曹林寧，吳道科，李 兵，張 赫

(1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，南京210098；2.安徽績溪抽水蓄能有限公司，安徽 績溪 245300)

0 引 言

水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)實質(zhì)上是一種非線性非最小相位系統(tǒng)，涉及水力、機(jī)械和電氣等諸多非線性因素[1, 2]。作為水電站整體結(jié)構(gòu)中的一個關(guān)鍵部分，水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題引起水電行業(yè)內(nèi)的眾多關(guān)注，關(guān)系到發(fā)電機(jī)組甚至是所在電網(wǎng)的安全運(yùn)行[3, 4]。以往的線性控制理論可近似處理水力發(fā)電機(jī)組小波動分析情況，但是當(dāng)系統(tǒng)處于較大擾動時則需要采用更貼近實際的復(fù)雜非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。Hopf分岔作為非線性系統(tǒng)動態(tài)特性中的一種重要分岔問題，在電力系統(tǒng)的分岔與混沌問題等非線性動力學(xué)研究中得到廣泛應(yīng)用[5-7]。1992年IEEE在單機(jī)單管無調(diào)壓室基礎(chǔ)上提出了一種非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)模型[8]；凌代儉等則將Hopf分岔理論應(yīng)用到非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，得到了系統(tǒng)關(guān)于PID控制參數(shù)的穩(wěn)定域并為水電站中的低頻振蕩問題提供了一種合理解釋[9, 10]；陳帝尹、把多鐸等建立了復(fù)雜管系和帶簡單調(diào)壓室的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，并以調(diào)速器參數(shù)進(jìn)行非線性動力學(xué)分析[11, 12]；張醒、曹春建等建立了考慮分?jǐn)?shù)階PID調(diào)速器模型的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)并對其進(jìn)行穩(wěn)定性分析[13, 14]；郭文成、楊建東等則基于變高頂尾水洞模型建立非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)并對該系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔分析[15]。這些研究中大都關(guān)注于引水管道和水輪機(jī)部分的非線性特性，對于發(fā)電機(jī)部分往往僅考慮其轉(zhuǎn)動慣量而選擇采用簡單一階模型從而忽略了發(fā)電機(jī)非線性本質(zhì)的影響。為了進(jìn)一步的體現(xiàn)水輪發(fā)電機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的非線性特質(zhì)，本文在考慮彈性水擊和非線性水輪機(jī)特性的基礎(chǔ)上，引入發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子二階動態(tài)模型，綜合考慮了水輪發(fā)電機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)各個方面非線性因素的影響，建立了一個全新的非線性水輪發(fā)電機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，并運(yùn)用Hopf分岔直接判據(jù)結(jié)合數(shù)值模擬分析了不同調(diào)速器PID參數(shù)下的水輪發(fā)電機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)特性。

1 非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)建模

本文建立的非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中水輪機(jī)、引水系統(tǒng)和發(fā)電機(jī)及負(fù)載部分均采用非線性方程表示。根據(jù)水力學(xué)知識，不論是水體本身還是管道都是具有彈性的，所以當(dāng)引水管道較長時，需要考慮彈性效應(yīng)對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能產(chǎn)生的影響。本文采用的彈性水擊模型中，有壓過水系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為非線性雙曲正切函數(shù)：

Gh(s)=-2hwth(0.5Trs)

(1)

式中：hw為引水管道特性系數(shù)；Tr為水擊相長。

為了便于研究，將上式泰勒展開并忽略高階次數(shù)項得：

(2)

將上式改寫成微分方程式：

(3)

用狀態(tài)空間式表示為：

(4)

且有：

(5)

對于混流式水輪機(jī)，通?？梢杂煤辛鶄€傳遞系數(shù)的式子來表達(dá)其動態(tài)特性：

(6)

在線性水輪機(jī)模型中一般認(rèn)為上式中六個傳遞系數(shù)為常數(shù)，本文采用的非線性水輪機(jī)模型中將這六個傳遞系數(shù)改寫成非線性表達(dá)式[16]：

(7)

式中：eym、eqym、eωm、eqωm、ehm和eqhm可由水輪機(jī)力矩特性求得。

將式(6)中的第二式兩邊同時對時間求導(dǎo)并結(jié)合式(5)可得：

(8)

對于發(fā)電機(jī)部分，本文采用一個發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子二階動態(tài)模型，該模型在研究機(jī)電聯(lián)合過渡過程和電磁暫態(tài)過渡過程中被廣泛使用，模型如下：

