喻揚(yáng)濤，段 鵬

(1.云南民族大學(xué) 人民武裝學(xué)院，云南 昆明 650118;2.云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

蠟染是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，主要分布于我國西南少數(shù)民族地區(qū).由于工藝的原因，手工蠟染作品會(huì)形成無法重現(xiàn)的“冰紋”，成為蠟染的靈魂.由于染制環(huán)境的復(fù)雜性，蠟染冰紋及其色彩隨機(jī)性較強(qiáng)，各次染制中，雖然風(fēng)格基本相同，但從細(xì)節(jié)上來看，卻存在一定差異， “一圖多樣，各圖不同”成為蠟染作品生命力的重要體現(xiàn).隨著社會(huì)的發(fā)展，傳統(tǒng)蠟染快速消亡.作為蠟染技藝保護(hù)的重要手段，蠟染數(shù)字化研究引起了研究者們的積極關(guān)注，也取得了一些有效的成果.圖案、冰紋的計(jì)算機(jī)生成，染色的數(shù)字化模擬是蠟染數(shù)字化的主要工作.本文以云南蠟染畫為研究對(duì)象，主要討論P(yáng)erlin噪聲在冰紋生成和染色模擬中的應(yīng)用.

Wyvill等[1]較早開始對(duì)印尼蠟染冰紋生成進(jìn)行初步研究，提出了基于距離變換的冰紋生成和染色方法.Tang等[2]提出了基于Voronoi圖的蠟染冰紋生成方法，并使用雙曲模型模擬了冰紋的交點(diǎn)加粗效果.Liu等[3]基于斷裂力學(xué)，提出使用改進(jìn)的有限元分析方法生成冰紋，在時(shí)間復(fù)雜度上有較大提升.Lv等[4]在生成分叉狀裂紋時(shí)使用了基于分形的方法.Huang等[5]將可變卷積和混合擴(kuò)散卷積應(yīng)用到冰紋生成中.Tian等[6]提出一種基于分形幾何的圖案生成方法，用于自動(dòng)生成花朵.Yuan等[7]也提出基于分形幾何的蝴蝶圖案生成方法.Morimoto等[8]基于幾何折疊和擴(kuò)散，以日本扎染織紋為研究對(duì)象，建立幾何折疊模型和擴(kuò)散滲透模型.劉世光等[9]模擬了布料上污漬的擴(kuò)散.我們以云南蠟染畫為研究對(duì)象，在冰紋生成和染色方面也做了一些工作[10-14]

Ken Perlin[15-16]于1983年提出Perlin噪聲，后面又做了大量改進(jìn).由于Perlin噪聲符合自然特性，常用于生成各種自然特效，在影視、游戲、藝術(shù)繪制領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.不同應(yīng)用中噪聲生成方法，表面、煙霧、火焰、云層、水面、地形和石材紋理等場景的模擬，都取得了一系列的成果.Hart等[17]開發(fā)了一個(gè)通用的多通道像素著色器產(chǎn)生的柏林噪聲函數(shù).Bridson等[18]基于Perlin噪聲生成湍流速度場，模擬湍流和圍繞任意剛性物體的流動(dòng).Acosta等[19]使用Perlin 噪聲來模擬氧化物紋理.Qi等[20]使用Perlin噪聲在3D虛擬環(huán)境中渲染云，可以根據(jù)用戶的視點(diǎn)來更改云的位置和方向.Li等[21]將Perlin噪聲應(yīng)用于水面可視化.芮小平[22]提出Perlin 噪聲的三維地形可視化方法.金磊[23]基于Perlin噪聲生成大理石紋理.Inoue等[24]研究了Perlin噪聲生成具有光學(xué)反射特性的紙張表面形貌.Abdolhoseini[25]等使用高斯混合模型和Perlin噪聲函數(shù)模擬了神經(jīng)元核微環(huán)境.特有少數(shù)民族風(fēng)情風(fēng)格方面，Perlin噪聲鮮有應(yīng)用.

