曲良輝 都琳 曹子露 胡海威 鄧子辰

1) (西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710129)

2) (西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 西安 710129)

3) (中原工學(xué)院理學(xué)院, 鄭州 450007)

4) (復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710072)

神經(jīng)元的自突觸結(jié)構(gòu)具有自反饋的作用, 神經(jīng)遞質(zhì)量子形式的釋放使得自突觸的自反饋?zhàn)饔萌菀资艿綌_動(dòng), 本文重點(diǎn)研究了化學(xué)自突觸的電導(dǎo)擾動(dòng)對(duì)FHN 神經(jīng)元電生理活動(dòng)的影響. 首先, 恰當(dāng)?shù)幕瘜W(xué)自突觸參數(shù)能夠產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)行為的分岔現(xiàn)象, 誘導(dǎo)不同周期峰放電模式之間的轉(zhuǎn)遷. 特別地, 自突觸的自反饋功能會(huì)引起從混沌放電狀態(tài)到周期的峰放電或準(zhǔn)周期的簇放電狀態(tài)的轉(zhuǎn)遷. 其次, 基于神經(jīng)遞質(zhì)釋放的量子特征,借助放電頻率和變異系數(shù)兩個(gè)指標(biāo)定量地研究自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)的影響. 數(shù)值結(jié)果表明自突觸電導(dǎo)的擾動(dòng)在自反饋的作用下能夠改變離子通道的活性, 不僅提高FHN 神經(jīng)元對(duì)外加激勵(lì)信號(hào)的編碼效率, 而且改變神經(jīng)元放電活動(dòng)的規(guī)則性, 誘導(dǎo)顯著的相干或隨機(jī)雙共振現(xiàn)象, 其內(nèi)在機(jī)制是電導(dǎo)擾動(dòng)所引起的神經(jīng)元系統(tǒng)不穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)分岔. 本文的研究進(jìn)一步揭示了自突觸結(jié)構(gòu)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)自我調(diào)節(jié)的作用, 有待為生理操控自突觸結(jié)構(gòu)提供理論參考.

1 引 言

大腦神經(jīng)系統(tǒng)由神經(jīng)元和神經(jīng)膠質(zhì)細(xì)胞共同構(gòu)成, 各個(gè)神經(jīng)元之間通過突觸實(shí)現(xiàn)神經(jīng)信息的傳遞和通信. 特別地, 一個(gè)神經(jīng)元的軸突可以和自身的樹突或胞體發(fā)生突觸連接, 從而形成一種特殊的自突觸結(jié)構(gòu). van der Loos 和Glaser[1]在1972 年首次公開報(bào)道了這種突觸結(jié)構(gòu). 目前, 已經(jīng)證實(shí)許多腦區(qū)都存在自突觸結(jié)構(gòu), 且自突觸也遵循神經(jīng)系統(tǒng)工作的結(jié)構(gòu)原理[2,3]. 關(guān)于自突觸的成因目前主要有兩種解釋, 一是自突觸結(jié)構(gòu)是由神經(jīng)損傷或信號(hào)傳輸受阻所致, 是神經(jīng)元自適應(yīng)和自我調(diào)節(jié)的結(jié)果[4], 二是通道噪聲的存在導(dǎo)致了自突觸結(jié)構(gòu)的發(fā)生[5], 這些解釋還有待深入的生理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行證實(shí).

