褚兆飛，駱 英，秦 云

（江蘇大學(xué)國(guó)家級(jí)高端裝備關(guān)鍵結(jié)構(gòu)健康管理國(guó)際聯(lián)合研究中心，鎮(zhèn)江，212000）

引 言

Lamb 波相控陣監(jiān)測(cè)技術(shù)一直是板狀結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)研究的熱點(diǎn)，該技術(shù)利用Lamb 波對(duì)結(jié)構(gòu)中的裂紋等小損傷較為敏感這一特性，在結(jié)構(gòu)中預(yù)置激勵(lì)器/傳感器陣列，陣列接收板中包含損傷特征信息的Lamb 波信號(hào)并對(duì)其分析解讀，進(jìn)而可對(duì)結(jié)構(gòu)損傷實(shí)施成像監(jiān)測(cè)[1]，而相控陣成像所用算法的運(yùn)算效率及成像精度對(duì)最終損傷評(píng)估有著重要影響，既有超聲相控陣方法多采用時(shí)域延時(shí)疊加(Delay and sum,DAS)成像算法[2?3]，該類雖具有成像計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，但成像結(jié)果都會(huì)受到主瓣、旁瓣的影響，使得成像結(jié)果橫向分辨率差，且存在旁瓣偽影。為此，最小功率無(wú)畸變（Minimum power without distortion re?sponse, MPDR）自適應(yīng)波束形成算法在Lamb 波損傷檢測(cè)領(lǐng)域已得以應(yīng)用[4?7]，其相較于傳統(tǒng)時(shí)域DAS成像算法具有成像分辨率高，可抑制旁瓣偽影的優(yōu)點(diǎn)，然MPDR 算法在超聲Lamb 波損傷檢測(cè)中的應(yīng)用面臨諸多挑戰(zhàn)：（1）超聲Lamb 波所特有的頻散特性將導(dǎo)致信號(hào)時(shí)域波形畸變，影響基于時(shí)域成像方法的精度；（2）自適應(yīng)算法涉及譜矩陣求逆計(jì)算，直接進(jìn)行求逆運(yùn)算效率低，需耗費(fèi)大量計(jì)算資源；（3）構(gòu)成譜矩陣的有效信息量少，導(dǎo)致奇異矩陣無(wú)法求逆。

針對(duì)頻散問(wèn)題，駱英等[8]根據(jù)頻散關(guān)系對(duì)不同頻率信號(hào)施加不同的相位延時(shí)，去除了頻散對(duì)成像結(jié)果的影響。按此思路，可在頻域上進(jìn)行MPDR 算法處理，如此有效解決了頻散對(duì)MPDR 算法的影響。

針對(duì)矩陣求逆計(jì)算困難的問(wèn)題，已有文獻(xiàn)提出最小二乘遞推算法（Recursive least squares, RLS）來(lái)求解矩陣逆[9?10]，其可與MPDR 算法相結(jié)合并進(jìn)一步優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，提高效率。而對(duì)于奇異矩陣無(wú)法求逆的問(wèn)題，亦有文獻(xiàn)提出使用對(duì)角加載改進(jìn)算法，提高算法穩(wěn)健性[11]。

綜上，本文研究了適用于Lamb 波損傷檢測(cè)的MPDR 算法，其利用自適應(yīng)算法提高了損傷成像區(qū)域的橫向分辨率，有效抑制旁瓣偽影；通過(guò)在頻域上進(jìn)行波束形成以消除頻散對(duì)成像結(jié)果的影響；通過(guò)RLS 算法及對(duì)角加載技術(shù)相結(jié)合以實(shí)現(xiàn)譜矩陣的求逆運(yùn)算，優(yōu)化了計(jì)算過(guò)程。

1 MPDR 算法基本原理

1.1 壓電陣列接收到的信號(hào)模型

用換能器主動(dòng)激勵(lì)Lamb 波，使其在鋁板中與損傷相互作用發(fā)生散射，再由接收壓電陣列采集。由于本文考慮在頻域上進(jìn)行MPDR 算法處理以去除頻散對(duì)成像結(jié)果的影響，由此需對(duì)接收陣列所采集的頻域信號(hào)進(jìn)行建模，根據(jù)文獻(xiàn)[6]，接收陣元i所接收到的頻域信號(hào)為

