周昱潔， 彭振赟， 尚邵陽(yáng)

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

矩陣方程的求解是數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域的重要課題之一，在工程技術(shù)、控制理論和圖像處理等方面有極大的實(shí)用價(jià)值。矩陣方程

AX=B

(1)

是最簡(jiǎn)單也是研究最多的矩陣方程類型，求解方法主要包括直接解法和迭代解法2大類。Bjerhammar[1]利用矩陣的廣義逆研究了該矩陣方程在一般矩陣集合中的求解問題，并給出了有解的充要條件和通解的表達(dá)式。Allwright[2]采用凸分析的方法對(duì)矩陣方程(1)在對(duì)稱半正定矩陣集合中的反問題進(jìn)行了研究，給出了最小二乘解存在的條件，但未給出解的具體表達(dá)式。謝冬秀[3]通過(guò)引入新的內(nèi)積并應(yīng)用閉凸錐逼近理論得出了該矩陣方程存在半正定最小二乘解的充要條件以及通解的表達(dá)式。文獻(xiàn)[4-6]分別就中心對(duì)稱矩陣、廣義(反)對(duì)稱和廣義(反)自反矩陣、(反)對(duì)稱正交矩陣集合對(duì)該矩陣方程進(jìn)行了研究。彭亞新[7]首次利用共軛梯度算法的思想，構(gòu)造了共軛殘差算法求解矩陣方程(1)的一般解、(反)對(duì)稱解及中心對(duì)稱解等。郭孔華[8]通過(guò)構(gòu)造正交投影迭代法，進(jìn)一步研究了矩陣方程(1)的幾種對(duì)稱性解及其最佳逼近問題。在矩陣方程(1)有解的情況下，Ding等[9]參照J(rèn)acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法提出了一種更廣義的基于梯度的迭代算法，因收斂因子μ的存在保證了算法的收斂性，但由于該基于梯度的迭代算法只使用當(dāng)前迭代近似解來(lái)決定新的迭代近似解，在求解大規(guī)模矩陣方程時(shí)可能出現(xiàn)收斂速度緩慢的情況。

鑒于此，提出一種求解矩陣方程(1)及其最小二乘問題的多步迭代算法，即通過(guò)前m+1個(gè)迭代近似解的特定線性組合[10-14]來(lái)估計(jì)下一步迭代近似解，并證明了算法的收斂性。數(shù)值結(jié)果表明，本算法相對(duì)于基于梯度的迭代算法具有更好的收斂效果。

1 矩陣方程(1)的多步迭代算法及其收斂性

基于梯度的迭代算法[9]：給定初始近似解X0，按照迭代格式

Xk+1=Xk+μAT(B-AXk)

(2)

計(jì)算矩陣方程(1)的第k+1步迭代近似解，其中：

λmax(ATA)為對(duì)稱矩陣ATA的最大特征值。

基于梯度的迭代算法是單步迭代算法，當(dāng)矩陣A為列滿秩矩陣時(shí)，由該算法得到的矩陣序列{Xk}收斂到矩陣方程(1)的唯一解：

X*=(ATA)-1ATB=A+B。

基于梯度的迭代算法也是不動(dòng)點(diǎn)迭代法[14]，令

g(X)=(I-μATA)X+μATB，

則基于梯度的迭代算法的迭代格式(2)可改寫為

Xk+1=g(Xk)。

算法1令

f(X)=g(X)-X，

則求解矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的多步迭代算法為：

2)若‖f(Xk)‖F(xiàn)≤ε，則程序運(yùn)行終止，此時(shí)，Xk即為矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的解；

3)令mk=min{m,k}；

(3)

5)令

(4)

為了方便討論算法1的收斂性，給出如下引理。

引理1[15]若x*為線性方程組Ax=b的解，且x*∈R(AT)，則x*是線性方程組Ax=b的最小Frobenius范數(shù)解。

引理2若X*為矩陣方程AX=B的解，且X*=ATH，H為任意矩陣，則X*為矩陣方程AX=B及其最小二乘問題的最小Frobenius范數(shù)解。

設(shè)m×n階矩陣A的奇異值分解為

(5)

其中：U=(U1,U2),U1∈Rr×m為m階正交矩陣；V=(V1,V2),V1∈Rr×n為n階正交矩陣；Σ=diag(δ1,δ2,…,δr)>0，r=rank(A)，則X=ATH等價(jià)于X=VH。

引理3若X*為矩陣方程AX=B的解，且X*=VH，則X*為矩陣方程AX=B及其最小二乘問題的最小Frobenius范數(shù)解。

對(duì)于算法1，有如下收斂性定理。

證明由矩陣函數(shù)f(X)和g(X)的定義可知：

f(Xk+1)=μATB-μATAXk+1。

(6)

f(Xk+1)=μATB-μATAXk+1=μATB-μATA×

因此，

(7)

所以式(7)可轉(zhuǎn)化為

‖f(Xk+1)‖F(xiàn)≤‖I-μATA‖2·‖f(Xk)‖F(xiàn)。

‖f(Xk+1)‖F(xiàn)≤c‖f(Xk)‖F(xiàn)≤…≤ck+1‖f(X0)‖F(xiàn)。

因此，當(dāng)k→∞時(shí)，有‖f(Xk)‖F(xiàn)→0，f(Xk)→0，由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于與矩陣方程(1)等價(jià)的法方程ATAX=ATB在Rn×n內(nèi)的解。若A為列滿秩矩陣，則算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的唯一解A+B；若A為非列滿秩矩陣，且其奇異值分解為式(5)，則由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程ATAX=ATB在Rn×n內(nèi)的一個(gè)解

