπ(M)I(n-1)m]e(t)+

選擇合適的ε>0，d>0，滿足條件(8)，可得

所以

根據(jù)引理2，有

eT(t)e(t)→0，(→+∞)。

綜上所述，帶有控制器(3)的模型(2)的相繼滯后同步是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。模型(2)在分別帶有控制器(3)和控制器(4)兩種情況下具有相同的誤差系統(tǒng)，所以可以得到相同的同步條件，證明過(guò)程類似。

3 數(shù)值模擬

對(duì)定理1進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)，用3D神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]作為系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)行為，即

其中：

為了使函數(shù)f∈QUAD(Δ,ω)，依據(jù)文獻(xiàn)[14]，可取Δ=10I3，ω=0.6218。

1)驗(yàn)證模型(2)帶有分布式控制器(3)的情形?？紤]節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=5，神經(jīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣為

根據(jù)文獻(xiàn)[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,π(M)=24,Φ=cπ(M)×In-1。

為了滿足定理1的條件，取c=0.1，d=30，則

M1=diag{-8.72+0.1a22+h,-8.72+0.1a33+

h,-8.72+0.1a44+h,-8.72+0.1a55+h}。

通過(guò)解不等式M1×I3≤0，可得到滿足定理1的最大時(shí)滯h=8.72，即當(dāng)時(shí)滯τ∈(0，8.72]時(shí)系統(tǒng)(2)可以實(shí)現(xiàn)相繼滯后同步。這里取τ=7，圖1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變化軌跡，圖2為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相繼滯后同步誤差(i=1,2,3,4,5)。從圖1、圖2可看出，當(dāng)滿足τ∈(0，8.72]時(shí)，模型(2)在帶有分布式的控制器(3)的情況下實(shí)現(xiàn)了相繼滯后同步。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)軌跡

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相繼滯后同步誤差

2)驗(yàn)證模型(2)帶有集中式控制器(4)的情形。選取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=20，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣：

根據(jù)文獻(xiàn)[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,Φ=cπ(M)×In-1,π(M)=0，

為了滿足定理1條件，取c=0.1,d=15，可得

M1=diag{-10.62+0.1a22+h,-10.62+

0.1a33+h,…,-10.62+0.1a2020+h}。

通過(guò)對(duì)不等式M1×I3≤0進(jìn)行求解，可得滿足定理1的最大時(shí)滯h=4.02。選擇τ=3進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變化軌跡如圖3所示，圖4為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相繼滯后同步誤差，i=1,2,…,20。從圖3、4可看出，在滿足τ∈(0，4.02]時(shí)，帶有集中式控制器(4)的模型(2)實(shí)現(xiàn)了相繼滯后同步，即得到了使模型(2)達(dá)到相繼滯后同步依賴于時(shí)滯的漸進(jìn)穩(wěn)定條件。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)軌跡

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相繼滯后同步誤差

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)相繼滯后同步模型的不依賴于時(shí)滯的同步條件進(jìn)行了研究。不依賴時(shí)滯穩(wěn)定性條件對(duì)時(shí)滯的大小無(wú)要求，該條件通常是保守的。若已知時(shí)滯很小，則探索依賴時(shí)滯的同步條件，將更具有實(shí)際意義?；谖墨I(xiàn)[17]，針對(duì)該分布式模型考慮了穩(wěn)定性條件中的依賴于時(shí)滯的同步問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，應(yīng)用Barbalat引理，得到了使模型(2)達(dá)到相繼滯后同步且依賴于時(shí)滯的漸進(jìn)穩(wěn)定條件。數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。