鮑四元，曹津瑞

蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011

0 引 言

矩形板是實(shí)際工程中的基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、土木工程、船舶結(jié)構(gòu)和車輛工程等領(lǐng)域。矩形板構(gòu)件受到接近臨界載荷的壓力后，有可能會(huì)發(fā)生屈曲破壞，從而造成嚴(yán)重的事故，甚至是極其嚴(yán)重的災(zāi)難。因此，人們?cè)絹?lái)越重視矩形板的屈曲分析。

自Kirchhoff 薄板理論提出以來(lái)，研究者們對(duì)薄板彎曲問(wèn)題充滿了興趣，并探索得到了不同的解決方案。其中，Navier 重三角級(jí)數(shù)解理論和Levy單三角級(jí)數(shù)解[1]理論可以用來(lái)解決矩形板的彎曲問(wèn)題，但這些方法主要適于解決四邊簡(jiǎn)支或?qū)吅?jiǎn)支的矩形薄板。我國(guó)學(xué)者張福范[2]給出了多種邊界條件下矩形薄板彎曲的精確解；錢(qián)偉長(zhǎng)[3]提出了對(duì)合變換和薄板彎曲問(wèn)題的多變量變分原理；胡海昌[4]基于薄板彎曲理論，提出了一個(gè)新的廣義變分原理；付寶連[5]給出彈性力學(xué)混合變量的變分原理，并應(yīng)用到了板結(jié)構(gòu)中；姚偉岸等[6]基于辛對(duì)偶體系，給出了彈性力學(xué)的新型求解方法，可應(yīng)用于薄板結(jié)構(gòu)的力學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)，Wang等[7]提出采用辛迭代疊加法研究矩形薄板的屈曲問(wèn)題，推導(dǎo)了屈曲載荷對(duì)應(yīng)于非平凡解的超越方程，該方法可以解決多種非簡(jiǎn)支邊界約束的薄板屈曲問(wèn)題，但未處理含自由邊界的薄板屈曲問(wèn)題。李楠等[8]基于里茲法和復(fù)數(shù)的棣莫弗公式，研究了復(fù)合材料層合板的動(dòng)力屈曲問(wèn)題。汪星明等[9]基于變量分離法，給出了一種正交各向異性矩形薄板穩(wěn)定問(wèn)題的高效直接解法。這些文獻(xiàn)中的方法均獲得了較大成功，但實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的邊界各不相同，甚至需要使用彈性邊界模擬，而以上解法往往只適用于特定的邊界條件，還未發(fā)現(xiàn)一種普適性的通用解法或結(jié)論。

在研究歐拉梁的自由振動(dòng)時(shí)，Li[10]使用了一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，采用該方法可以非常準(zhǔn)確地分析出任意邊界支撐條件下梁的彎曲振動(dòng)特性。隨后，Li[11]將改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法進(jìn)一步用于研究矩形板的模態(tài)特征，其每個(gè)容許函數(shù)由三角函數(shù)和任意連續(xù)函數(shù)組成，將該組函數(shù)引入以確保邊緣處的殘余位移函數(shù)足夠平滑，并在應(yīng)用Rayleigh-Ritz 法研究板自由振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值算例中證明其具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性。鮑四元等[12]針對(duì)不同截面形狀下彈性支撐多跨梁振動(dòng)，給出了一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)分析。史冬巖等[13]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)正交各向異性板的位移函數(shù)進(jìn)行了表達(dá)，其將薄板結(jié)構(gòu)的彎曲位移函數(shù)表示為改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式，用里茲法所得到的固有頻率值與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的正確性。此外，王昊昊等[14]應(yīng)用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)研究了方形開(kāi)口矩形板的振動(dòng)特性；石先杰等[15]針對(duì)任意邊界條件下環(huán)扇形板的靜、動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析；薛開(kāi)等[16]應(yīng)用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)Mindlin 矩形板在任意彈性邊界條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析；Bao 等[17]給出了矩形薄板和環(huán)扇形薄板彎曲振動(dòng)特性的一種統(tǒng)一研究方法。以上對(duì)薄板或Mindlin 板振動(dòng)的研究中，均使用了位移函數(shù)展開(kāi)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式。