如何加強(qiáng)圖書、音像、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、學(xué)術(shù)、創(chuàng)作展演等信息資源的整合，利用教學(xué)輔助條件，滿足人才培養(yǎng)目標(biāo)；如何把教學(xué)平臺(tái)、實(shí)踐平臺(tái)和信息平臺(tái)等方面的條件有機(jī)的融合貫通，把“學(xué)校大課堂，傳媒大舞臺(tái)”的教學(xué)模式，融入到圖書館的工作中，就必須營(yíng)造全方位的服務(wù)支撐節(jié)點(diǎn)，進(jìn)一步深化圖書館服務(wù)，提升精準(zhǔn)服務(wù)水平。

(8)

其中G為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。矩陣方程AX=B的最小二乘解同樣地可表示為式(8)，則由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的一個(gè)最小二乘解。

定理2當(dāng)選取初始矩陣X0=ATH，或直接令初始矩陣X0=0，則由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)的唯一的最小Frobenius范數(shù)最小二乘解X*=A+B。進(jìn)一步地，若X*為矩陣方程(1)的解或其最小二乘問題的解，則有

(9)

其中，

c=‖I-μATA‖2<1。

若X*為矩陣方程(1)的解，則有ATAX*=ATB，因此有

f(Xk)=μATB-μATAXk=-μATA(Xk-X*)=

-[I-(I-μATA)](Xk-X*)。

因

‖f(Xk+1)‖F(xiàn)≤c‖f(Xk)‖F(xiàn)≤…≤ck+1‖f(X0)‖F(xiàn)，

其中c=‖I-μATA‖2<1，則有

(1-c)‖Xk-X*‖F(xiàn)≤‖f(Xk)‖F(xiàn)≤

c‖f(Xk-1)‖F(xiàn)≤…≤ck‖f(X0)‖F(xiàn)≤

ck(1+c)‖X0-X*‖F(xiàn)。

因此，有

定理3若矩陣方程AX=B有解，則由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的一個(gè)解，當(dāng)選取初始矩陣為X0=ATH，或直接取X0=0時(shí)，由算法1產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)唯一的最小Frobenius范數(shù)最小二乘解為X*=A+B。若X*為矩陣方程(1)的解，則誤差估計(jì)式(9)成立。

矩陣方程(1)有解時(shí)，其解的表達(dá)式與其最小二乘解的表達(dá)式相同，則與定理1和定理2一樣可以證明關(guān)于算法1的收斂性定理3。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

數(shù)值算例中矩陣A、B均由MATLAB軟件隨機(jī)產(chǎn)生，所有數(shù)據(jù)均在Window7 64-bit MATLAB R2013a環(huán)境下獲得。對(duì)于多步迭代算法1，實(shí)驗(yàn)中初始矩陣X0選取為零矩陣，終止準(zhǔn)則為‖f(Xk)‖F(xiàn)<10-6。

例1給定矩陣A∈R7×5和B∈R7×5：

A=

B=

由于矩陣A為列滿秩矩陣，矩陣方程AX=B有唯一精確解。應(yīng)用基于梯度的迭代算法和多步迭代算法1均可得矩陣方程(1)在Rn×n內(nèi)的唯一精確解：

X*=A+B=

表1 基于梯度的迭代算法在選取不同收斂因子μ的數(shù)值結(jié)果

表2 多步迭代算法1在選取不同收斂因子μ和正整數(shù)m的數(shù)值結(jié)果

由表1、表2可得如下結(jié)論：

2)對(duì)于多步迭代算法1，當(dāng)m=2或m=3時(shí)，其數(shù)值結(jié)果受2個(gè)收斂因子μ和m的共同影響，難以選擇最佳收斂因子，當(dāng)4≤m≤6時(shí)，其數(shù)值結(jié)果只受收斂因子m的影響，且m≥5時(shí)收斂效果最佳。

3)多步迭代算法的收斂性比基于梯度的迭代算法好，當(dāng)2種算法的收斂因子μ取相同數(shù)值時(shí)，多步迭代算法有明顯的加速收斂效果。

表3 不同矩陣維數(shù)下基于梯度的迭代算法的數(shù)值結(jié)果

由表3、表4可得如下結(jié)論：

1)隨著矩陣A的規(guī)模增大，多步迭代算法的收斂性始終比基于梯度的迭代算法要好。對(duì)于同一矩陣方程，多步迭代算法有明顯的加速收斂效果。

2)對(duì)于大規(guī)模矩陣方程AX=B，固定收斂因子μ，當(dāng)m≥6時(shí)，多步迭代算法1的收斂效果最佳。

3)由于多步迭代算法使用前m+1個(gè)迭代近似解的線性組合，隨著矩陣維數(shù)的增加，雖然加速效果依然明顯，但運(yùn)行時(shí)間也相對(duì)增加。因此，收斂因子m的選擇并非越大越好，應(yīng)根據(jù)矩陣方程的規(guī)模大小適當(dāng)選取收斂因子μ和m，以達(dá)到最佳的收斂效果。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)研究矩陣方程AX=B及其最小二乘問題，提出了一種使用前m+1個(gè)迭代近似解的線性組合來(lái)決定下一步迭代近似解的多步迭代算法。該算法能夠使新的迭代近似解更接近原問題的精確解，從而

表4 不同矩陣維數(shù)下算法1在選取不同參數(shù)因子m的數(shù)值結(jié)果

減少迭代次數(shù)，達(dá)到更快收斂到問題的精確解的目的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性，且比基于梯度的迭代算法具有更好的收斂效果。該算法應(yīng)用到其他類型的矩陣方程時(shí)的收斂效果還有待進(jìn)一步研究。