鞏 健

(中國鐵路設計集團有限公司，天津 300251)

隨著城鎮(zhèn)化的快速發(fā)展，地鐵已成為衡量城市可持續(xù)發(fā)展水平的重要指標，對解決城市中愈發(fā)嚴重的交通堵塞問題具有重要意義[1]。 盾構(gòu)法由于機械化程度高、作業(yè)速度快、對周圍建筑物影響小等優(yōu)勢[2]，在地鐵隧道施工建設中被廣泛采用。 然而，受復雜的地質(zhì)條件、周邊建筑物荷載和土體擾動、周邊工程施工、列車運行振動等眾多因素影響[3]，隧道盾構(gòu)管片常出現(xiàn)上拱、下沉、內(nèi)鼓和裂縫等各種結(jié)構(gòu)病害，成為影響地鐵正常運營的重大安全隱患。 因此，在地鐵修建、竣工及運營過程中，隧道結(jié)構(gòu)檢測已成為日常監(jiān)護的重要內(nèi)容。 根據(jù)《城市地下空間檢測監(jiān)測技術標準》關于盾構(gòu)法隧道結(jié)構(gòu)檢測的相關規(guī)定，需要對隧道斷面橢圓度和水平直徑進行檢測[4]。 傳統(tǒng)人工檢測手段作業(yè)效率低下，受人為誤差影響大且只能獲取局部的數(shù)據(jù)，已難以滿足現(xiàn)代工程的檢測需求[5]。 近年來，移動三維激光掃描技術使得這項工作變得更加便捷高效[6-7]。 眾多學者利用點云數(shù)據(jù)進行隧道斷面橢圓擬合方法的研究。 琚俏俏將去噪后的斷面點云代入橢圓公式，通過求解線性方程組獲得橢圓參數(shù)[8]；李維濤通過代數(shù)擬合法利用至焦點和距離不變迭代計算橢圓參數(shù)[9]。 但是以上方法計算較為復雜且去噪效果較差，容易產(chǎn)生局部擬合現(xiàn)象從而導致擬合結(jié)果偏差較大等問題。 因此，提出采用截尾最小二乘計算橢圓參數(shù)的最優(yōu)初值，再通過選權(quán)迭代逐步抑制噪聲和粗差的影響，獲得橢圓參數(shù)最優(yōu)估值的方法。

1 點云采集與誤差分析

1.1 點云采集

車載移動測量系統(tǒng)通過將激光掃描儀搭載于配置有里程計、慣導測量單元、控制機等組件的小車載體上[10]，通過人力或電力驅(qū)動小車沿軌道平行于隧道線路方向前進。 在此過程中，掃描棱鏡采用線掃描模式，垂直于隧道內(nèi)壁高速旋轉(zhuǎn)并發(fā)射密集的激光脈沖(如圖1)，通過測量每個激光脈沖發(fā)射后經(jīng)被測物體表面再返回儀器的時間差(或相位差)來計算距離S，同步測量每個脈沖激光的橫向掃描角度α、縱向掃描角度θ以及反射強度I，即可獲得任意掃描點的三維坐標(見圖2、式(1))。

圖1 車載移動測量系統(tǒng)作業(yè)原理

圖2 掃描點坐標計算示意

掃描儀自身沒有記錄運動軌跡參數(shù)的能力，假定掃描的點云數(shù)據(jù)在其自身坐標系內(nèi)是重疊的。 在后處理階段，將慣導數(shù)據(jù)和里程計數(shù)據(jù)進行組合，解算得到掃描系統(tǒng)的運行軌跡，再將點云數(shù)據(jù)與運行軌跡根據(jù)時間信息進行融合，即可將掃描數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為與隧道結(jié)構(gòu)和線型一致的三維點云數(shù)據(jù)。 結(jié)合小車啟動時的初始里程，即可得到隧道指定里程處的正交斷面點云。

