徐大專，陳 月，陳越帥，許生凱，羅 浩

（南京航空航天大學電子信息工程學院，南京，211106）

引 言

近年來，在雷達中使用多載波信號引起了人們極大的興趣[1]。多載波雷達信號可以看作是量化了的頻域信號，合成大帶寬獲得高距離分辨率，且子載波形式適于采用多通道結構獲得窄帶處理的優(yōu)勢，符合了現(xiàn)代雷達多頻段化的趨勢[2]。Prasad 提出了多載波雷達系統(tǒng)框架，發(fā)現(xiàn)多載波雷達系統(tǒng)具有良好的抗噪聲、抗干擾和探測能力[3]。

正交頻分復用技術(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是一種受到廣泛關注的多載波調制方式，具有較強的抗衰落和抗干擾能力、較高的頻譜利用率以及易于系統(tǒng)實現(xiàn)等優(yōu)點[4]。目前，OFDM 技術逐漸引入到雷達系統(tǒng)中。雷達系統(tǒng)對發(fā)射波形有特殊要求，Zadoff?Chu 序列具有恒包絡特性和良好的自相關特性，因此，采用 Zadoff?Chu 序列 OFDM 信號（Orthogonal frequency division multi?plexing?Zadoff?ChuOFDM?ZC）是 非 常 理 想 的 發(fā) 送 波 形[5]。 使 用 循 環(huán) 前 綴 Zadoff?Chu 序 列 的 MI?MO?OFDM 雷達可以實現(xiàn)對子載波的無IRCI 重建[6]。

怎樣將信息論的思想和方法運用于雷達探測系統(tǒng)，國內(nèi)外學術界進行了有益的探索。早在香農(nóng)信息論[7]創(chuàng)立不久，Woodward 和Davies 即開展雷達探測系統(tǒng)中目標的距離互信息問題的研究[8?10]。他們采用逆概率原理，給出了單目標場景下距離信息的定義，并在高信噪比條件下得到了目標的距離信息的解析表達式。他們只研究了目標幅度為常數(shù)的情況，也就是說，只研究了雷達探測系統(tǒng)中目標的距離信息問題，而沒有涉及目標的幅度信息問題。

Bell 的開創(chuàng)性論文中將互信息測度用于雷達波形設計[11?12]。Bell 將雷達信號的目標散射過程等效于一個多徑信道，那么，在高斯過程假設條件下，接收信號與目標沖激響應之間的互信息就是信道容量。這樣，波形設計問題對應于信道容量在約束條件下的優(yōu)化問題。因此，最佳波形設計對應于信道容量最大化時的功率注水解。Bell 的方法用目標沖激響應刻畫雷達目標散射信道，其模型并不區(qū)別不同的目標，也不涉及目標的距離。也就是說，Bell 的工作只研究了雷達探測系統(tǒng)中的幅度信息問題，而沒有涉及雷達探測系統(tǒng)中的距離信息問題。文獻[13]中首次同時研究了雷達探測的距離信息問題和幅相信息問題，然而針對的是單載波雷達系統(tǒng)。

本文針對多載波雷達系統(tǒng)，運用香農(nóng)信息理論的思想和方法建立了一個信息理論模型，同時研究目標的距離信息問題以及幅相信息問題。假設在復加性高斯白噪聲（Complex additive white gaussian noise,CAWGN）信道中，采用Zadoff?Chu 序列多載波信號，單目標的距離在探測區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，目標的模型分為常散射系數(shù)和復高斯分布兩種情形，這兩種假設情形基于Woodword 的研究[8]。以此為前提，本文推導了目標的概率密度分布函數(shù)，距離信息和幅相信息，仿真驗證了它們與信噪比的關系，給出了高信噪比條件下無偏估計量的克拉美羅界以及中低信噪比下信息量的理論界。

