張子祥，王檢耀，王鴻東*，范則陽，易宏

1 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

2 上海交通大學(xué) 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

3 中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，小型水面艦艇（尤其是水面無人艇）因具備成本低、機(jī)動性高、隱蔽性強(qiáng)等優(yōu)勢[1-3]，成為重要的火力打擊平臺，已受到各國海軍的關(guān)注。可以充分利用小型水面艦艇的優(yōu)勢，以編隊(duì)的形式向目標(biāo)戰(zhàn)位迅速部署，對敵方灘頭陣地進(jìn)行猛烈和突然的大范圍火力覆蓋，從而為后續(xù)登陸作戰(zhàn)創(chuàng)造條件。該應(yīng)用場景對火力射擊精度的要求相對較低，其主要目標(biāo)是盡快完成作戰(zhàn)任務(wù)并提升艦艇生存率?？s短武器發(fā)射間隔是提升艦艇戰(zhàn)斗力和生存力的重要手段[4]，有利于對敵艦造成盡可能大的損傷并快速撤離戰(zhàn)區(qū)。但是，發(fā)射武器的反作用力對小型水面艦艇的影響不可忽視：武器發(fā)射間隔過小，會引起艦船劇烈的運(yùn)動響應(yīng)，嚴(yán)重降低其使用性能[5-7]。所以在縮短武器發(fā)射間隔的同時，還必須滿足船體的運(yùn)動響應(yīng)要求。

發(fā)射武器對艦艇運(yùn)動影響的研究大量集中在潛艇上，對水面艦艇的研究較少。鄭熹[8]根據(jù)艦艇搖擺理論，推導(dǎo)出了潛艇在發(fā)射沖量作用下的橫搖運(yùn)動方程、單次發(fā)射的最大橫搖角和多次發(fā)射的最大橫搖角。程嘉歡等[9]建立了潛器運(yùn)動的六自由度非線性數(shù)學(xué)模型，計(jì)算分析了發(fā)射一枚火箭后潛器在沖擊載荷下的運(yùn)動響應(yīng)，以及在發(fā)射后回到初始深度的舵與壓載水箱的控制策略。王云[10]基于六自由度模型研究了單枚導(dǎo)彈發(fā)射和多枚導(dǎo)彈齊射時潛艇的運(yùn)動響應(yīng)。李翔等[7]基于六自由度模型對導(dǎo)彈單獨(dú)發(fā)射和齊射進(jìn)行了仿真，并對導(dǎo)彈發(fā)射策略進(jìn)行了初步探索。還有一些學(xué)者研究了發(fā)射武器對水面艦艇運(yùn)動的影響。楊國來等[11]采用多體動力學(xué)方法，預(yù)測了靜水和波浪中火炮射擊對船載火炮系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性的影響。王建平等[12-13]基于多體動力學(xué)方法，針對不同初始條件和海況對由火炮橫向射擊引起的艦艇搖蕩運(yùn)動進(jìn)行了計(jì)算，并進(jìn)行了模型實(shí)驗(yàn)。此類研究多基于多自由度運(yùn)動方程的響應(yīng)預(yù)報(bào)，沒有考慮通過優(yōu)化發(fā)射策略抑制運(yùn)動的可行性，也沒有從連續(xù)發(fā)射的角度探索減少發(fā)射總時間的手段。

本文將針對一型小型水面無人艇，通過合理的發(fā)射策略抑制無人艇的運(yùn)動響應(yīng)并減少連續(xù)發(fā)射總時間。然后基于船舶線性橫搖模型和角動量定理，建立武器發(fā)射過程的數(shù)學(xué)模型，并使用最優(yōu)化方法求解滿足運(yùn)動響應(yīng)約束條件的最速武器發(fā)射時間序列。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 問題描述

在高速穿梭艇三體船[14]的甲板上方布置武器發(fā)射裝置（圖1～圖2）。武器基座橫向位于三體船主片體的中線面上，縱向位于三體船主片體的中站面上，垂向位于三體船主片體的甲板面上。該發(fā)射裝置可以以一定的時間間隔連續(xù)發(fā)射，對某一側(cè)的敵方目標(biāo)進(jìn)行火力打擊。射角周向保持在主片體的中站面，俯仰方向位于甲板面和中線面的夾角之間。本文僅分析向右側(cè)發(fā)射的情形，向左側(cè)發(fā)射的情形與右側(cè)類似。