1.2 誤差分析

移動式掃描獲取的點云軌跡為密集的螺旋線，根據(jù)里程信息提取指定位置的正交斷面點云時，主要存在兩類誤差:螺旋線誤差和轉(zhuǎn)向誤差。

螺旋線誤差如圖3 所示，BC 代表標準正交斷面，AD 為實際提取斷面，令隧道內(nèi)半徑為r，螺旋線間距為L，則螺旋線誤差可表示為

圖3 斷面點云螺旋線誤差

小車一般按照約2 m/s 的速度作業(yè)，掃描儀的線掃頻率為200 Hz，則螺旋線間距L 為0.01 m。 隧道內(nèi)半徑r 通常為2.7 m，根據(jù)式(2)計算得到螺旋線誤差為0.001 2 mm(可忽略不計)。

圖4 軌道位置誤差

軌道位置誤差(Terror)如圖4 中紅色線段所示。 在隧道轉(zhuǎn)彎處，受軌道位置安裝偏差的影響，軌道與隧道之間不再保持平行，會存在一個角度偏差θ，有

其中，R′表示隧道轉(zhuǎn)彎半徑。

受角度偏差影響，實際提取的斷面PN 會與標準正交斷面QM 存在一定的轉(zhuǎn)向偏差Serror(見圖5 中紅色線段)，有

其中，r 表示隧道內(nèi)半徑。

圖5 斷面點云轉(zhuǎn)向誤差

假設軌道位置誤差為0.01 m(實際在軌道精調(diào)后僅為毫米級[11])，隧道轉(zhuǎn)彎半徑按2 000 m 計算，則角度偏差為0.18°，相應轉(zhuǎn)向誤差Serror為0.013 mm(可忽略不計)。 基于以上誤差分析，提取的隧道斷面可視為正交斷面，在后續(xù)斷面擬合精度驗證時，可不考慮上述誤差帶來的影響。

2 橢圓擬合

隧道斷面橢圓擬合是進行收斂變形分析的基礎。隧道襯砌內(nèi)壁附著的管線、照明、疏散平臺等設備[12]，以及隧道中的灰塵和雜質(zhì)會導致斷面點云數(shù)據(jù)中存在大量的干擾信息(圖6 中紅色點)，致使擬合參數(shù)不理想，無法獲取最佳擬合效果，在處理時應予以抵抗或去除。

圖6 隧道斷面點云

2.1 截尾最小二乘法估計

普通最小二乘法(Ordinary Least Square，OLS)是常用的回歸模型估計方法，但是其使用的前提是隨機誤差服從正態(tài)分布(即高斯分布)。 對于非正態(tài)分布(尤其是長尾分布)的隨機誤差，即使觀測值中僅存在極少量的異常數(shù)據(jù)(離群點)，OLS 也會極度敏感，并對擬合結(jié)果產(chǎn)生破壞性影響。

隧道斷面點云數(shù)據(jù)中存在的粗差點或噪聲點等干擾信息是非正態(tài)分布的，在使用OLS 進行橢圓擬合之前，需要耗費大量時間進行濾波去噪等預處理工作，對其處理效果也有較高的要求，處理不徹底時，擬合參數(shù)會產(chǎn)生較大的偏差。

截尾最小二乘法(Least Trimmed Squares，LTS)是一種具有高崩潰點的穩(wěn)健估計方法[13]，能夠很好地檢測并抵御異常數(shù)據(jù)對于回歸分析的不良影響，即使在噪聲和粗差含量較高的情況下，也有較好的擬合效果。其定義為

其中，βLTS為待求估計參數(shù)的最優(yōu)解，Ri(β)為觀測值φi與估計值f(xi，yi，β)的殘差，n 為參與估計的數(shù)據(jù)點數(shù)量，常數(shù)h 表示n 的一半。

當n 和h 較大時，龐大的計算量會導致截尾最小二乘估計的計算效率較低。 因此，需要采用一種快速求解方法，其基本思想是從n 個觀測值中抽取m 組樣本，每組樣本隨機包含k 個觀測值，利用k 個觀測值解算最小二乘估計值β。 然后計算n 個觀測值在β 下的殘差平方(β)(i=1，2，…，n)，將其升序排列，記前h個殘差平方和為βLTS，取所有組合中βLTS最小的對應解作為LTS 估計的準確解。