該頻域信號(hào)由D個(gè)空間散射源對(duì)應(yīng)的多模態(tài)信號(hào)組成，其中D為空間散射點(diǎn)數(shù)目；m表示Lamb 波傳播模態(tài)；rds,rdi分別為信號(hào)激勵(lì)源s到散射點(diǎn)d的距離，散射點(diǎn)d到陣元i的距離，其具體表示為：rds=|zd-zs|，rdi=|zd-zi|，zd、zi、zs分別表示散射點(diǎn)d，陣元i，激勵(lì)源s的空間位置；T(ω)表示激勵(lì)信號(hào)的頻域，Rdm表示散射點(diǎn)d對(duì)模態(tài)m的Lamb 波的散射系數(shù)，km(ω)為模態(tài)m，角頻率ω所對(duì)應(yīng)的波數(shù)，該波數(shù)可由文獻(xiàn)[12]所研究的Rayleigh?Lamb 方程求解得出。根據(jù)式（1）可推導(dǎo)出M個(gè)陣元所接收到頻域信號(hào)矢量模型為

式中

vm(ω,zd)為導(dǎo)向矢量，用于表征陣列接收到單模態(tài)、單散射源信號(hào)的相位及幅度差異特征，可表示為

1.2 應(yīng)用于Lamb 損傷檢測(cè)的MPDR 權(quán)值求解

最小功率波束形式算法的最優(yōu)加權(quán)向量是在保持對(duì)空間位置z=(x, y)處傳來(lái)的Lamb 波增益不變的條件下，使陣列輸出的能量最小而得到的[6]。

式中Rx為譜矩陣。利用拉格朗日數(shù)乘法可解得最優(yōu)權(quán)值矢量為

考慮到在單陣元發(fā)射、多陣元接收這種檢測(cè)方案下，接收傳感陣列只會(huì)接收到一組損傷信號(hào)，則對(duì)應(yīng)的X(ω)只有一次采樣數(shù)據(jù)，由此譜矩陣可表示為

本文σ2的取值參考文獻(xiàn)[11]選取的方法，則

且本文中令

1.3 RLS 遞推求逆

在MPDR 最優(yōu)權(quán)值求解中，計(jì)算涉及到矩陣求逆運(yùn)算，常規(guī)矩陣求逆采用伴隨矩陣求逆法，其耗費(fèi)極大的計(jì)算資源，降低了計(jì)算效率。為此本文引入了最小二乘法遞推法（Recursion least squares，RLS），其通過(guò)迭代形式實(shí)現(xiàn)矩陣求逆運(yùn)算，其具體形式如圖1 所示。

X(ω,k)表示對(duì)X(ω)的第k次采樣，P(k)即為第k次遞推得到的譜矩陣逆，而在本文中只需進(jìn)行一次遞推求逆，只需初始化P(0)=I/σ2，遞推結(jié)果P(1)為所需求解的逆，經(jīng)遞推后的所求矩陣逆為

圖1 RLS 遞推求逆流程圖Fig.1 RLS recursive inverse flow chart

而根據(jù)式（6），用（a為一復(fù)數(shù)）代替原并不會(huì)使權(quán)值wm發(fā)生改變，由此可對(duì)式（11）進(jìn)一步簡(jiǎn)化，令

使式（11）中的除法變?yōu)槌朔?，?jì)算更易實(shí)現(xiàn)。

1.4 損傷成像指標(biāo)求解及優(yōu)化

根據(jù)求解的權(quán)值，位置z處的波束合成輸出

如此式（13）可簡(jiǎn)化為

可得式（15）比式（13）少計(jì)算M2-1 次復(fù)數(shù)乘法，M2-M次復(fù)數(shù)加法（M表示陣元數(shù)目）。頻域波束合成求解后，即可整合z點(diǎn)所有頻域波束合成值Y(ω,z)進(jìn)行逆傅里葉變換求取z處的成像指標(biāo)

式（16）只對(duì)Y(ω,z)的正頻率部分進(jìn)行了逆傅里葉變換，目的是取逆傅里葉變換結(jié)果的包絡(luò)信號(hào)，且以零時(shí)刻幅值作為z處成像指標(biāo)輸出。