針對(duì)任意彈性邊界下矩形薄板的屈曲問(wèn)題，本文擬采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法和最小勢(shì)能原理，得到矩形薄板結(jié)構(gòu)在彈性邊界條件下的屈曲特性。任意彈性邊界條件[10-11，18]通過(guò)設(shè)定旋轉(zhuǎn)約束彈簧和橫向位移約束彈簧的剛度值來(lái)模擬，以克服以往只能求解某些特定經(jīng)典邊界條件板屈曲問(wèn)題的缺陷，并通過(guò)算例驗(yàn)證本文方法的收斂性、準(zhǔn)確性及其效率。

1 矩形薄板屈曲問(wèn)題的理論模型

1.1 矩形薄板結(jié)構(gòu)的物理模型

本文建立的一般彈性邊界條件下受壓矩形板結(jié)構(gòu)的物理模型如圖1 所示。矩形板長(zhǎng)為a，寬為b，在x 方向受均布?jí)毫Φ淖饔?，載荷集度為P。

圖 1 彈性邊界條件矩形薄板受壓示意圖Fig. 1 Illustration of thin rectangular plate with elastic boundary conditions

1.2 基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)模型求解

根據(jù)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)[11,13]建立板結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型，設(shè)薄板彎曲位移的形式為

式（7）成立的假設(shè)條件是采用薄板的小撓度理論。

1.3 確定臨界載荷

根據(jù)式（5），板結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)系數(shù)Aij求導(dǎo)，可得

對(duì)應(yīng)矩陣特征值問(wèn)題，所得特征值P 對(duì)應(yīng)于板結(jié)構(gòu)的臨界載荷值 。基于式（12），求解矩陣特征向量，即式（11）中傅里葉系數(shù)組成的列向量A，將其代回式（1），從而可得各階屈曲模態(tài)。

2 算 例

以下敘述中，簡(jiǎn)支邊界記為S，自由邊界記為F，固定邊界記為C，彈性邊界記為E。分別計(jì)算經(jīng)典邊界和含彈性邊界矩形薄板的屈曲特性,其中經(jīng)典邊界包括CCCC，CCCS，CCSS，CCCF，CCFF和CSCF 6 種。此記法中，4 個(gè)字母代表邊界條件所在邊的對(duì)應(yīng)次序是 x=0, y=0, x=a 和 y=b。還考察了 4 種彈性邊界條件 ENENENEN（N=1, 2, 3, 4），其無(wú)量綱彈簧約束剛度系數(shù)（包括橫向彈簧剛度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)）均設(shè)置為10i。不同邊界條件下，各種剛度系數(shù)所采用的具體值如表 1 所示。表中，kT/D 的單位為 1/m2，kR/D 的單位為1/m。

表 1 不同彈性邊界條件中橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的約束剛度系數(shù)取值Table 1 The values chosen for the constrained stiffness coefficients of translational springs and rotational springs with different elastic boundary conditions

2.1 四邊固支薄板

表2 所示為矩形板在四邊固支（CCCC）邊界條件下的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)。設(shè)定矩形板4 條邊上的橫向位移約束和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)均為1010。表2 示出了矩形板四邊固支條件下，b/a 取值分別為 4.5，3.5，2.5，1.5和 0.5 時(shí)，矩形板前10 階屈曲載荷系數(shù) Pˉ=Pcra2/Dπ2（其中Pcr為臨界屈曲載荷）與文獻(xiàn)[7]中計(jì)算結(jié)果的比較。

由表2 可知，采用本文計(jì)算方法得到的矩形板前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)與文獻(xiàn)[7]中辛迭代疊加法的計(jì)算結(jié)果一致，可以說(shuō)明，在四邊固支邊界條件下，利用本文方法計(jì)算所得的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)是正確的，并且具有良好的計(jì)算精度。

表3 所示為CCCC 邊界條件下，在矩形板長(zhǎng)寬比b/a=0.5 和4.5這2 種情況下，當(dāng)級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)tm（或 tn）分別取 10，20，30 時(shí)的計(jì)算結(jié)果。從中可以看出，計(jì)算結(jié)果非常接近，說(shuō)明本文方法具有良好的收斂性。

2.2 三邊固支、一邊簡(jiǎn)支薄板

表4 所示為矩形板在三邊固支、一邊簡(jiǎn)支（CCCS） 邊界條件下的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)。由表4 可知，采用本文方法計(jì)算得到的矩形板前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)與文獻(xiàn)[7]中的有限元計(jì)算（FEM）結(jié)果一致。所以，在CCCS 邊界條件下，同樣驗(yàn)證了本文方法的正確性及其良好精度。