生理上, 自突觸分為化學(xué)自突觸和電自突觸兩種類型, 能夠提供一種自反饋的作用, 體現(xiàn)了神經(jīng)元過去狀態(tài)對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的影響. 數(shù)學(xué)上, 自突觸功能通常用一個(gè)時(shí)滯反饋項(xiàng)進(jìn)行刻畫, 其作用大小主要由自突觸電導(dǎo)和延遲時(shí)間兩個(gè)參數(shù)決定[6?9]. 由于自突觸結(jié)構(gòu)的特殊性, 已經(jīng)吸引了許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究. 對(duì)于單個(gè)神經(jīng)元系統(tǒng)來說, 自突觸功能主要是調(diào)控神經(jīng)元的放電行為, 能夠引起神經(jīng)元放電模式的轉(zhuǎn)遷. 通常, 電自突觸正反饋能夠提高神經(jīng)元的興奮性, 而負(fù)反饋抑制神經(jīng)元的放電活動(dòng),可以引起從簇放電到峰放電的狀態(tài)轉(zhuǎn)遷[10?13]. 無論是弱突觸輸入還是強(qiáng)突觸輸入電流, 自突觸延遲時(shí)間能引起神經(jīng)元產(chǎn)生多相干共振現(xiàn)象[14,15], 并且具有自突觸結(jié)構(gòu)的神經(jīng)元能夠有選擇性地輸出頻率一定的放電脈沖序列, 起到低通或帶通濾波器的作用[16]. 另外, 自突觸結(jié)構(gòu)還能夠改變神經(jīng)元系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的分岔類型[17], 且恰當(dāng)?shù)臅r(shí)滯時(shí)間能夠使得神經(jīng)元信息傳輸?shù)哪芰湍芰啃首畲骩18].對(duì)于神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò), 自突觸結(jié)構(gòu)可以作為節(jié)拍器或控制器對(duì)網(wǎng)絡(luò)的放電活動(dòng)進(jìn)行調(diào)控, 不僅能夠提高網(wǎng)絡(luò)的同步性, 而且還能改變神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)時(shí)空斑圖的演化規(guī)律[19?27]. 作為節(jié)拍器的電自突觸能夠使得二維最近鄰耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生靶波或螺旋波[28,29]. 特別地, 電自突觸的負(fù)反饋能夠抑制網(wǎng)絡(luò)中波的傳播, 而正反饋可以通過誘導(dǎo)靶波而實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)放電活動(dòng)的調(diào)控[30]. 當(dāng)自突觸時(shí)滯為神經(jīng)元自身振蕩周期的整數(shù)倍時(shí), 自突觸時(shí)滯會(huì)引起神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生多相干共振或多隨機(jī)共振現(xiàn)象[15,31?33],并且在STDP(spike-timing-dependent plasticity)突觸可塑性的條件下還能夠增強(qiáng)突觸噪聲引起的多相干共振現(xiàn)象和誘導(dǎo)顯著的同步轉(zhuǎn)遷行為[34].另外, 自突觸結(jié)構(gòu)能夠?qū)ewman-Watts 小世界的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中的弱局部周期信號(hào)的傳播進(jìn)行有效的調(diào)節(jié)[35], 且在電磁感應(yīng)的作用下, 化學(xué)自突觸能誘導(dǎo)兩個(gè)耦合的神經(jīng)元從混合振蕩模式到周期放電模式的轉(zhuǎn)遷[36]. 進(jìn)一步地, 自突觸的自反饋?zhàn)饔靡蕾囉谧酝挥|結(jié)構(gòu)在神經(jīng)元系統(tǒng)中所處的位置[2],其恰當(dāng)?shù)奈恢梅植寄軌蛴行У靥岣呱窠?jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步性[37], 且少量的自突觸結(jié)構(gòu)可以通過誘導(dǎo)半環(huán)形靶波恢復(fù)由相位噪聲中斷的神經(jīng)信號(hào)的傳播[38].

神經(jīng)元系統(tǒng)中的自突觸結(jié)構(gòu)具有如此豐富的計(jì)算神經(jīng)特征, 是否可以考慮生理操控自突觸結(jié)構(gòu)用來治療某些器質(zhì)性的神經(jīng)疾病呢? 基于這樣的目的, 本文選取FHN 神經(jīng)元為研究對(duì)象, 探討化學(xué)自突觸電導(dǎo)的擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響. 首先, 研究FHN 神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)外加激勵(lì)的響應(yīng)特征. 其次, 討論化學(xué)自突觸的兩個(gè)參數(shù)所引起的動(dòng)力學(xué)分岔現(xiàn)象. 最后, 借助放電頻率和變異系數(shù)兩個(gè)指標(biāo)研究化學(xué)自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)的影響, 并探討電導(dǎo)擾動(dòng)所引起的雙共振現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

2 數(shù)學(xué)模型及其動(dòng)力學(xué)分析

考慮神經(jīng)藥物或毒素對(duì)神經(jīng)元離子通道活性的調(diào)節(jié)作用, 可以得到具有化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)的FHN(FitzHugh-Nagumo)神經(jīng)元模型為[39,40]