圖 2 武器的布置Fig. 2 Arrangement for the shipborne weapons

為了提高艦艇的戰(zhàn)斗力和生存率，在作戰(zhàn)中要求盡可能快地發(fā)射完所有彈藥以快速返航；同時，快速發(fā)射彈藥對艦艇的連續(xù)沖擊會使艦艇產(chǎn)生劇烈的運(yùn)動響應(yīng)，可能使武器無法發(fā)射并損壞艦艇上的精密儀器設(shè)備。所以，必須對彈藥的發(fā)射頻率進(jìn)行限制。

綜合以上兩點(diǎn)，針對武器發(fā)射，本文需要解決的問題是找到最優(yōu)化的發(fā)射時間序列，使得在發(fā)射過程中艦艇的運(yùn)動響應(yīng)幅值滿足使用要求，并使完成發(fā)射任務(wù)所用的總時間最少。

1.2 艦艇動力學(xué)模型

建立如圖3 所示的坐標(biāo)系，規(guī)定從船艉向船艏看時，以順時針方向?yàn)檎鏁r針方向?yàn)樨?fù)。

船舶的一般運(yùn)動方程需要考慮6 個方向上的運(yùn)動，包括縱蕩、橫蕩、垂蕩、縱搖、橫搖和艏搖，不同方向的運(yùn)動存在互相耦合[15]。圖中，θ 為橫搖角。在本文模型中，武器基座對船體的作用力包括：1）通過船體重心的橫向力和垂向力；2）繞 x軸的橫搖力矩、繞 y 軸的縱搖力矩和繞 z軸的艏搖力矩。在這些作用力下，船體將發(fā)生5 個自由度上的運(yùn)動（分別對應(yīng)橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖）。由于三體船濕表面在中線面上的總投影面積、排水量和長寬比都相對較大，所以忽略橫蕩、垂蕩、艏搖和縱搖，僅考慮由武器發(fā)射引起的橫搖運(yùn)動。

圖 3 艦艇的運(yùn)動坐標(biāo)系Fig. 3 Coordinate system

在橫搖運(yùn)動中：慣性力矩與角加速度成線性關(guān)系；阻尼力矩在小角度時可視為與橫搖角速度成正比，在大角度時視為與橫搖角速度的平方成比例，但同樣可以通過能量法得到等效線性阻尼力矩系數(shù)而進(jìn)行等效的線性化處理[16-17]；在0°～30°的橫搖角范圍內(nèi)，三體船復(fù)原力矩與橫搖角的關(guān)系基本符合線性假設(shè)。因此，本文中艦艇的橫搖運(yùn)動可以用線性橫搖方程來描述。

小型水面艦艇運(yùn)動受風(fēng)浪的影響非常大，不能忽略。風(fēng)浪帶來的不利因素主要是增加艦艇橫搖幅度，因此在實(shí)際操作時通過降低優(yōu)化問題中約束條件的最大橫搖角度，即可得到符合工程需要的優(yōu)化策略，這種做法本身也是偏保守和安全的。

基于以上分析，為了簡化問題，對艦艇運(yùn)動做如下假設(shè)：

1） 將艦艇視為漂浮在平靜水面上的剛體，武器發(fā)射引起的質(zhì)量變化忽略不計(jì)；

2） 艦艇在武器激勵的作用下只發(fā)生橫搖運(yùn)動，其它方向上的運(yùn)動很小且非考核指標(biāo)，可以忽略不計(jì)[12]；

3） 艦艇在武器激勵作用下發(fā)生的橫搖運(yùn)動角度很小，可以認(rèn)為水對艦艇的阻尼力矩與艦艇的橫搖角速度成正比，復(fù)原力矩與橫搖角成正比。

基于以上假設(shè)，可以列出艦艇做自由橫搖運(yùn)動時的線性橫搖方程為

1.3 武器發(fā)射動力學(xué)模型

1.4 武器發(fā)射時間序列優(yōu)化模型

基于問題描述，要求武器發(fā)射時間序列應(yīng)滿足以下條件：

1） 武器發(fā)射時間序列中的發(fā)射時間間隔應(yīng)該大于武器發(fā)射系統(tǒng)允許的最小間隔發(fā)射時間；

若不要求保持固定的發(fā)射頻率，不等間隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化模型可以表達(dá)為：