本文研究表明，目標的信息量和均方誤差一樣，可以作為雷達系統(tǒng)的另一種性能測度。以距離信息為例，雷達系統(tǒng)每獲得1 比特距離信息就意味著目標的探測范圍縮小了一半。隨著距離信息量的增加，I比特信息量意味著系統(tǒng)的探測精度為2-I。事實上，在中低信噪比環(huán)境下，目標可能位于一些不相鄰的區(qū)域，目標估計的誤差并不完全服從高斯分布，因此，在嚴格意義上，這時用均方誤差作為估計精度的性能指標并不準確。本文以比特為單位來衡量雷達系統(tǒng)的性能，為觀察雷達系統(tǒng)提供一個新的角度。

1 多載波雷達系統(tǒng)模型

雷達天線發(fā)射信號并接收經(jīng)過目標反射的回波信號，以此來獲取目標的探測信息，距離信息反映目標與接收端的距離，與時延有關。幅相信息反映目標的散射系數(shù)和相位分布。假設發(fā)射信號由N個子載波組成，帶寬是BHz，令F=[F0,F1,…,FN-1]T表示通過子載波傳輸?shù)膹蛿?shù)序列，并且這里Fk選用Zadoff?Chu 序列，ZC 序列具有非常好的自相關性，且具有恒包絡特性，是目前優(yōu)先選擇的多載波雷達信號波形。給每個子載波加上循環(huán)前綴(Cyclic prefix,CP)后，作為發(fā)射波形發(fā)送出去。那么，多載波時域發(fā)送信號為

式中：s(t)為基帶信號，發(fā)送信號可以表示為載波為fc，初相為φ0。信號長度為T，Δf=B/N=1/T是子載波間隔。[-T/2-TCP,-T/2]是在離散時域中對應于CP 的保護間隔的持續(xù)時間（為了方便表述，這里用了負號），其長度TCP取T，T是不包括CP 的多載波信號的長度，也就是[-T/2-TCP,-T/2]是[-T/2,T/2]的重復，如圖1 所示。

圖1 加循環(huán)前綴的多載波信號結構Fig.1 Multi?carrier signal structure with cyclic prefix

雷達探測的距離可以用時延表示，假定探測范圍是[-D2,D2)，那么對應的時延范圍是[-T2,T2)，時延間隔是Δ，這里T= 2D v，v表示信號傳播速度。α表示目標的散射系數(shù)，d表示目標和接收端的距離，目標的時延τ可以表示為τ= 2d v。將接收端收到的回波信號下變頻到基帶，并通過帶寬為B/2 的低通濾波器，則接收到的窄帶信號可表示為

令y=αejφ，φ=-2πfcτ+φ0，w(t)表示復高斯白噪聲，實部和虛部均服從N(0,N02 )分布，N02是噪聲功率。用B速率對接收信號z(t)進行采樣，令t=n/B，得到采樣序列為

式中n=-N2,…,N2 -1。通過分析，可以將N=TB表示歸一化探測區(qū)間，也稱為時間帶寬積（Time bandwidth product,TBP）。令x=τB表示目標的歸一化時延，x∈ [-N/2,N/2)，因此，用歸一化時延表示的離散化采樣信號為

接收信號z(t)能夠完全由N點離散序列z(n)重建，且w(n)的采樣值之間相互獨立。圖2 表示接收信號和參考信號的互相關信號的連續(xù)波形和離散波形，假設目標位于區(qū)間中間，后面主要分析在歸一化觀測區(qū)間的結果。

圖2 3 種探測區(qū)間與互相關信號波形Fig.2 Three detection intervals and cross?correlation signal waveform

