郭麗君

(蘭州交通大學(xué) 博文學(xué)院電信工程系，甘肅 蘭州 730101)

0 引言

非線性微分方程在各種不同領(lǐng)域都有著很重要的應(yīng)用，因此，一直以來(lái)非線性微分方程正解的存在性研究有著不可動(dòng)搖的理論價(jià)值和深刻的應(yīng)用背景，已經(jīng)有很多研究者對(duì)非線性微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性進(jìn)行了探討，并得到了很多好的結(jié)論和成果[1-9].但在大多數(shù)成果中，為了得到正解的存在性理論都對(duì)微分方程的非線性項(xiàng)作了特別限定和要求，使得理論成果在應(yīng)用時(shí)有一定的局限性.在文[7]中，作者研究了如下三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

本文考慮三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(1)

1 預(yù)備引理

其中

引理2[1]對(duì)任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]有0≤G(t,s)≤1-s.

證明對(duì)格林函數(shù)G(t,s)關(guān)于變量t求導(dǎo),可得

因此，引理得證.

引理4(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)[10]設(shè)E是Banach空間，B?E是E中的有界閉凸子集假設(shè)T:E→E是全連續(xù)算子且T(B)?B.那么T在B中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

那么邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解

證明設(shè)Banach空間E=C[0,1],對(duì)u∈E，定義算子

顯然A:E→E是全連續(xù)的,且A的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問(wèn)題(1)的解.令

下面只需尋找A在B中的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)任意u(t)∈B,t∈[0,1],首先由引理2及已知條件可得

(2)

其次對(duì)算子A求一階導(dǎo)數(shù),由引理3及已知條件可得

(3)

另一方面

(4)

接著對(duì)算子A求二階導(dǎo)數(shù)可得

顯然有

(5)

最后,對(duì)算子A求三階導(dǎo)數(shù)可得

(6)

由式(2)和式(6)可知A(u)∈B,即A(B)?B根據(jù)引理4可知,算子A至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*∈B,即為邊值問(wèn)題(1)的正解.