截尾最小二乘估計雖然可以抵抗觀測值中較大含量的粗差，但是樣本中觀測值隨機采樣的準確性無法保證。 具體來說，根據(jù)橢圓方程(式(8))可知，隨機采樣至少需要5 個點，才可以解算橢圓參數(shù)。 當任意選擇的5 個觀測值分布不均或集中在一側(cè)時，會導致局部擬合情況的出現(xiàn)。 因此，將斷面點云按照角度等分為5 部分(見圖7，下側(cè)包含軌道部分不參與計算)。線掃描模式的點云為有序排列，按角度劃分也可簡化為按點號間隔劃分。 斷面點云數(shù)量以8 000 點為例，除去軌道部分后的點云序號為660 ～7 340，五等分即660～1 993，1 994 ～3 327，……等。 在每個部分分別選點參與計算，這樣可以保證選取的點云初值接近于最終的橢圓方程。

圖7 斷面點云等分示意

在5 個部分的點云中分別隨機選取1 點構(gòu)成一組點集通過式(9)參與擬合，有

解聯(lián)立方程組可得到擬合參數(shù)β0=[A0B0C0D0E0]T。

設置重復抽樣數(shù)m 為每部分點云的數(shù)量，計算每組樣本的擬合參數(shù)(i=1，2，…，m)對應的n 個觀測值的殘差平方，將其升序排列，取前h 個殘差平方和最小的一組參數(shù)記為βLTS，并將其作為擬合初值。

2.2 選權(quán)迭代

在得到橢圓擬合初值βLTS的情況下，為減少隧道內(nèi)壁噪聲與粗差點對擬合效果的影響，采取選權(quán)迭代的方式將其逐步消除，以此來獲得擬合參數(shù)的最優(yōu)解，列出間接平差誤差方程

在改正數(shù)矩陣V 中，粗差與噪聲的數(shù)值會偏大。利用這一特性，當觀測值改正數(shù)大于1.5σ 時，將權(quán)按照式(13)調(diào)整；當大于3.0σ 時，令權(quán)為0。 將調(diào)整后的權(quán)陣P 重新代入法方程中迭代計算，直至滿足設定的迭代次數(shù)或小于設定的閾值時停止。

2.3 計算橢圓度和水平直徑

橢圓度是定量分析隧道斷面整體變形的重要指標。 通過上述過程計算得到的橢圓參數(shù)，根據(jù)式(14)可獲得擬合橢圓中心的坐標(xc，yc)

橢圓的長軸a、短軸b、偏轉(zhuǎn)角θ 以及橢圓度ω 按下式計算

其中r 為隧道的標稱內(nèi)半徑。

除橢圓度外，隧道結(jié)構(gòu)檢測中還比較關心盾構(gòu)環(huán)水平方向的直徑與設計直徑的差值。 由于上述橢圓擬合方法獲取的是全部點云(除軌道部分)的整體最佳擬合參數(shù)。 因此，在局部可能會存在較小的擬合偏差。如果直接采用擬合的橢圓計算盾構(gòu)環(huán)水平直徑，計算結(jié)果可能會存在一定的誤差。 選取過隧道中心(xc，yc)的水平軸，截取該水平軸上下各25 cm 的點云根據(jù)式(18)進行二次曲線擬合。

以左側(cè)為例，截取的點云個數(shù)為N，設置權(quán)陣P 初始值為單位陣，參數(shù)陣X 初始值為零矩陣參與計算，根據(jù)間接平差公式并采用第2.2 節(jié)所述的選權(quán)迭代法解算得到二次擬合曲線的最優(yōu)解()，進而可獲得過隧道中心的水平軸與隧道左側(cè)的交點((--)/2，yc)。 同樣，水平軸與隧道右側(cè)的交點也可獲得，進而可求得隧道斷面的水平直徑。