本文定義回波信號中有用信號的平均功率和噪聲功率之比為信噪比，用ρ2表示，SNR=20log(ρ2)，由于所以

2 探測目標距離信息和幅相信息的統(tǒng)一定義及描述方法

為了更好地表達和分析信號之間的關系，將式（4）寫成矢量形式

式中：Z=[z-N2,…,zN2-1]T表示采樣信號矢量，U=[u-N2,…,uN2-1]T表示信號矢量，u-N/2=s(-N/2-x)，W=[w-N2,…,wN2-1]T表示噪聲矢量。另外，X表示距離參數(shù)，Y表示幅相參數(shù)，進一步，A表示幅度參數(shù)，Φ表示相位參數(shù)。雷達探測的目的是從Z中估計X和Y。互信息I(Z;X,Y)表示能夠從采樣序列Z中獲得關于X和Y的信息量。根據(jù)互信息的定義和等式，有

式中I(Z,X)表示目標的距離信息，I(Z,Y|X)表示在距離信息X條件下目標的幅相信息。本文假設了目標的散射系數(shù)α為常數(shù)和目標為復高斯分布兩種情形，在常散射系數(shù)情況下幅相信息可以簡化為相位信息I(Z,Φ|X)。從式（7）中可以發(fā)現(xiàn)幅相信息依賴于距離信息，因此雷達系統(tǒng)探測需要分兩步進行，首先探測距離信息，然后探測幅相信息。

在雷達探測之前，對目標的距離信息一無所知，也就是目標在探測區(qū)間內(nèi)呈均勻分布。因此，距離參數(shù)X的先驗概率為p(x) =1/N。由于當載波非常高時，時延微小的的變化都會導致相位很大的變化，所以這里可以假定φ在[0,2π]內(nèi)均勻分布，也就是φ的先驗概率為p(φ) =1/2π。已知W是復高斯白噪聲，它的先驗概率密度為

根據(jù)高斯估計模型，可以寫成w(n) =z(n) -y0s(n-x0)，那么，在X，A和Φ條件下Z的N維高斯概率密度函數(shù)為

首先來分析目標的距離信息。運用概率公式p(z,x,φ|α) =p(x)p(φ)p(z|x,φ,α)，并對式(10)進行分解，可以得到在給定Α的條件下，Z、X和Φ的聯(lián)合概率密度為

式中R(?)表示取復數(shù)的實部。根據(jù)概率論的定義，可以得到Z和X的聯(lián)合概率密度為

令

則

這里I0(?)表示第1 類零階修正貝塞爾函數(shù)，式（12）可以寫成

利用貝葉斯公式，可以得出目標歸一化距離X的概率密度函數(shù)為

根據(jù)互信息的定義，可以計算單目標探測的距離信息為

考慮目標的幅相信息，由上述推導，同樣可以得到Z和X條件下Y的概率密度為

根據(jù)條件互信息恒等式，可以得到X條件下的雷達探測系統(tǒng)的幅相信息為

式中H(Y|Z,X)表示在Z和X條件下Y的熵，H(Y|X)是Y的先驗信息。距離信息和幅相信息共同構成了雷達探測的互信息I(Z;X,Y)。

3 目標的距離信息

3.1 目標散射系數(shù)為常數(shù)的距離信息及克拉美羅界

當目標的散射系數(shù)為常數(shù)Α時，p(α) =Αδ(x-x0)，此時的信噪比為ρ2= 2A2N0，由式（16）得到

代入式（17）可以計算距離信息。

克拉美羅界(Cramer?Rao bound，CRB)是無偏估計量所能達到的最小均方誤差。在高信噪比條件下，歸一化時延均方誤差的CRB[14]為

式中β是信號的均方根帶寬，設信號s(t)的傅里葉變換為S(jω)，由文獻[14]中的定義，可以得到

E是接收信號的能量

因此

在高信噪比條件下，目標距離估計的概率密度分布近似為高斯分布，因此可以用高斯分布的微分熵公式來計算H(X|Z)，則有

后面的數(shù)值計算表明，在高信噪比條件下，距離信息量以式（25）的結果為漸進上界，這一結論表明，信息理論界與CRB 一致。在高信噪比條件下，最大似然估計的方差逼近CRB，可以用CRB 作為理論界，而實際的雷達系統(tǒng)通常工作于中等信噪比環(huán)境下，CRB 不再適合用作理論界。本文給出的距離信息量適用各種信噪比環(huán)境，因此，為實際雷達系統(tǒng)的性能提供了理論上界，具有重要的理論指導意義。

