葛 靜

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

0 引言

瘧疾是經(jīng)受感染的雌性按蚊叮咬或輸入帶瘧原蟲(chóng)者的血液而感染瘧原蟲(chóng)所引起在人群中傳播的蟲(chóng)媒傳染病。雌性按蚊為了產(chǎn)卵的需要，它需要通過(guò)叮咬人類(lèi)獲得血液.在獲得血的過(guò)程中，雌性按蚊可能獲得從感染人類(lèi)向蚊子傳遞的寄生蟲(chóng)，或者獲得從蚊子向易感的或者已經(jīng)感染的人群傳遞的寄生蟲(chóng).所以，瘧原蟲(chóng)的寄生蟲(chóng)有一個(gè)復(fù)雜的傳播過(guò)程，涉及到人和蚊子，是一種媒介傳染病.根據(jù)《 2018年世界瘧疾報(bào)告》，自2001年以來(lái)，大規(guī)模的瘧疾干預(yù)措施已幫助挽救了約700萬(wàn)人的生命。但是，估計(jì)仍有32億人處于危險(xiǎn)之中，僅2018年，全世界估計(jì)發(fā)生了2.28億瘧疾病例，有405 000人死亡，其中大多數(shù)是撒哈拉以南非洲5歲以下的兒童死亡。因此有必要采取有效的防控措施抑制瘧疾的流行，使得疾病的危害和損失降到最低.數(shù)學(xué)上對(duì)傳染病的研究主要通過(guò)建立反映傳染病動(dòng)力學(xué)特征的模型，并對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)進(jìn)行定性、定量分析來(lái)揭示疾病的發(fā)展過(guò)程、流行規(guī)律，從而預(yù)測(cè)其發(fā)展流行趨勢(shì)，尋求預(yù)防和控制的最優(yōu)策略.

最早用來(lái)進(jìn)行瘧疾研究的數(shù)學(xué)模型是Ross-MacDonald數(shù)學(xué)模型僅僅包含感染宿主人群和感染媒介蚊子之間的相互影響[1-4].近些年，在Ross-MacDonald的工作基礎(chǔ)上，越來(lái)越多的科研工作者考慮了不同的因素，構(gòu)建了多種形式的瘧疾模型,從不同角度探討疾病的動(dòng)力學(xué)性態(tài)[5-8].

在文[9]中，作者探討蚊帳和噴灑農(nóng)藥對(duì)瘧疾傳播的影響，研究了如下的瘧疾模型:

(1)

其中在t時(shí)刻處的人總量為Nh(t)，即Nh(t)=Sh(t)+Ih(t)+Rh(t).同樣，在t時(shí)刻處蚊子總量為Nm(t)，其被分為易感蚊子類(lèi)Sm(t)和感染蚊子類(lèi)Im(t)，即Nm(t)=Sm(t)+Im(t).模型(1)以及下文中所涉及的變量和系數(shù)的解釋參見(jiàn)表1.

表1 數(shù)學(xué)模型中變量和系數(shù)的生物學(xué)定義

1 模型的建立

本文忽略外在防蚊工具和藥物的影響，主要考慮垂直傳播的影響，研究如下瘧疾傳播系統(tǒng):

(2)

其中q表示病毒在蚊子中的垂直傳播率，rm表示成熟蚊子的再生率，先進(jìn)行無(wú)量綱化,設(shè)

假設(shè)成熟蚊子的再生率和新增率相同，即rm=λm.易知閉集:

D={(sh,ih,rh,sm,im)∈R5:0sh,ih,rh,sv,iv1,sh+ih+rh=1,sm+im=1},

是問(wèn)題(2)的正不變集.注意到sh+ih+rh=1，sv+iv=1，則模型(2)可以簡(jiǎn)化成如下形式:

(3)

其中α=bmαhm,γ=bmαmh.

利用下一代矩陣的方法[10]，可以計(jì)算出模型(3)的基本再生數(shù)R0為:

注：從基本再生數(shù)R0的表達(dá)式可知垂直傳播率越高，R0就越大，疾病傳播的風(fēng)險(xiǎn)越高.

2 穩(wěn)定性分析

易知系統(tǒng)(3)有無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)，先討論無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)是局部穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)是不穩(wěn)定的.

證明在E0=(1,0,0)處對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行線性化得相應(yīng)的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為:

其相應(yīng)的特征方程為:

所以兩個(gè)特征根的實(shí)部Re(λ)<0，故由Routh-Hurwitz法則可知：當(dāng)R0<1時(shí)系統(tǒng)(3)在E0處是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的[11].

(4)

(5)

當(dāng)ε充分小時(shí)，為使式(5)成立，只要下式成立，

(6)

整理得:

(7)

K1=λh+2βh+γ，K2=γ+λh+αh，K3=α+λm(1-q)，

再以

作為初始值，通過(guò)以下迭代過(guò)程

再由單調(diào)有界定理得極限

存在，且滿足

(8)

因此由單調(diào)迭代動(dòng)力系統(tǒng)理論[12]可知，對(duì)于任意給定的初值(sh(0),ih(0),im(0))，如果(0，0，0)≤(sh(0),ih(0),im(0))≤(1,1,1)，則系統(tǒng)(3)的解(sh(t),ih(t),im(t))滿足

3 結(jié)論

通過(guò)建立一種具垂直傳播的瘧疾模型并進(jìn)行理論分析，得到如下結(jié)論：當(dāng)垂直傳播率足夠高使得基本再生數(shù)大于1時(shí)，瘧疾病毒仍將持續(xù)蔓延，導(dǎo)致地方病的出現(xiàn)；當(dāng)垂直傳播率較小且基本再生數(shù)小于1時(shí)，瘧疾病毒將逐漸消失，疾病得以控制.為此一些國(guó)家和地區(qū)(例如廣州)目前采取的方法是釋放攜帶沃爾巴克體的雄蚊，讓白紋伊蚊“絕育”，達(dá)到減少垂直傳播的概率，有利于降低瘧疾傳播的基本再生數(shù)，從而達(dá)到控制瘧疾病毒蔓延的目的.