3 實例分析

3.1 工程概況

以武漢市地鐵某盾構(gòu)隧道為例，該段隧道長1.630 km，盾構(gòu)管片采用混凝土澆筑，設計內(nèi)徑5 400 mm，點云數(shù)據(jù)通過車載移動測量系統(tǒng)獲取。 將截尾最小二乘法、選權(quán)迭代法和二次曲線擬合法通過編程實現(xiàn)，根據(jù)里程信息提取指定位置處的隧道斷面點云后，將其輸入處理程序中解算得到橢圓擬合參數(shù)與二次曲線擬合參數(shù)。 為提高程序運行效率，設置迭代次數(shù)為4(一般迭代3 次即可獲得高精度解)。 圖8 中藍色部分為斷面點云數(shù)據(jù)，紅色為擬合橢圓。 圖9 紅色為斷面兩側(cè)擬合的二次曲線，藍色線為斷面水平直徑。 圖10 為根據(jù)項目實際需求自定義的斷面擬合成果，包含了斷面所在位置的盾構(gòu)環(huán)號、擬合橢圓的長短半軸、橢圓度、偏轉(zhuǎn)角和水平直徑等信息。

圖8 隧道斷面擬合橢圓

圖9 二次擬合曲線與水平直徑

圖10 隧道斷面擬合成果

3.2 精度驗證

采用回歸統(tǒng)計中的調(diào)整后的R2這一指標進行橢圓擬合精度驗證。

R 代表相關系數(shù)，是衡量兩個變量之間相關性的一個相對指標，其計算公式為

其中，yi代表點云中每個點(xi，yi)的Y 坐標值，ˉy代表所有點云Y 坐標值的平均數(shù)。 fi代表擬合橢圓在相同位置xi處的Y 坐標值，ˉf 代表所有fi的平均數(shù)。

R2稱為判定系數(shù)，是度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量，代表了實際觀測值與回歸模型之間的離差平方和與總離差平方和之比，在數(shù)值上為相關系數(shù)R 的平方，取值范圍為0～1。 理論上，在得到橢圓擬合參數(shù)后，對實際觀測值與擬合值進行統(tǒng)計分析時，R2代表了橢圓方程的精度，即橢圓方程與斷面點云的擬合程度。 當R2的數(shù)值越高時，橢圓方程的擬合程度越好，精度越高。

然而在實際應用中，隨著自變量個數(shù)的增加，R2也會逐漸增加，單純從數(shù)值上觀察可能會造成回歸模型擬合效果很好的假象[14]。 為此，采用(調(diào)整后的R2)來評價橢圓擬合的精度，當其為0.7 時，可認為模型選擇正確且擬合程度較好。

其中，n 為樣本總數(shù)，p 為自變量個數(shù)(此處為5 個橢圓參數(shù))。

隨機提取8 個隧道斷面進行橢圓擬合后，分別按照式(20)計算，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示。

表1 橢圓擬合精度驗證統(tǒng)計

水平直徑擬合值與設計值對比統(tǒng)計如表2 所示，由表2 可知，隨機選取的各斷面中，采用二次曲線擬合方法計算的隧道水平直徑與設計直徑D 的差值ΔD 均小于1.2 cm，其相對變形(ΔD/D)均滿足GB 50157—2013《地鐵設計規(guī)范》中3‰～4‰的規(guī)定。 通過與水平直徑的設計值對比，直觀地反映出地鐵隧道斷面的變形情況，為后期的養(yǎng)護維修提供了數(shù)據(jù)支持。

表2 水平直徑擬合值與設計值對比統(tǒng)計 m

續(xù)表2

4 結(jié)論

利用車載移動測量系統(tǒng)采集的盾構(gòu)隧道點云數(shù)據(jù)進行斷面收斂檢測分析時，采用截尾最小二乘和選權(quán)迭代相結(jié)合的方法進行橢圓擬合，不僅可以有效抵抗點云數(shù)據(jù)中噪聲和粗差的影響，獲得擬合程度較高的橢圓參數(shù)，進而計算得到較高精度的橢圓度、水平直徑以及偏轉(zhuǎn)角等檢測值，還可以較快獲取擬合初值，減少迭代時間，提升數(shù)據(jù)處理效率，在工程項目應用中具有良好的可靠性與推廣應用價值。