其中

式中, 變量V表示膜電壓,W表示恢復(fù)變量. 對(duì)應(yīng)著神經(jīng)藥物或毒素對(duì)神經(jīng)元離子通道活性調(diào)節(jié)作用的外加激勵(lì)可以表示為Iext=Acos(2πft) , 其中A和f分別為激勵(lì)的振幅和頻率.Iaut為自突觸電流, 本文考慮快速閾值調(diào)制方式的化學(xué)自突觸. 由于化學(xué)神經(jīng)遞質(zhì)釋放的量子形式[41?43], 自突觸電導(dǎo)會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)擾動(dòng), 此時(shí)自突觸電流可由(3)式表示, 其中g(shù)c為化學(xué)自突觸電導(dǎo),τ為延遲時(shí)間,Vsyn為突觸反轉(zhuǎn)電位, 應(yīng)用中Vsyn=1.2 代表興奮性突觸, 而Vsyn=-0.2 代表抑制性突觸, 并且取定比率參數(shù)λ=2.0 和突觸閾值θ=0.4 . 這里自突觸電導(dǎo)擾動(dòng)ξ(t) 采用高斯白噪聲的形式, 其統(tǒng)計(jì)特性滿足:〈ξ(t)〉=0,〈ξ(t)ξ(t′)〉=2Dδ(t-t′),其中D為噪聲強(qiáng)度,δ(·) 為 狄拉克δ函數(shù). 另外,a,b,ε為系統(tǒng)參數(shù), 文中取定a=0.1,ε=0.01,c=2.0[40].

對(duì)FHN 神經(jīng)元施加周期性的外加激勵(lì)I(lǐng)ext=Acos(2πft), 初步探討無自突觸結(jié)構(gòu)時(shí)該神經(jīng)元系統(tǒng)對(duì)外加激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng). 文中所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)的時(shí)間步長為 Δt=0.01,初值為V0=-0.2 和W0=-0.2, 并且默認(rèn)神經(jīng)元脈沖放電活動(dòng)的膜電壓的臨界值為0.6. 從圖1(a)可以看出, 由于第二類神經(jīng)元可興奮性的特點(diǎn), 具有較小振幅的外加激勵(lì)無法使神經(jīng)元的膜電壓達(dá)到放電閾值, 從而導(dǎo)致FHN 神經(jīng)元不會(huì)產(chǎn)生峰放電活動(dòng). 另一方面,外加激勵(lì)的周期性振蕩能夠?qū)ι窠?jīng)元的放電活動(dòng)進(jìn)行有效的調(diào)節(jié), 其振蕩的性質(zhì)往往有助于神經(jīng)元產(chǎn)生脈沖放電活動(dòng). 例如, 當(dāng)振幅A=0.6 和頻率f=0.0時(shí), 神經(jīng)元的膜電壓處于高位的靜息態(tài), 即生理上的去極化阻塞[44,45]; 但在A=0.6 的條件下,只要頻率f∈[0.1,34.8] , 神經(jīng)元就能產(chǎn)生脈沖放電活動(dòng). 進(jìn)一步地, 如果頻率f超過臨界值34.8, 那么神經(jīng)元就不再出現(xiàn)脈沖放電現(xiàn)象, 這主要是因?yàn)橥饧蛹?lì)頻繁的振蕩影響了離子的跨膜運(yùn)動(dòng)過程, 從而導(dǎo)致了不充分的去極化和極化過程, 致使神經(jīng)元的膜電壓不會(huì)出現(xiàn)超射和超極化現(xiàn)象.

從圖1(b)知, 周期激勵(lì)的頻率會(huì)改變神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為. 當(dāng)A=0.6 時(shí), 對(duì)于頻率f的某些不連續(xù)的取值, 神經(jīng)元系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)明顯大于零, 這說明神經(jīng)元會(huì)出現(xiàn)混沌的放電活動(dòng), 如圖2 所示. 由此可知, 在外加激勵(lì)的作用下,無自突觸結(jié)構(gòu)的FHN 神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)發(fā)生變化. 神經(jīng)元系統(tǒng)對(duì)周期性的外加激勵(lì)的響應(yīng)呈現(xiàn)非線性的變化特點(diǎn), 其放電頻率存在跳變現(xiàn)象, 這主要是神經(jīng)元放電活動(dòng)內(nèi)在的頻率和外加激勵(lì)的振蕩頻率相互作用的結(jié)果. 此外, 外加激勵(lì)的周期性變化還能夠誘導(dǎo)周期態(tài)和混沌態(tài)之間的轉(zhuǎn)遷, 體現(xiàn)了FHN 神經(jīng)元對(duì)外加激勵(lì)的敏感性.

圖1 FHN 神經(jīng)元系統(tǒng)的脈沖放電頻率(a)及其最大Lyapunov 指數(shù)(b)對(duì)周期振蕩的外加激勵(lì)的依賴關(guān)系示意圖, 其中(b)中周期激勵(lì)的振幅為A=0.6Fig. 1. Dependence of (a) spike discharge frequency and (b) maximum Lyapunov exponent on external periodic excitation, where the amplitudes of periodic excitation are A=0.6 in the subfigure (b).