2 時間序列的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 優(yōu)化模型的求解

本文使用基于上述原理的Matlab 優(yōu)化工具箱fmincon，選取內(nèi)點(diǎn)法（interior-point）求解優(yōu)化問題式（23）和式（24）[23]。本算例中，計(jì)算參數(shù)如表 1 所示。

表 1 計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters

2.2 計(jì)算結(jié)果與分析

2.2.1 最小間隔發(fā)射

以最小間隔發(fā)射時間 Tlimit為發(fā)射時間序列進(jìn)行艦艇橫搖時歷曲線的仿真。此時，T=[0,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5]T，計(jì)算未經(jīng)過優(yōu)化的發(fā)射總時間，并觀察其是否滿足最大橫搖角的要求。

最小間隔發(fā)射的艦艇橫搖時歷曲線如圖5 所示。在該發(fā)射時間序列下，完成11 次發(fā)射的總時間為5 s；在第5 次發(fā)射后，在慣性作用下艦艇的橫搖角超過了規(guī)定的最大橫搖角7°。因此，這種發(fā)射時間序列不滿足使用要求。

圖 5 最小間隔發(fā)射的艦艇橫搖時歷曲線Fig. 5 Curve of ship roll motion with the minimum launch interval

2.2.2 優(yōu)化后的武器發(fā)射時間序列

等間隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表 2 等間隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化Table 2 Optimum time series with equal launch intervals

其中，完成11 次發(fā)射的艦艇橫搖時歷曲線如圖6 所示。在該發(fā)射時間序列下，完成11 次發(fā)射的總時間為24.90 s；艦艇的橫搖角始終在最大橫搖角7°以內(nèi)。

圖 6 優(yōu)化后的等間隔發(fā)射艦艇橫搖時歷曲線Fig. 6 Optimum curve of ship roll motion with equal launch intervals

從圖6 中可以觀察到，艦艇橫搖時歷曲線為一個近似的振幅逐漸減小的正弦函數(shù)，在第3 次發(fā)射后達(dá)到振幅最大點(diǎn)，因此保證了在后續(xù)發(fā)射過程中橫搖角始終滿足要求。

可以驗(yàn)證對于所有 s ＞2的情況，等間隔的武器發(fā)射時間序列均服從上述策略，其發(fā)射總時間（單位：s）可以表達(dá)為

不等間隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化結(jié)果如表3 所示。

其中，完成11 次發(fā)射的艦艇橫搖時歷曲線如圖7 所示。在該發(fā)射時間序列下，完成11 次發(fā)射的總時間為14.75 s；艦艇的橫搖角始終在最大橫搖角7°以內(nèi)。

從圖7 可以觀察到，該優(yōu)化后的艦艇橫搖時歷曲線體現(xiàn)了3 種減少發(fā)射總時間的不同策略：在開始階段，艦艇第0 次發(fā)射后在到達(dá)最大橫搖角前還可以承受多次發(fā)射，所以應(yīng)盡可能多地發(fā)射。在中間階段，利用發(fā)射帶來的角速度增量對沖原先的橫搖角速度，使艦艇再次橫搖到最大橫搖角。 T3～ T6均采用了該策略，形成了3 個相同的發(fā)射周期。最后階段，在總機(jī)械能由于阻尼的作用而減小，且負(fù)方向的橫搖角速度足夠大時，以最小間隔發(fā)射時間快速地把剩下的彈藥全部發(fā)射完，保證武器全部發(fā)射完成以后艦艇的最大橫搖角滿足要求。從圖7 可以觀察到， T8～ T10均取0.5 s，而在彈藥全部發(fā)射完后的3 s 內(nèi)艦艇發(fā)生的最大一次橫搖運(yùn)動正好為7°。

表 3 不等間隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化Table 3 Optimum time series with unequal launch intervals

圖 7 優(yōu)化后的不等間隔發(fā)射艦艇橫搖時歷曲線Fig. 7 Optimum curve of ship roll motion with unequal launch intervals