1.5 成像流程

前面的部分詳細(xì)描述了成像所用到的方法，其具體成像過(guò)程如下：

(1)陣列采集Lamb 波信號(hào)并從中剔除直達(dá)波及邊界反射信號(hào)得到損傷散射信號(hào)。

(2)將信號(hào)傅里葉變換到頻域，得到頻域采樣數(shù)據(jù)X(ω)。

(3)進(jìn)行譜矩陣求逆運(yùn)算（如式（12）所示）。

(4)對(duì)位置z求取頻域波束合成值（如式（15）所示）。

(5)重復(fù)步驟(3)、(4)直至所有頻率點(diǎn)及位置點(diǎn)的頻域波束合成值求解完成。

(6)求取所有位置的成像指標(biāo)（如式（16）所示）。

2 成像算法的COMSOL 仿真驗(yàn)證

為檢驗(yàn)MPDR 算法特性，在Comsol 平臺(tái)設(shè)置如圖2（a）所示鋁板結(jié)構(gòu)模型，材料參數(shù)如表1，激勵(lì)源位于鋁板中心，以150 kHz 中心頻率的五峰波作為檢測(cè)波，采樣點(diǎn)間隔為3.86 mm，其為150 kHz 頻率下A0模態(tài)對(duì)應(yīng)的半波長(zhǎng)，取離面方向的結(jié)構(gòu)位移量作為信號(hào)輸出，最終仿真出的信號(hào)如圖2（b）所示，其損傷散射信號(hào)部分經(jīng)放大后如圖2（c）所示，其中A0模態(tài)所引起的主要為離面方向，而S0模態(tài)所引起的主要為面內(nèi)位移[13]，因此離面方向的損傷散射信號(hào)以A0模態(tài)為主。分別利用MPDR 算法、頻域DAS 算法及時(shí)域DAS 算法進(jìn)行成像處理，其最終成像結(jié)果如圖3 所示。為評(píng)估成像結(jié)果，引入陣列性能指標(biāo)（Array performance indicator, API）[14]，該指標(biāo)定義為損傷處幅值最大值下降到50%之內(nèi)所有像素點(diǎn)的面積S。

表1 仿真材料相關(guān)參數(shù)Table 1 Simulation material related parameters

圖2 仿真示意圖Fig.2 Simulation diagram

圖3 仿真成像結(jié)果圖Fig.3 Simulation imaging results

此處λ取激勵(lì)信號(hào)中心頻率下A0模態(tài)對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，API 越小，說(shuō)明成像分辨率越高。對(duì)比圖3中各個(gè)成像結(jié)果的API 指數(shù)以及損傷位置準(zhǔn)確度可得結(jié)果如表2 所示，經(jīng)分析可得如下結(jié)果：

（1）MPDR 損傷區(qū)域徑向分辨率與相較于時(shí)域DAS 損傷區(qū)域徑向分辨率有了顯著提高，分析原因在于MPDR 算法能去除頻散對(duì)成像結(jié)果的影響，提高了徑向分辨率亦提高了損傷定位準(zhǔn)確度。

（2）MPDR 成像結(jié)果的損傷區(qū)域橫向分辨率顯著優(yōu)于時(shí)域及頻域DAS 算法，且MPDR 算法可有效抑制時(shí)域及頻域DAS 算法中的旁瓣偽影，分析原因?yàn)镸PDR 算法可有效抑制非掃查方位的回波信號(hào)，保證掃查結(jié)果接近真實(shí)情況，有效提高了損傷區(qū)域的橫向分辨率，且抑制了旁瓣偽影。

表2 仿真成像結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of simulation imaging results

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證MPDR 算法的特性，特搭建如圖4 所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)中所用的鋁板尺寸為1 000 mm×1 000 mm×1 mm，以鋁板中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，黏貼7 個(gè)間隔為8 mm 的壓電片（型號(hào)APC851，直徑7 mm，厚度0.2 mm）位于(-24 mm, 0 mm)～(24 mm, 0 mm)范圍內(nèi)，預(yù)制直徑4 mm 圓形通孔損傷位于坐標(biāo)(50 mm, 100 mm)，壓電陣列布置實(shí)物如圖4（b），具體實(shí)驗(yàn)步驟如下：