圖2 外加周期激勵(lì)的作用下FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的時(shí)間歷程圖 (a) A=0.6 , f=1.0 ; (b) A=0.6 , f =29.0Fig. 2. Sampled time series of neuronal membrane potentials under different periodic excitation: (a) A=0.6 , f=1.0 ; (b) A=0.6 ,f =29.0.

3 化學(xué)自突觸誘導(dǎo)動(dòng)力學(xué)分岔

作為大腦神經(jīng)系統(tǒng)普遍存在的一種生理結(jié)構(gòu),自突觸應(yīng)該是神經(jīng)系統(tǒng)自然進(jìn)化的結(jié)果. 由于先天遺傳和后天發(fā)展的不同, 不同個(gè)體大腦神經(jīng)系統(tǒng)中的自突觸結(jié)構(gòu)的功能參數(shù)存在差異, 從而對(duì)神經(jīng)電生理活動(dòng)具有不同的調(diào)控作用. 從圖3 可以看出,當(dāng)外加激勵(lì)I(lǐng)ext=0.05 時(shí), FHN 神經(jīng)元處于靜息態(tài), 此時(shí)對(duì)其激活興奮性的化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu), 那么恰當(dāng)?shù)淖酝挥|參數(shù)能夠誘導(dǎo)神經(jīng)元產(chǎn)生脈沖放電活動(dòng), 并且自突觸參數(shù)對(duì)神經(jīng)元放電頻率的影響存在顯著的跳躍現(xiàn)象, 具有非線性的變化特點(diǎn). 在外加激勵(lì)I(lǐng)ext=0.6 的條件下, 抑制性的化學(xué)自突觸使得處于高位靜息態(tài)(去極化阻塞)的神經(jīng)元恢復(fù)周期性的脈沖放電活動(dòng). 不管是興奮性的還是抑制性的化學(xué)自突觸, 都存在一個(gè)敏感的突觸參數(shù)的取值區(qū)域, 使得FHN 神經(jīng)元能夠產(chǎn)生比較頻繁的脈沖放電活動(dòng), 體現(xiàn)了神經(jīng)元放電活動(dòng)對(duì)自突觸參數(shù)的敏感性. 進(jìn)一步地, 需要研究自突觸參數(shù)的變化對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)的峰峰間期序列的影響. 圖4 顯示的是神經(jīng)元脈沖放電的峰峰間期序列(ISI)的變化分別對(duì)自突觸電導(dǎo)和延遲時(shí)間的依賴關(guān)系, 其中固定的自突觸參數(shù)分別為延遲時(shí)間τ=30.0 和突觸電導(dǎo)gc=0.3 . 對(duì)于Iext=0.05 , 隨著自突觸電導(dǎo)或延遲時(shí)間的增大, 神經(jīng)元放電的峰峰間期序列在單周期、雙周期和三周期之間變化, 對(duì)應(yīng)于神經(jīng)元的放電活動(dòng)在靜息、周期峰和周期簇三種放電狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)遷, 這說明興奮性的自突觸結(jié)構(gòu)能夠顯著地改變神經(jīng)元的放電行為, 誘導(dǎo)比較復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)分岔現(xiàn)象. 對(duì)于Iext=0.6 , 隨著自突觸電導(dǎo)或延遲時(shí)間的增大, 自突觸的抑制性能夠恢復(fù)離子通道的活性, 從而使得處于去極化阻塞狀態(tài)的神經(jīng)元產(chǎn)生周期性的峰放電活動(dòng), 并且只有當(dāng)延遲時(shí)間τ≥52.6時(shí)自突觸功能才能誘導(dǎo)比較明顯的峰峰間期分岔現(xiàn)象, 如圖4(d)所示.

圖3 不同外加激勵(lì)和突觸反轉(zhuǎn)電位條件下FHN 神經(jīng)元脈沖放電的頻率對(duì)自突觸功能兩個(gè)參數(shù)的依賴關(guān)系示意圖 (a)Iext =0.05 , V syn =1.2 ; (b) I ext =0.6 , Vsyn =?0.2Fig. 3. Dependence of spike discharge frequency of FHN neurons on two autaptic parameters under different applied excitation and synaptic reversal potential: (a) I ext =0.05 , V syn =1.2 ; (b) I ext =0.6 , V syn =?0.2 .