(9)

式中：δ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的角度；ω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速相對偏差值；ω0=2πf0；D為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)，取值范圍一般在0～3.0；Tab為機(jī)組慣性時間常數(shù)。

若在發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)中考慮轉(zhuǎn)速變化對力矩的影響，則可以近似認(rèn)為發(fā)電機(jī)電磁功率和電磁力矩相當(dāng)，即：

me=Pe

(10)

其中電磁功率為：

(11)

液壓隨動系統(tǒng)動態(tài)特性為：

(12)

式中：Ty為接力器反應(yīng)時間常數(shù)；u為調(diào)節(jié)器輸出。

本文考慮實用并聯(lián)PID型水輪機(jī)調(diào)速器，其輸出形式為：

(13)

式中：r為水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速(頻率)參考輸入；kp、ki、kd分別為比例、積分和微分增益。

假設(shè)r=0，即在不考慮頻率擾動情況下研究非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)特性，則式(13)可改寫為：

(14)

綜合式(4)～(14)，得到本文的六維水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性模型為：

(15)

2 數(shù)值模擬分析

2.1 六維自治系統(tǒng)Hopf分岔直接判據(jù)

λ6+p5λ5+p4λ4+p3λ3+p2λ2+p1λ+p0=0

(16)

如果當(dāng)v=v*時有：

(1)Δi>0(i=1,2,3,4)，Δ5=0，式中Δi(i=1,2,3,4,5)為該特征方程的Hurwitz行列式；

(2)k02UZ≠VW，其中：

(17)

則當(dāng)|v-v*|充分小時，該系統(tǒng)將會在v*的某一側(cè)出現(xiàn)Hopf分岔現(xiàn)象。利用該直接判據(jù)分析本文提出的六維非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)隨PID控制參數(shù)變化的分岔特性以及穩(wěn)定性。

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定域分析

將以上數(shù)值代入式(15)并在平衡點x=(0;0;0;0;0;0)處求取系統(tǒng)的雅可比矩陣(該矩陣過于繁冗此處暫不列出)，該雅克比矩陣對應(yīng)的特征方程式各項系數(shù)如下所示：

(18)

根據(jù)六維Hopf分岔直接代數(shù)判據(jù)可以得到系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時調(diào)速器PID參數(shù)kp、ki、kd臨界值所構(gòu)成的空間曲面。為方便分析，現(xiàn)將其投影到二維平面上觀察。如圖2所示，即為在kp-ki平面上不同kd取值時分岔臨界點所構(gòu)成的曲線。

圖2 不同kd取值下系統(tǒng)分岔臨界點構(gòu)成的曲線

通過計算該非線性系統(tǒng)在分岔點處的曲率系數(shù)β2<0可知此時分岔為超臨界Hopf分岔。對于超臨界Hopf分岔，在分岔參數(shù)v-v*>0時將會出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)而當(dāng)分岔參數(shù)v-v*<0時系統(tǒng)則穩(wěn)定。根據(jù)圖2可知：在分岔臨界點構(gòu)成的分岔曲線內(nèi)側(cè)即為系統(tǒng)穩(wěn)定域，此時的平衡點是一個逐漸穩(wěn)定的平衡點，而在分岔曲線外側(cè)的附近范圍系統(tǒng)將收斂至穩(wěn)定極限環(huán)。當(dāng)調(diào)速器的PID參數(shù)從穩(wěn)定域穿過分岔曲線至極限環(huán)區(qū)域時，系統(tǒng)就會產(chǎn)生Hopf分岔。從圖2還可以看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)kd逐漸增加時，系統(tǒng)的穩(wěn)定域范圍也會增大。這說明微分增益增加能夠在一定程度上提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，原因是微分環(huán)節(jié)具有超前調(diào)節(jié)功能，能夠有效的抑制誤差變化。

2.3 系統(tǒng)Hopf分岔分析

圖3 ki=0.2時系統(tǒng)分岔臨界點構(gòu)成的曲線

對系統(tǒng)(15)用ode45函數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解并采用局部最大值法作出系統(tǒng)狀態(tài)變量分岔圖。如圖4所示，圖中縱坐標(biāo)選擇水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速偏差相對值ω來觀察系統(tǒng)分岔特性，橫坐標(biāo)即為分岔參數(shù)kd。