（1）利用信號(hào)發(fā)生模塊產(chǎn)生100 kHz 五峰波信號(hào)，經(jīng)DA 轉(zhuǎn)換、濾波及高壓放大后產(chǎn)生Lamb 波信號(hào)，該發(fā)射壓電片位置位于中心原點(diǎn)。

（2）Lamb 波信號(hào)發(fā)射之后發(fā)射壓電片轉(zhuǎn)換為接收功能，接收陣列開(kāi)始采集信號(hào)，陣列將采集到的微弱損傷散射信號(hào)經(jīng)由前端放大、濾波電路、AD 轉(zhuǎn)換傳輸給FPGA 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

（3）FPGA 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將采集到的數(shù)據(jù)打包通過(guò)串口傳輸至上位機(jī)中。

（4）上位機(jī)利用Matlab 軟件將采集到的信號(hào)以A0模態(tài)為基準(zhǔn)進(jìn)行成像處理并顯示。

最終實(shí)驗(yàn)所采集的損傷信號(hào)如圖5 所示，可以看出損傷散射信號(hào)以A0模態(tài)為主，而S0模態(tài)信號(hào)微弱，難以區(qū)分，原因在于A0模態(tài)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)位移主要在離面方向，而本實(shí)驗(yàn)所使用的壓電晶片對(duì)于離面位移更加敏感，根據(jù)此損傷散射信號(hào)，最終的損傷成像結(jié)果如圖6 所示，對(duì)比成像結(jié)果的API 指數(shù)以及損傷位置準(zhǔn)確度可得結(jié)果見(jiàn)表3。

可得MPDR 算法的成像結(jié)果顯著優(yōu)于時(shí)域及頻域DAS 算法，MPDR 算法的成像有效區(qū)域相較于時(shí)域DAS算法成像有效區(qū)域面積縮小了56.3%；相較于頻域DAS 算法的有效區(qū)域面積縮小了54.8%。此外MPDR 成像結(jié)果有效抑制了旁瓣偽影，有效提高了損傷區(qū)域的橫向分辨率，此外通過(guò)在頻域上實(shí)施MPDR 算法，有效去除了頻散對(duì)成像結(jié)果的影響，提高了成像結(jié)果的徑向分辨率。以上結(jié)論與仿真結(jié)果保持一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所研究MPDR 算法的優(yōu)異性能。

圖5 實(shí)驗(yàn)損傷散射信號(hào)Fig.5 Experimental damage scattering signal

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of experimental results

圖6 實(shí)驗(yàn)成像結(jié)果圖Fig.6 Experimental imaging results

為分析RLS 遞推及算法優(yōu)化對(duì)成像效率的影響，在Matlab 中分別利用優(yōu)化后的RLS 求逆MPDR 算法以及伴隨矩陣求逆MPDR 算法進(jìn)行成像，其成像過(guò)程所耗費(fèi)時(shí)間如表4 所示。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的RLS 求逆MPDR 算法相較于伴隨矩陣求逆MPDR 算法提高了61.4%的計(jì)算效率。

表4 成像耗費(fèi)時(shí)間對(duì)比Table 4 Comparison of time consuming on imaging

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種適用于Lamb 波損傷檢測(cè)的MPDR 波束形成算法，該算法通過(guò)最小二乘遞推與對(duì)角加載相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)了譜矩陣求逆運(yùn)算，通過(guò)變換到頻域處理得以消除頻散對(duì)成像結(jié)果的影響。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)表明，與時(shí)域DAS 算法相比，本文所研究的MPDR 算法能有效提高成像分辨率，有效抑制旁瓣偽影，去除頻散對(duì)成像結(jié)果的影響，提高最終損傷評(píng)估準(zhǔn)確度，同時(shí)對(duì)MPDR 的優(yōu)化改進(jìn)使得計(jì)算量降低，提高了計(jì)算效率。本文所研究的超聲Lamb 波相控陣自適應(yīng)成像方法在金屬板狀結(jié)構(gòu)的成像檢測(cè)精度和檢測(cè)效率方面得到改進(jìn)，相關(guān)成果有望為進(jìn)一步優(yōu)化發(fā)展自適應(yīng)波束形成算法提供新方法，也有望為超聲Lamb 波相控陣損傷檢測(cè)的實(shí)際工程運(yùn)用提供理論和方法基礎(chǔ)。