圖4 FHN 神經(jīng) 元脈沖 放電的 峰峰間 期對(duì)不 同 的自突 觸結(jié)構(gòu) 參數(shù)的 依賴關(guān) 系示意 圖 (a) I ext =0.05 , τ=30.0 , V syn =1.2 ;(b) I ext =0.05 , g c =0.3 , V syn =1.2 ; (c) I ext =0.6 , τ=30.0 , V syn =?0.2 ; (d) I ext =0.6 , g c =0.3 , Vsyn =?0.2Fig. 4. Dependence of neuronal firing inter-spike intervals on different autaptic parameters: (a) I ext =0.05 , τ=30.0 , V syn =1.2 ;(b) I ext =0.05 , g c =0.3 , V syn =1.2 ; (c) I ext =0.6 , τ=30.0 , V syn =?0.2 ; and (d) I ext =0.6 , g c =0.3,V syn =?0.2 .

選取自突觸參數(shù)gc=0.3 和τ=30.0 , 圖5(a),(b)分別顯示了興奮性和抑制性自突觸功能激活后FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的變化過程, 直觀地揭示了化學(xué)自突觸功能的興奮性和抑制性對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)的不同的調(diào)控作用. 另外, 在振蕩的外加激勵(lì)作用下, FHN 神經(jīng)元能夠呈現(xiàn)混沌的放電狀態(tài),如圖2(b)所示, 那么化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)是否能夠?qū)@種混沌的放電活動(dòng)進(jìn)行有效的調(diào)控呢? 從圖5(c),(d)可以看出, 在自突觸興奮性的自反饋?zhàn)饔孟?神經(jīng)元能夠從混沌的放電狀態(tài)分別轉(zhuǎn)遷為周期的峰放電或準(zhǔn)周期的簇放電狀態(tài), 這是自突觸功能所引起帶電離子跨膜運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果. 值得注意的是, 對(duì)于外加激勵(lì)的振幅A=0.6 和頻率f=16.0的這種情況, 興奮性的自突觸結(jié)構(gòu)不僅改變神經(jīng)元放電脈沖的振蕩幅值, 而且對(duì)神經(jīng)元放電狀態(tài)的調(diào)控非常緩慢, 從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到周期的峰放電狀態(tài)大約持續(xù)了1500 個(gè)時(shí)間單位, 這應(yīng)該是神經(jīng)元內(nèi)在活動(dòng)的周期、外加激勵(lì)的周期和自突觸功能的延遲時(shí)間三個(gè)時(shí)間尺度不匹配的結(jié)果.

圖5 具有自突觸結(jié)構(gòu)的FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的時(shí)間歷程圖, 其中自突觸參數(shù) g c =0.3,τ=30.0,且自突觸功能在 t=300 時(shí)被激活 (a) A=0.05 , f=0 , V syn =1.2 ; (b) A=0.6 , f=0 , V syn =?0.2 ; (c) A=0.6 , f=16.0,V syn =1.2 ; (d) A=0.6 , f=29.0 , Vsyn =1.2Fig. 5. Sampled time series of neuronal membrane potentials under excitatory or inhibitory autaptic function, where g c =0.3 ,τ =30.0 , and the autaptic function is activated at t=300 : (a) A=0.05 , f=0 , V syn =1.2 ; (b) A=0.6 , f=0 , V syn =?0.2 ;(c) A=0.6 , f=16.0 , V syn =1.2 ; (d) A=0.6 , f=29.0 , V syn =1.2 .

總之, 化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)能夠?qū)HN 神經(jīng)元的電生理活動(dòng)進(jìn)行有效的調(diào)控, 其中興奮性的自突觸能夠誘導(dǎo)靜息態(tài)的神經(jīng)元產(chǎn)生周期性的脈沖放電活動(dòng), 而抑制性的自突觸能夠誘導(dǎo)從高位靜息態(tài)到峰放電狀態(tài)的轉(zhuǎn)遷. 特別地, 在化學(xué)自突觸的自反饋?zhàn)饔孟? 恰當(dāng)?shù)淖酝挥|參數(shù)能夠使得神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生比較復(fù)雜的分岔現(xiàn)象, 體現(xiàn)了神經(jīng)元的電生理活動(dòng)對(duì)自突觸參數(shù)的敏感性. 進(jìn)一步地,自突觸結(jié)構(gòu)還能夠?qū)μ幱诨煦绶烹姞顟B(tài)的神經(jīng)元進(jìn)行調(diào)控, 可以誘導(dǎo)周期的峰放電或準(zhǔn)周期的簇放電活動(dòng).