可以驗(yàn)證對于所有 s ＞7的情況，不等間隔的武器發(fā)射時間序列均服從上述策略，其發(fā)射總時間 Ttue可以表達(dá)為

比較等間隔和不等間隔的武器發(fā)射時間序列：在2 種發(fā)射模式下，橫搖角均為正值，即艦艇未經(jīng)過平衡位置做逆時針運(yùn)動。這是因?yàn)橐种婆炌н\(yùn)動響應(yīng)是通過利用負(fù)方向的角速度對沖發(fā)射引起的角速度增量來實(shí)現(xiàn)的。如果艦艇做逆時針運(yùn)動且經(jīng)過平衡位置后再發(fā)射，記該發(fā)射角度為 θl-，認(rèn)為可以滿足運(yùn)動響應(yīng)且發(fā)射間隔最短，那么必然存在一個經(jīng)過平衡位置前的角度位置 θl+，并滿足θl-=-θl+，且在橫搖阻尼的作用下，2 個位置的橫搖角速度有關(guān)系 θ˙l-＜θ˙l+。這就意味著在 θl+發(fā)射能夠更好地抑制橫搖運(yùn)動且發(fā)射間隔更短。所以艦艇在最優(yōu)武器發(fā)射時間序列下不可能經(jīng)過平衡位置做逆時針運(yùn)動。從發(fā)射時間來看，相同發(fā)射次數(shù)下不等間隔發(fā)射的總時間僅為等間隔的一半，發(fā)射效率更高。這是因?yàn)榈乳g隔的武器發(fā)射時間序列優(yōu)化模型（式（23））可以轉(zhuǎn)化為與不等間隔發(fā)射模型（式（24））相似的形式，如式（32）所示。所以事實(shí)上等間隔發(fā)射模型是不等間隔發(fā)射模型的一個約束條件更多的特例，優(yōu)化結(jié)果一定不會優(yōu)于不等間隔發(fā)射。

對武器系統(tǒng)本身的性能來說，不等間隔發(fā)射也是優(yōu)于等間隔發(fā)射的。每發(fā)彈藥發(fā)射的初始條件不同，會引起不同的起始擾動，從而嚴(yán)重影響射擊精度和射擊密集度[24]。在艦艇上，可以將艦艇的橫搖角和橫搖角速度看作每發(fā)彈藥發(fā)射的初始條件。于存貴等[25]對艦艇橫浪、斜浪和頂浪工況下火箭炮的發(fā)射進(jìn)行了動力學(xué)仿真，認(rèn)為船舶在波浪作用下產(chǎn)生的搖蕩運(yùn)動會對火箭炮的射擊效果產(chǎn)生影響。本文中，最優(yōu)的不等間隔發(fā)射時間序列在中間階段產(chǎn)生了 s-7個相同的發(fā)射周期，所以中間階段的艦艇橫搖角和橫搖角速度相同。又由于此時艦艇橫搖運(yùn)動剛剛越過角度峰值，橫搖角速度也相對較小。這對減小武器發(fā)射的初始擾動，提升射擊精度和射擊密集度非常有利。此外，在武器大量發(fā)射的情況下，也可以近似看作是等間隔發(fā)射，所以對武器發(fā)射控制系統(tǒng)的要求不會很高。

3 結(jié) 論

本文基于船舶線性橫搖模型和角動量定理，建立了武器發(fā)射過程的數(shù)學(xué)模型，并求解了滿足運(yùn)動響應(yīng)約束條件的最速武器發(fā)射時間序列，得到以下主要結(jié)論：

1） 以最小間隔發(fā)射時間連續(xù)發(fā)射可能無法滿足使用要求，優(yōu)化后的武器發(fā)射時間序列在滿足最大橫搖角要求的前提下可以最小化發(fā)射總時間；

2） 優(yōu)化的等間隔發(fā)射艦艇橫搖曲線呈振幅不斷減小的正弦函數(shù)狀。

3） 不等間隔的武器發(fā)射時間序列的優(yōu)化結(jié)果揭示了3 類提升發(fā)射速度的策略—開始階段盡可能多地發(fā)射，中間階段利用艦艇橫搖的負(fù)角速度實(shí)現(xiàn)周期性地發(fā)射，最后階段通過延長某一次發(fā)射間隔實(shí)現(xiàn)最小時間間隔的連續(xù)發(fā)射。

4） 艦艇在最優(yōu)武器發(fā)射時間序列下不可能經(jīng)過平衡位置做反方向橫搖運(yùn)動。

5） 不等間隔的武器發(fā)射時間序列相對等間隔發(fā)射可以節(jié)省約一半的發(fā)射時間，并提高射擊精度和密集度，大大提升了小型水面艦艇的使用性、戰(zhàn)斗力和生命力。