3.2 目標模型為復高斯分布的距離信息

當目標服從復高斯分布時，y=αejφ=yreal+iyimg，它的實部yreal和虛部yimg都服從N～(0,σy2)，此時相位φ仍服從均勻分布，而散射系數(shù)α服從瑞利分布，其概率分布為

式中:α>0，α的均值為σyπ 2，方差為(2- π 2)σy2。代入式（16）和式（17）可得到目標為復高斯分布時的距離信息。

4 目標的幅相信息

4.1 目標散射系數(shù)為常數(shù)的幅相信息

當目標的散射系數(shù)為常數(shù)時，幅度信息已經(jīng)確定，幅相信息I(Z,Y|X)等效于相位信息I(Z,Φ|X)。通過前面的分析已經(jīng)得到了目標的距離信息X，這里用X的后驗分布來求相位信息。由式（18）可得Z和X條件下Φ的概率密度函數(shù)為

根據(jù)式（14），對式（27）進行化簡得到

根據(jù)式（19），可以得到X條件下的雷達探測系統(tǒng)的相位信息為

4.2 目標模型為復高斯分布的幅相信息

通過前面的分析，已經(jīng)得到了當目標的散射系數(shù)服從瑞利分布時的距離信息，此時距離參數(shù)X已知，則U(X)矩陣是一個常數(shù)矩陣，而Y和W都是獨立的高斯矢量，由式（7）可知Z也是一個高斯矢量。因此可以得到Z的協(xié)方差矩陣為

當X=x時，由多維相干高斯信源熵的公式，可以得到Z的熵為

并且

因此，在已知條件X=x時，幅相信息為

此外，對于x∈[-TB/2,TB/2)，考慮到觀測區(qū)間的長度遠大于U(x)的能量區(qū)域，當N足夠大的時候，有于是I(Z,Y|X=x) =log(1+Nρ2)?？梢园l(fā)現(xiàn)，幅相信息只與信噪比有關，而與距離信息無關。因此，目標服從復高斯分布時，多載波雷達探測系統(tǒng)的幅相信息為

該幅相信息與香農(nóng)信道容量的公式相似，這表明，香農(nóng)信道容量本質上與幅相信息有關，它們之間的關系值得進一步研究。

5 數(shù)值仿真結果與分析

本節(jié)給出了所有的數(shù)值仿真結果與分析，仿真參數(shù)的設定為，在多載波雷達系統(tǒng)中，目標距離歸一化時延x0=0，時延間隔Δ=0.01，常散射系數(shù)α=1，復高斯分布下瑞利分布散射系數(shù)的均值為1，單位帶寬，CWAGN 信道。時間帶寬積的探測區(qū)間為[-TB/2,TB/2)。

5.1 概率密度分布

圖3 給出了N=16，目標的散射系數(shù)為常數(shù)時，不同信噪比下目標距離的概率密度分布圖，由式（20）得到。為了便于觀察，這里只截取了部分區(qū)間?？梢钥闯?，概率密度分布呈現(xiàn)為高斯分布，其均值為x0，方差為σ2= 4()I-logTB2πe。根據(jù)高斯分布的3σ原則，目標歸一化距離的搜索區(qū)間基本確定。接收端每獲得一個比特的信息量，等效σ縮小一半，即搜索區(qū)間縮小了一半，若雷達系統(tǒng)能獲得I比特的距離信息量，意味著該系統(tǒng)的距離測量精度為2-I。因此，獲得的信息量越多，概率密度分布越尖銳，得到的目標距離越精確。