4 自突觸電導(dǎo)擾動(dòng)誘導(dǎo)共振現(xiàn)象

由于神經(jīng)元突觸結(jié)構(gòu)中神經(jīng)遞質(zhì)釋放的量子特征, 化學(xué)自突觸的自反饋功能容易受到諸如電磁場、熱噪聲和神經(jīng)藥物等因素的干擾. 為了研究自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)擾動(dòng)[46]對(duì)FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的影響, 這里選取神經(jīng)元的放電頻率和峰峰間期序列的變異系數(shù)兩個(gè)度量指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析, 其中峰峰間期序列的變異系數(shù)定義如下:

其中,TISI表示神經(jīng)元膜電壓的峰峰間期序列,〈TISI〉表示峰峰間期序列的平均值, 而則表示峰峰間期序列的均方值[15,47]. 通常, 較小的變異系數(shù)對(duì)應(yīng)于神經(jīng)元比較規(guī)則的放電行為. 由于自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)性, 這里采用二階隨機(jī)的Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算, 并且應(yīng)用40 次取平均的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[8,48].

圖6 在自突觸電導(dǎo)隨機(jī)擾動(dòng)的作用下FHN 神經(jīng)元的放電頻率和峰峰間期序列的變異系數(shù)對(duì)噪聲強(qiáng)度的依賴關(guān)系示意圖 (a), (b) A=0.05 , f=0 , τ=30.0,V syn =1.2 ; (c), (d) A=0.05 , f=10.0 , τ=30.0 , Vsyn =1.2Fig. 6. Dependence of spike discharge frequency and coefficient of variation on noise intensity under disturbance of autaptic conductance, where (a), (b) A=0.05 , f=0 , τ=30.0 , V syn =1.2 ; (c), (d) A=0.05 , f=10.0 , τ=30.0 , V syn =1.2 .

圖6分別顯示了FHN 神經(jīng)元的放電頻率和峰峰間期序列的變異系數(shù)隨著噪聲強(qiáng)度的增大所呈現(xiàn)的變化趨勢, 其中選取恒定和周期兩種類型的激勵(lì)進(jìn)行對(duì)比分析. 無論是恒定激勵(lì)還是周期激勵(lì),如果自突觸電導(dǎo)不發(fā)生隨機(jī)擾動(dòng), 那么在圖6 所提供的自突觸參數(shù)的條件下, FHN 神經(jīng)元將處于靜息態(tài)或次閾值振蕩的狀態(tài). 相反地, 如果自突觸電導(dǎo)受到高斯白噪聲形式的隨機(jī)擾動(dòng), 那么自突觸結(jié)構(gòu)能夠激發(fā)FHN 神經(jīng)元產(chǎn)生脈沖放電活動(dòng). 當(dāng)噪聲強(qiáng)度D<0.01 時(shí), 神經(jīng)元的放電頻率會(huì)隨著噪聲強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)比較顯著的非線性的變化特點(diǎn). 隨著D的持續(xù)增大, 神經(jīng)元的放電頻率幾乎保持線性遞增的變化趨勢, 如圖6(a), (c)所示, 體現(xiàn)了隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)積極的促進(jìn)作用. 另一方面, 無論是恒定激勵(lì)還是周期激勵(lì), 當(dāng)自突觸電導(dǎo)均值比較小時(shí), 隨著D的增大, 神經(jīng)元放電的峰峰間期序列的變異系數(shù)均呈現(xiàn)先減小后增大的變化趨勢, 如圖6(b), (d)所示, 這表明恰當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度誘導(dǎo)了比較顯著的相干共振或隨機(jī)共振現(xiàn)象. 然而, 當(dāng)自突觸電導(dǎo)均值比較大時(shí), 峰峰間期序列的變異系數(shù)會(huì)經(jīng)歷兩次先減小后增大的變化過程, 這對(duì)應(yīng)著雙共振現(xiàn)象. 以外加激勵(lì)I(lǐng)ext=0.05 為例, 深入分析可知, 此時(shí)雙相干共振現(xiàn)象產(chǎn)生的潛在機(jī)制是在隨機(jī)擾動(dòng)的作用下自突觸電導(dǎo)發(fā)生相應(yīng)的振蕩, 較小強(qiáng)度的噪聲使得自突觸電導(dǎo)主要在0.386附近的一個(gè)小鄰域內(nèi)變化, 導(dǎo)致神經(jīng)元放電活動(dòng)只在靜息態(tài)和單周期的峰放電狀態(tài)之間躍遷, 如圖4(a)所示, 從而產(chǎn)生了第一次顯著的相干共振現(xiàn)象; 當(dāng)噪聲強(qiáng)度比較大時(shí), 自突觸電導(dǎo)會(huì)在以0.386 為中心的一個(gè)更大的區(qū)間內(nèi)變化, 導(dǎo)致神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為出現(xiàn)比較復(fù)雜的分岔現(xiàn)象, 對(duì)應(yīng)的神經(jīng)元的放電活動(dòng)可能在靜息態(tài)、單周期、三周期和二周期的峰放電狀態(tài)之間躍遷, 從而為第二次相干共振的發(fā)生提供了可能性. 類似地, 對(duì)于外加激勵(lì)I(lǐng)ext=0.6 ,自突觸電導(dǎo)引起的峰峰間期的變化相對(duì)簡單, 如圖4(c)所示, 根據(jù)上述共振現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)制可知,自突觸電導(dǎo)擾動(dòng)也能誘導(dǎo)共振現(xiàn)象, 但無法誘導(dǎo)雙共振現(xiàn)象.