1 Perlin 噪聲及其生成

Perlin噪聲兼具連續(xù)性和隨機(jī)性，不同的應(yīng)用場景，通常使用不同的算法生成.一維Perlin噪聲常用于卷軸地形、模擬手繪線條等；二維、三維Perlin噪聲常用于二維、三維自然現(xiàn)象的模擬；四維Perlin噪聲常用于動(dòng)畫制作.頻率、持續(xù)度是Perlin噪聲的基本參數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，通常把振幅的值歸一化到[-1,1]或[0,1]，頻率有時(shí)用波長表示.Perlin噪聲由分別擁有不同頻率和振幅的平滑函數(shù)疊加而成.其生成過程主要有隨機(jī)數(shù)生成、插值、平滑、疊加.

圖1示意了生成隨機(jī)數(shù)，以及之后的插值過程.首先，在關(guān)鍵點(diǎn)上生成[0,1]間的隨機(jī)數(shù)，如圖1(a)；插值在隨機(jī)數(shù)間進(jìn)行，結(jié)果為連續(xù)噪聲函數(shù)，如圖1(b).立方插值、余弦插值、線性插值是常用的方法.立方插值效果好，但計(jì)算麻煩，較為耗時(shí)；線性插值簡單快速，但效果稍差.具體使用的插值方法，通常根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的要求選擇.余弦插值兼具結(jié)果的平滑性和較低的復(fù)雜度，使用較多.插值后的噪聲為連續(xù)噪聲，但其平滑度較差，通常需要平滑，方法與具體應(yīng)用相關(guān).各個(gè)不同頻率、不同振幅的平滑函數(shù)最終進(jìn)行疊加，Perlin噪聲最終可得，如圖2.

圖1 隨機(jī)數(shù)插值

圖2 二維Perlin噪聲生成過程

實(shí)際應(yīng)用中，頻率通常按二倍減少，振幅按比減少，稱持續(xù)度(Persistence).Persistence大，主要體現(xiàn)高頻噪聲特征；Persistence小，主要體現(xiàn)低頻噪聲特征.

使用Persistence參數(shù)，對(duì)第i個(gè)平滑函數(shù)，有：

frequencyi=2i，amplitudei=Persistencei.

(1)

2 Perlin噪聲在蠟染數(shù)字化模擬中的應(yīng)用

蠟染數(shù)字化關(guān)鍵技術(shù)里，Perlin噪聲的主要應(yīng)用是染色模擬和冰紋生成.一維Perlin噪聲應(yīng)用于冰紋生成，在冰紋的寬度和濃度上添加.二維Perlin噪聲應(yīng)用于染色中暈染和斑駁現(xiàn)象的形成.本文設(shè)計(jì)了一維和二維Perlin噪聲的生成算法(PND算法).為方便計(jì)算，使用波長代替頻率.

Perlin噪聲生成(Perlin noise generating，PND)算法

step 1 設(shè)置波長及振幅.

step 2 根據(jù)波長，在關(guān)鍵點(diǎn)生成隨機(jī)數(shù)，在關(guān)鍵點(diǎn)間，對(duì)各點(diǎn)插值.

step 3 對(duì)插值結(jié)果平滑，獲得平滑函數(shù)，將平滑函數(shù)振幅進(jìn)行變換，疊加.

step 4 若達(dá)到噪聲要求則停止，否則修改波長及振幅，重復(fù)Step 2.

波長初始值常為2n，波長n倍處為關(guān)鍵點(diǎn)，這些點(diǎn)處生成隨機(jī)數(shù).關(guān)鍵點(diǎn)外，逐一進(jìn)行插值.一維插值基礎(chǔ)上，可進(jìn)行二維插值.插值后的關(guān)鍵技術(shù)為平滑，一維和二維函數(shù)分別使用用均值平滑和高斯平滑.波長按減半迭代，若波長低于閾值，或迭代次數(shù)滿足條件，停止疊加.振幅按持續(xù)度以乘積形式遞減.