圖4 機(jī)組轉(zhuǎn)速ω隨kd變化的分岔圖

在圖3所示的PD平面上選擇幾個不同位置的點，分析無頻率擾動非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速時域響應(yīng)和相軌跡變化。當(dāng)kp=6、ki=0.2，分岔參數(shù)kd=5時，系統(tǒng)的狀態(tài)變量時域響應(yīng)和相軌跡圖如圖5所示，從圖5中可以看出系統(tǒng)在經(jīng)過一段時間后最終收斂到平衡點位置，表示在此PID調(diào)速器控制參數(shù)下的非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，在系統(tǒng)受到擾動時能夠在一定時間內(nèi)重新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 穩(wěn)定域內(nèi)系統(tǒng)動態(tài)特性

當(dāng)分岔參數(shù)取kd=6.5時，系統(tǒng)的狀態(tài)變量機(jī)組轉(zhuǎn)速時域響應(yīng)和相軌跡圖如圖6所示，機(jī)組轉(zhuǎn)速最終處于等幅振蕩的狀態(tài)，而系統(tǒng)相軌跡也將收斂至穩(wěn)定極限環(huán)。

圖6 極限環(huán)時系統(tǒng)動態(tài)特性

2.4 系統(tǒng)混沌特性分析

從圖7所示的分岔圖可以看到，當(dāng)分岔參數(shù)kd在超過分岔臨界值而繼續(xù)增大時，系統(tǒng)狀態(tài)變量會經(jīng)歷Hopf分岔、倍周期分岔直至混沌的變化過程。選擇參數(shù)kp=6、ki=0.2、kd=8.5時分析機(jī)組轉(zhuǎn)速時域響應(yīng)和系統(tǒng)相軌跡曲線如圖8所示。從圖8中可以看到，當(dāng)非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)后，系統(tǒng)不再收斂至穩(wěn)定狀態(tài)而表現(xiàn)出復(fù)雜的動態(tài)特性，從相軌跡曲線看，系統(tǒng)雖然保持在一定的范圍內(nèi)運(yùn)動但是在局部區(qū)域卻又表現(xiàn)出嚴(yán)重的無序性，說明系統(tǒng)此時是不穩(wěn)定的，所以在電站實際運(yùn)行中需要防止調(diào)速器參數(shù)處于混沌區(qū)域從而提高水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在大小波動過渡過程中的穩(wěn)定性，避免事故的發(fā)生。

圖7 混沌區(qū)域系統(tǒng)分岔圖

圖8 混沌區(qū)系統(tǒng)動態(tài)特性

混沌現(xiàn)象體現(xiàn)了非線性系統(tǒng)中類似隨機(jī)的復(fù)雜狀態(tài)，隨著時間的推移系統(tǒng)表現(xiàn)出不可預(yù)測性，即系統(tǒng)的演變過程對于初始狀態(tài)異常敏感。如圖9所示，選擇用機(jī)組轉(zhuǎn)速相對偏差ω作為系統(tǒng)狀態(tài)變量來觀察混沌區(qū)域系統(tǒng)的初值敏感性。選用兩組區(qū)別很小的系統(tǒng)初值(0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01)和(0.01,0.01,0.01,0.01,0.0101,0.01)進(jìn)行時域響應(yīng)分析，結(jié)果顯示即使很小的初值變化也會導(dǎo)致機(jī)組轉(zhuǎn)速隨時間變化的巨大差異。

圖9 初值敏感性分析

3 結(jié) 語

本文在考慮引水管道和水輪機(jī)非線性因素的基礎(chǔ)上，引入發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子二階動態(tài)模型同時忽略系統(tǒng)頻率擾動，從而建立了一個完整的六維水-機(jī)-電聯(lián)合非線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)，該非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)相較于一般的線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)能更好地體現(xiàn)出水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的復(fù)雜特性，對電站實際運(yùn)行具有更優(yōu)的指導(dǎo)和參考價值。文中選擇以常見的PID調(diào)速器參數(shù)為控制參數(shù)，利用六維非線性系統(tǒng)Hopf分岔直接判據(jù)得到了能使該系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)范圍即系統(tǒng)穩(wěn)定域，并通過分岔圖以及系統(tǒng)動態(tài)仿真表明隨著PID參數(shù)逐漸超出分岔點，系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將會發(fā)生變化，原本漸進(jìn)穩(wěn)定的非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)會出現(xiàn)等幅振蕩甚至是嚴(yán)重失穩(wěn)的現(xiàn)象。因此，為了提高非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和避免機(jī)組振蕩問題的發(fā)生，控制參數(shù)的選擇應(yīng)盡量遠(yuǎn)離分岔點。

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