為了進(jìn)一步探討自突觸電導(dǎo)的擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)的影響, 圖7 給出了在不同的噪聲強(qiáng)度下FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的時(shí)間歷程圖, 其中A=0.05 ,f=10.0,τ=30.0,Vsyn=1.2 . 對(duì)于gc=0.037, 當(dāng)自突觸電導(dǎo)無擾動(dòng)時(shí), 神經(jīng)元處于閾下振蕩狀態(tài); 若自突觸電導(dǎo)存在擾動(dòng), 隨著電導(dǎo)擾動(dòng)的噪聲強(qiáng)度增大, 神經(jīng)元出現(xiàn)脈沖放電現(xiàn)象, 且當(dāng)D=0.016時(shí)神經(jīng)元出現(xiàn)比較頻繁且規(guī)則的脈沖放電活動(dòng), 這對(duì)應(yīng)著電導(dǎo)擾動(dòng)所誘導(dǎo)的隨機(jī)共振現(xiàn)象, 如圖7(b)所示, 這表明恰當(dāng)?shù)碾妼?dǎo)擾動(dòng)有利于促進(jìn)神經(jīng)元對(duì)外加激勵(lì)信號(hào)的編碼效率. 對(duì)于較大的自突觸電導(dǎo)gc=0.448 , 當(dāng)自突觸電導(dǎo)無擾動(dòng)且在t=300 被激活后, 神經(jīng)元會(huì)從閾下振蕩狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到高位振蕩狀態(tài), 其原因是自突觸電流改變了神經(jīng)元系統(tǒng)兩條零斜線的位置關(guān)系; 若自突觸電導(dǎo)存在擾動(dòng), 當(dāng)D=0.0007 時(shí), 神經(jīng)元放電的峰峰間期序列的變異系數(shù)取得最小值, 此時(shí)神經(jīng)元呈現(xiàn)頻繁且規(guī)則的脈沖放電活動(dòng), 如圖7(c)所示. 當(dāng)噪聲強(qiáng)度進(jìn)一步增大到D=0.005 時(shí), 從帶電離子跨膜運(yùn)動(dòng)的角度分析, 電導(dǎo)擾動(dòng)引起的自反饋功能的強(qiáng)振蕩性使得細(xì)胞膜對(duì)離子的通透性產(chǎn)生快速變化, 致使神經(jīng)元的放電活動(dòng)出現(xiàn)不徹底的去極化和復(fù)極化過程, 從而降低了神經(jīng)元脈沖放電活動(dòng)的規(guī)則性, 如圖7(d)所示.

圖7 具有自突觸結(jié)構(gòu)的FHN 神經(jīng)元放電活動(dòng)的時(shí)間歷程圖, 其中 A=0.05 , f=10.0,τ=30.0,V syn =1.2 , 且自突觸功能在 t=300 時(shí) 被 激 活 (a) g c =0.037 , D=0.0001 ; (b) g c =0.037 , D=0.016 ; (c) g c =0.448 , D=0.0007 ; (d) g c =0.448 ,D= 0.005Fig. 7. Sampled time series of neuronal membrane potentials under autaptic function , where A=0.05 , f=10.0,τ=30.0 ,Vsyn =1.2 , and the autaptic function is activated at t=300 : (a) g c =0.037 , D=0.0001 ; (b) g c =0.037 , D=0.016 ; (c) gc =0.448 , D=0.0007 ; (d) g c =0.448 , D=0.005 .