2.1 一維Perlin噪聲生成

設(shè)PL(x)為x點(diǎn)處一維噪聲值，TL(x)為x點(diǎn)處每次疊加的平滑噪聲函數(shù)值，TL長度為CrackLength，波長為WeaveLength，通常，CrackLength為WeaveLength的整數(shù)倍.隨機(jī)數(shù)在波長n倍處生成.Tl(0),Tl(WeaveLength),Tl(2×WeaveLength),…Tl(n×WeaveLength)，Tl(CrackLength)處生成0到1的隨機(jī)數(shù).

a,b和x為插值函數(shù)的3個(gè)參數(shù)，兩端點(diǎn)為a和b，插值點(diǎn)為x.對(duì)位于Tstart至Tend間的插值點(diǎn)i，各插值參數(shù)取值如下：

(2)

均值平滑使用在一維噪聲函數(shù)中.設(shè)Noise(x)為當(dāng)前點(diǎn)噪聲，Noise(x-1)為前一點(diǎn)噪聲，Noise(x+1)為后一點(diǎn)噪聲，計(jì)算當(dāng)前點(diǎn)為：

(3)

2.2 一維Perlin噪聲在冰紋生成中的應(yīng)用

由指定參數(shù)生成一維Perlin噪聲后，可根據(jù)所需的噪聲強(qiáng)度，將其加入到生成的冰紋中.

原冰紋寬度沒有變化，均為d；待混合Perlin噪聲為p(x)，則x處混合Perlin噪聲后，寬度dp(x)為：

dp(x)=(1-α)d+αp(x)d.

(4)

上式中，α為噪聲因子，在[0,1]間取值.α值大，噪聲影響寬度更為顯著；α值小，冰紋較多保持原來寬度.Perlin噪聲對(duì)濃度的影響，原理與寬度類似.

以平行狀單條冰紋為對(duì)象，我們加入Perlin噪聲，影響其寬度、濃度.通過實(shí)驗(yàn)研究了波長值、持續(xù)度、α值發(fā)生變化對(duì)冰紋形態(tài)的影響.

圖3為單條冰紋加入Perlin噪聲效果.圖3(a)為不同波長Perlin噪聲對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果， 單條冰紋中，寬度變化的頻率由Perlin噪聲的波長決定.較大波長對(duì)應(yīng)寬度的低頻變化，此時(shí)以平緩為基調(diào)；較小波長對(duì)應(yīng)寬度的高頻變化，此時(shí)以變化劇烈為特點(diǎn).

圖3(b)示意了持續(xù)度改變對(duì)冰紋視覺效果的影響.持續(xù)度越小，噪聲越多顯現(xiàn)低頻部分，其形態(tài)更為光滑；持續(xù)度越大，噪聲越多顯現(xiàn)高頻部分，其形態(tài)顯得粗糙.圖3(b)可看出，就整體寬度而言，其變化不大，但由于持續(xù)發(fā)生了變化，粗糙程度變化卻較為明顯.圖3(c)為改變?chǔ)林禃r(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.可看出，由上至下，噪聲影響逐漸增大，寬度變化愈趨劇烈.

圖3 Perlin噪聲各參數(shù)分析

2.3 二維Perlin噪聲生成

設(shè)PMat(x,y)為二維噪聲，TMat(x,y)為當(dāng)前平滑噪聲函數(shù)，Prows為行數(shù)，PCols為列數(shù)，波長為WeaveLength.TMat(Rand X, Rand Y)處先行生成隨機(jī)數(shù)，服從平均分布，取值為[0,1]，其中

(6)

其中，m和n是整數(shù).