表 2 CCCC 邊界矩形板前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)Table 2 Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

表 3 CCCC 邊界矩形板收斂性分析Table 3 Convergence analysis for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

表 4 CCCS 邊界矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)Table 4 Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCS boundary conditions

2.3 兩鄰邊固支、兩鄰邊簡(jiǎn)支薄板

表5 所示為兩鄰邊固支、兩鄰邊簡(jiǎn)支（CCSS）邊界條件下，矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)。由表5 可知，采用本文計(jì)算方法得到的矩形板前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)與文獻(xiàn)[7]中精確解結(jié)果一致，說(shuō)明在該邊界條件下，本文方法具有良好的計(jì)算精度。

2.4 含自由邊界的薄板

本節(jié)考慮3 種含自由邊界薄板的屈曲問(wèn)題：三邊固支、一邊自由（CCCF）；兩鄰邊固支、另兩邊自由（CCFF）和 x =0 邊簡(jiǎn)支、 y =0 邊自由、 x = a和 y = b 邊均固支（CSCF）。對(duì)于 CCCF，CCFF 及CSCF 邊界矩形板，采用本文方法計(jì)算所得到的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)分別如表6～表8 所示。

表 5 CCSS 邊界矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)Table 5 Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCSS boundary conditions

表 7 CCFF 邊界矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)Table 7 Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCFF boundary conditions

表 8 CSCF 邊界矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)Table 8 Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CSCF boundary conditions

自由邊界屬于弱約束，相關(guān)薄板屈曲的結(jié)果較少。文獻(xiàn)[7，19]雖然含有多種經(jīng)典邊界，但未包括自由邊界的情況。因此，以上算例可作為標(biāo)準(zhǔn)算例，所提供的結(jié)果可為工程應(yīng)用提供參考。

2.5 含彈性邊界的薄板

為研究含彈性邊界薄板的屈曲問(wèn)題，令某方形薄板的邊界條件從四邊自由（FFFF）逐步過(guò)渡到四邊固支（CCCC），其中含有經(jīng)典邊界條件SSSS，CSCS 和多種彈性邊界條件（EiEiEiEi，i=1, 2, 3, 4）。

由表9 所得各階屈曲系數(shù)的結(jié)果可知，隨著邊界約束的加強(qiáng)（按照表9 第1 列由上到下的次序），板的第1 階屈曲載荷系數(shù)值也在逐漸增加。

另外，以長(zhǎng)度和寬度均為1 m 的方形板，以及表9 中CSCS 邊界板為例，給出該約束情況下，長(zhǎng)、寬均為1 m 方形板前3 階屈曲模態(tài)的等值曲面，如圖2 所示（圖中橫、縱坐標(biāo)均為方形板長(zhǎng)、寬坐標(biāo)值，單位：m）。其中，圖2(b) 為反對(duì)稱情形，圖2(c)為對(duì)稱情形。

表 9 邊界約束逐漸加強(qiáng)時(shí)方形板的無(wú)量綱屈曲荷載系數(shù)Table 9 Dimensionless buckling parameters for a square thin plate with the boundary condition becoming stiffer

圖 2 CSCS 邊界方形板的前3 階屈曲模態(tài)Fig. 2 The first three modes of a square plate with CSCS boundary

3 結(jié) 論

本文對(duì)任意彈性邊界矩形薄板結(jié)構(gòu)的屈曲特性進(jìn)行了分析研究，得到以下主要結(jié)論：

1） 用結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)建立描述結(jié)構(gòu)位移的函數(shù)關(guān)系式，即用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法表達(dá)；基于最小勢(shì)能原理，得到關(guān)于位移級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題，從而求得矩形板結(jié)構(gòu)的臨界載荷。

2） 得到矩形板的前10 階無(wú)量綱屈曲載荷系數(shù)，與已有精確解結(jié)果或有限元結(jié)果吻合較好，充分證明了所提方法的正確性，并且具有良好的收斂性。

3） 通過(guò)改變結(jié)構(gòu)四邊的彈簧剛度值，有效模擬了結(jié)構(gòu)在任意彈性邊界條件下的屈曲問(wèn)題，并給出了典型邊界條件下彈簧剛度的合理取值，可為實(shí)際工程應(yīng)用提供可靠依據(jù)。