綜上可知, 自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)擾動(dòng)能夠?qū)ι窠?jīng)元的放電行為產(chǎn)生比較大的影響, 一方面, 當(dāng)噪聲強(qiáng)度介于0.01 和0.10 之間時(shí), 噪聲強(qiáng)度越大, 神經(jīng)元的放電頻率也越大, 并且二者近似呈現(xiàn)線性關(guān)系, 由此表明了電導(dǎo)擾動(dòng)對(duì)神經(jīng)元信息編碼的促進(jìn)作用; 另一方面, 自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)性在自反饋的作用下對(duì)離子通道的活性產(chǎn)生較大影響, 能夠改變神經(jīng)元放電活動(dòng)的規(guī)則性, 不僅使得神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生顯著的相干共振或隨機(jī)共振現(xiàn)象, 而且還能產(chǎn)生雙相干共振或雙隨機(jī)共振現(xiàn)象, 豐富了FHN 神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為.

5 結(jié) 論

為了探討利用自突觸結(jié)構(gòu)治療神經(jīng)疾病的可行性, 以FHN 神經(jīng)元為研究對(duì)象, 系統(tǒng)研究化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)對(duì)神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的自反饋?zhàn)饔?

首先, FHN 神經(jīng)元對(duì)基于神經(jīng)藥物對(duì)離子通道活性調(diào)節(jié)的外加周期激勵(lì)比較敏感. 該周期激勵(lì)會(huì)改變FHN 神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為, 不僅引起神經(jīng)元放電頻率的不連續(xù)變化, 而且還能誘導(dǎo)混沌的放電狀態(tài). 其次, 化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)對(duì)FHN 神經(jīng)元電生理活動(dòng)的自反饋?zhàn)饔靡蕾囉谕挥|特征, 其中興奮性的自突觸誘導(dǎo)靜息態(tài)的神經(jīng)元產(chǎn)生周期性的脈沖放電活動(dòng), 而抑制性的自突觸誘導(dǎo)從高位靜息態(tài)到峰放電狀態(tài)的轉(zhuǎn)遷. 進(jìn)一步地, 在自反饋的作用下, 自突觸的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)引起神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為出現(xiàn)分岔現(xiàn)象, 誘導(dǎo)不同周期峰放電模式之間的轉(zhuǎn)遷. 特別地, 自突觸結(jié)構(gòu)可以把神經(jīng)元從混沌的放電狀態(tài)調(diào)節(jié)到周期的峰放電或準(zhǔn)周期的簇放電狀態(tài).最后,基于神經(jīng)遞質(zhì)量子式釋放的自突觸電導(dǎo)的隨機(jī)擾動(dòng)在自反饋的作用下影響帶電離子的跨膜運(yùn)動(dòng)過程,從而改變FHN神經(jīng)元對(duì)外加激勵(lì)的響應(yīng)能力.隨著電導(dǎo)擾動(dòng)的噪聲強(qiáng)度的增大,神經(jīng)元的脈沖放電頻率也越來越大,體現(xiàn)了噪聲對(duì)FHN神經(jīng)元信息編碼的促進(jìn)作用.同時(shí),自突觸電導(dǎo)的擾動(dòng)可以改變神經(jīng)元放電活動(dòng)的規(guī)則性,不僅誘導(dǎo)顯著的相干或隨機(jī)共振現(xiàn)象,而且還能產(chǎn)生相干或隨機(jī)雙共振現(xiàn)象,從而使得神經(jīng)元具有更豐富的生理現(xiàn)象.

作為神經(jīng)系統(tǒng)廣泛存在的一種生理結(jié)構(gòu),自突觸在神經(jīng)疾病治療方面具有潛在的應(yīng)用前景.上述研究充分表明了化學(xué)自突觸結(jié)構(gòu)可以有效地改變神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,能夠?yàn)樽酝挥|結(jié)構(gòu)的生理應(yīng)用提供理論指導(dǎo).此外,依據(jù)自突觸結(jié)構(gòu)對(duì)神經(jīng)元自身的反饋?zhàn)饔?可以構(gòu)造具有局部自反饋的遞歸脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),應(yīng)用突觸可塑性的學(xué)習(xí)規(guī)則有望提高機(jī)器學(xué)習(xí)的能力.