二維插值以一維插值為基礎(chǔ).設(shè)插值點(diǎn)TMat (j,i)四周頂點(diǎn)為V0(Left,Top)，V1(Right,Top)，V2(Left,Bottom)，V3(Right,Bottom).由于V0(Left,Top)，V1(Right,Top)同處于Top行，首先對(duì)其進(jìn)行一維插值.參數(shù)取值為：a=TMat(Left,Top)，b=TMat(Right,Top)，x=(j-Left)/(Right-Left).該插值返回結(jié)果為TopValue.接下來，V2(Left,Bottom)，V3(Right,Bottom)同處于Bottom行，對(duì)其插值，參數(shù)取值為：a=TMat(Left,Bottom)，b=TMat(Right,Bottom)，x=(j-Left)/(Right-Left)，該插值返回結(jié)果為BottomValue.同理，垂直方向也應(yīng)對(duì)TopValue，BottomValue插值，參數(shù)為：a=TopValue，x=(i-top)/(Bottom-Top)，x=(i-top)/(Bottom-Top).

二維噪聲函數(shù)TMat可使用圖像進(jìn)行表示，故其平滑可用圖像平滑方法完成，本文使用高斯平滑.

2.4 二維Perlin噪聲在蠟染染色中的應(yīng)用

我們使用文獻(xiàn)[13]的算法進(jìn)行蠟染染色.二維Perlin噪聲在染色中的應(yīng)用主要是實(shí)現(xiàn)染料濃度在連續(xù)性基礎(chǔ)上的隨機(jī)變化，模擬蠟染作品中的斑駁、暈染現(xiàn)象，提高作品的表現(xiàn)力.

設(shè)原圖像為I(x)，則加入噪聲的圖像Ip(x)為：

Ip(x)=(1-α)I(x)+αf(p(x)).

(7)

式(7)中，α為噪聲因子.f為變換函數(shù)，該函數(shù)由染色區(qū)域、濃度等因素確定.本文中變換函數(shù)f使用映射圖表示.

二維Perlin噪聲的波長、持續(xù)度、α值同樣對(duì)結(jié)果具有決定性的影響.圖4為使用不同波長、不同持續(xù)度生成的二維Perlin噪聲.圖4(a)到圖4(d)是不同波長的結(jié)果.圖4(a)到圖4(d)波長逐步減小，噪聲逐步豐富，圖4(a)最為平滑，圖4(d)最為豐富.可見，波長決定了噪聲的豐富程度.圖4(e)到圖4(h)是相同波長，不同持續(xù)度的結(jié)果.圖4(e)到圖4(h)高頻噪聲越來越明顯，4(e)噪聲較為平滑，高頻成分并不突出；圖4(h)中低頻部分并不明顯，高頻部分則較為突出.值得注意的是，圖4(e)到圖4(h)中雖然持續(xù)度不同，但波長相同.結(jié)果中，雖然高頻信息和低頻信息各不相同，但整體形態(tài)卻基本一致.說明噪聲的基本形態(tài)是由波長決定的，而持續(xù)度主要影響的是其細(xì)節(jié)形態(tài).

圖4 波長和持續(xù)度對(duì)Perlin噪聲的影響

3 實(shí)驗(yàn)與分析

在采用文獻(xiàn)[11]的蠟染冰紋生成算法和文獻(xiàn)[13]的蠟染染色算法基礎(chǔ)上，我們使用本文方法生成了適于蠟染冰紋和染色的一維和二維Perlin噪聲，基于Visual Studio +OpenCv環(huán)境進(jìn)了模擬實(shí)驗(yàn).模擬主要考慮兩種情景，一是布料較為細(xì)膩，布料特征不明顯，僅模擬冰紋生成和染色；二是布料較為粗糙，具有明顯的紡織視覺特征.