圖3 目標距離估計值的概率密度分布Fig.3 Probability density distribution of target distance

5.2 距離信息量

圖4 給出了理論模型、最大似然估計以及克拉美羅界的距離信息量與信噪比的關系曲線。從圖4 中可以看出，當TB固定時，隨著信噪比的增加，距離信息量的變化規(guī)律大致可以分為兩個重要的階段，第一階段稱為“目標搜索階段”，此時距離信息量隨信噪比增長的斜率較大，當信息量達到logTB時，目標搜索區(qū)間縮小至觀測區(qū)間的1TB，即系統(tǒng)分辨率達到1B。第二階段稱為“目標定位階段”，即在高信噪比區(qū)域，此時距離信息量增長的斜率恒定，趨近于克拉美羅界，隨信息量增加，目標距離的估計范圍繼續(xù)縮小，從而突破了1B的限制。理論模型的距離信息量可以作為雷達系統(tǒng)距離信息量的理論界。

圖5 給出了N=64 時，兩種目標模型下距離信息量與信噪比的關系曲線，從圖5 中可以看出，距離信息量隨著信噪比的增加而增加，并且目標復高斯分布模型獲得的距離信息量高于常散射系數(shù)模型，這是因為在檢測過程中目標復高斯分布模型帶來的不確定性比常數(shù)更大。

圖4 距離信息量的比較Fig.4 Comparison of distance information

圖5 不同目標模型下的距離信息量Fig.5 Distance information under different target models

5.3 均方誤差

圖6 比較了3 種歸一化時延的均方誤差，分別是理論模型、最大似然估計和克拉美羅界。理論模型曲線是對信息量求其等效的高斯分布的方差得到的?？梢钥闯?，方差隨著信噪比增大而減小。在高信噪比區(qū)域，克拉美羅界是理論模型方差的漸進下界，驗證了理論分析的正確性。

5.4 幅相信息量

圖7 中給出了目標常散射系數(shù)模型下的相位信息量和復高斯分布模型下的幅相信息量與信噪比的關系，可以看出相位信息和幅相信息都隨信噪比的升高而升高，且在高信噪比條件下都與信噪比成線性關系，并且目標復高斯分布模型獲得的幅相信息量高于常散射系數(shù)模型獲得的相位信息量。

圖6 均方誤差的比較Fig.6 Comparison of the mean square error

圖7 幅相信息量與信噪比的關系Fig.7 Relationship between amplitude?phase information and SNR

6 結束語

本文基于香農(nóng)信息理論，建立了多載波雷達系統(tǒng)的信息理論模型。研究表明，目標的信息量和均方誤差一樣，可以作為雷達系統(tǒng)的另一種性能測度。以距離信息為例，雷達系統(tǒng)每獲得1 比特距離信息就意味著目標的探測范圍縮小了一半。隨著距離信息量的增加，I比特信息量意味著系統(tǒng)的探測精度為2-I。理論分析與數(shù)值仿真結果表明，在高信噪比條件下，Cramer?Rao 界就是距離信息量的漸近上界。實際雷達系統(tǒng)通常工作于中等信噪比環(huán)境，目標的距離信息量可作為最大似然估計的性能上界，為實際系統(tǒng)的性能提供了比較的依據(jù)。此外，信噪比和TB 是雷達系統(tǒng)探測性能的兩個重要影響因素，可以根據(jù)信噪比和TB 預估雷達系統(tǒng)探測性能，也可以依據(jù)所需信息量來判斷信噪比的下界，這可以指導在實際中更有效地對目標進行探測，也可以指導雷達系統(tǒng)設計。本文的分析基于CAWGN 信道，針對單目標探測的情形，且不考慮信號衰減的情況，但實際的雷達探測場景更加復雜，因此需要將本文的研究結論進行推廣，如衰落回波信號，目標之間存在干擾的廣義多目標探測情景等，這些問題都是值得進一步深入研究的重點。