圖5為加入了Perlin噪聲的冰紋生成結(jié)果，沒有布料織物特征.圖5(a)為分支型冰紋，Perlin噪聲主要影響冰紋的寬度和亮度，使得同一冰紋的不同位置寬度和亮度產(chǎn)生變化，該變化在連續(xù)的基礎(chǔ)上，又具有一定的隨機(jī)性.圖5(a)為體現(xiàn)“碗”的光照變化，還對(duì)合成的圖像進(jìn)行了光照處理，光照加入了二維Perlin噪聲.加入噪聲后，圖像高光區(qū)域和低光區(qū)域界限顯得較不規(guī)則，但又保持了高光和低光的基本視覺效果，增加了作品的靈動(dòng)之氣.圖5(b)為多色染制中的龜裂狀冰紋，Perlin噪聲主要影響冰紋寬度和染料濃度.圖5(c)為純網(wǎng)格狀冰紋生成，Perlin噪聲主要影響冰紋寬度、染料濃度.從冰紋生成的結(jié)果來看，對(duì)于蠟染作品中常見的冰紋形態(tài)，Perlin噪聲都可以在保持連續(xù)性的基礎(chǔ)上增加變化，從而提高作品的生命力和表現(xiàn)力.

圖5 蠟染冰紋模擬結(jié)果

圖6為加入了Perlin噪聲的布料染色結(jié)果，具有明顯的布料特征.圖6(a)與圖6(b)中，Perlin噪聲持續(xù)度值相同，通過波長變化觀察染色結(jié)果的變化.若波長較大，噪聲較為平滑，暈染區(qū)塊數(shù)量較少，單個(gè)區(qū)塊面積較大，適合模擬較為均勻的暈染，斑駁現(xiàn)象并不突出；當(dāng)波長較小時(shí)，暈染區(qū)塊數(shù)量較多，單個(gè)區(qū)塊面積較小，適合模擬較為細(xì)碎的暈染，點(diǎn)塊狀斑駁現(xiàn)象更為突出.

圖6(c)和圖6(d)Perlin噪聲使用了相同的波長，持續(xù)度發(fā)生了變化.2圖暈染區(qū)塊數(shù)量及單個(gè)區(qū)塊面積相當(dāng)，但其視覺效果確有較大區(qū)別.由于圖6(c)采用了較大的持續(xù)度，其染色結(jié)果高頻成分較多，暈染更為細(xì)碎，斑駁更為明顯.可見，通過調(diào)節(jié)波長和持續(xù)度參數(shù)，可以有效控制染色的視覺效果.

圖6 具有明顯布料特征的蠟染染色模擬

在圖6中，我們也生成了冰紋，由于冰紋主要生成于圖案中面積較小區(qū)域，主要呈斷裂形態(tài).冰紋生成中，Perlin噪聲也影響了冰紋寬度、染料濃度，使得冰紋形態(tài)既能隨機(jī)變化，又能保持其本質(zhì)的特征，能夠較好體現(xiàn)手工蠟染冰紋的基本特點(diǎn).

4 結(jié)語

本文以云南蠟染為對(duì)象，研究Perlin噪聲在其數(shù)字化模擬中的應(yīng)用，主要工作是一維Perlin噪聲和二維Perlin噪聲在蠟染冰紋生成、染色、布料模擬中的使用.全文討論了蠟染模擬中生成適合蠟染特點(diǎn)的一維Perlin噪聲和二維Perlin噪聲；根據(jù)蠟染要求，建立噪聲混合函數(shù)，將Perlin噪聲加入到蠟染作品中；選取適合蠟染模擬的Perlin噪聲參數(shù)，實(shí)驗(yàn)分析噪聲參數(shù)對(duì)染色結(jié)果的影響.

實(shí)驗(yàn)表明，算法在蠟染模擬中可以有效表達(dá)冰紋形態(tài)；能夠體現(xiàn)常見的單色染制、多色染制，布料結(jié)構(gòu)基本特征；對(duì)染色中常出現(xiàn)的暈染、斑駁現(xiàn)象能夠有效實(shí)現(xiàn).

手工蠟染作品受環(huán)境、作者、原料等各種因素影響較大，染制中還有其它本文未涉及的視覺特征.采用合適的方法模擬蠟染作品的這些特征，以及探索Perlin噪聲在云南少數(shù)民族風(fēng)情繪畫中其它應(yīng)用，將會(huì)成為后續(xù)的工作方向.