內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學(xué)(015000) 楊松松 王東偉

1 試題呈現(xiàn)

題目(長(zhǎng)春市普通高中2020 屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,焦距為2,點(diǎn)P為橢圓上異于A、B的點(diǎn),且直線PA和PB的斜率之積為

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作OM//AP交橢圓于點(diǎn)M,試探究是否為定值,若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

2 解法探究

解(1)設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),則=1,又A(?a,0),B(a,0),kPA ·kPB=因此又2c=2,所以

第(2)問可用以下三種方法解答.

解法一設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),則xQ=0.由題意可知,直線AP的斜率存在且不為零,設(shè)直線AP的斜率為k,則AP:y=k(x+2),OM:y=kx.聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程并整理得,(3+4k2)x2+16k2x+4=0,注意到?2,xP是上式的兩根,所以?2+xP=因此聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程并整理得,(3+4k2)x2=12,注意到xM是上式的根,則所以=2(為定值).

解法二設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),設(shè)直線AP的方程為

直線OM的方程為x=my.聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程并整理得,(3m2+4)y2?12my=0,解得y=0 或y=因此yP=由①式可知,當(dāng)x=0時(shí),y=,因此yQ=.聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程并整理得,(3m2+4)y2=12,解得y2=因此=2(為定值).

解法三設(shè)直線AP的傾斜角為α,則直線AP的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線OM的參數(shù)方程是(t是參數(shù)),把直線AP的參數(shù)方程代入到橢圓C的方程并整理得,(3cos2α+4sin2α)t2?12 cosαt=0,解得t=0 或t=則

把直線OM的參數(shù)方程代入到橢圓C的方程并整理得,(3cos2α+4sin2α)t2=12,解得t2=所以

點(diǎn)評(píng)三種解法的區(qū)別在于直線AP方程的形式不同,這使得試題的解法具有多樣性,為考生提供了廣闊的空間,而三種方法的本質(zhì)都是解析法,這是解決解析幾何問題的核心方法.

3 題目的一般化

將題目一般化可以得出:

性質(zhì)1已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上異于點(diǎn)A的一點(diǎn),直線AP與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作OM//AP交橢圓C于點(diǎn)M,則

4 問題的推廣

將坐標(biāo)原點(diǎn)推廣到不在橢圓上的任意一點(diǎn)可以得出:

性質(zhì)2已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上異于A的一點(diǎn),直線AP與y軸交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)R(x0,y0)(不在橢圓C上)的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若直線AP//MN,則為定值

證明設(shè)直線AP的傾斜角為α,則直線AP的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線MN的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),把直線AP的參數(shù)方程代入到橢圓C的方程并整理得,(b2cos2α+a2sin2α)t2?2b2acosαt=0,解得t=0 或t=所以把直線MN的參數(shù)方程代入到橢圓C的方程并整理得,

(b2cos2α+a2sin2α)t2+(2b2x0cosα+2a2y0sinα)t+b2x20+a2y20?a2b2=0,設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1,t2是上式的兩根,所以因此|RM|·|RN|=|t1|·所以

將y軸推廣到直線x=m(m/=±a)可以得出:

性質(zhì)3已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上異于A的一點(diǎn),直線AP與直線x=m(m /=±a)交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)R(x0,y0)(不在橢圓C上)的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若直線AP//MN,則為定值

證明設(shè)直線AP的傾斜角為α,則直線AP的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線MN的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線AP的參數(shù)方程中,令x=m得,t=所以|AQ|=由性質(zhì)2 的證明過程可知,|AP|=所以

再將橢圓的左頂點(diǎn)推廣到橢圓上任意一點(diǎn)可以得出:

性質(zhì)4已知A(m,n)是橢圓C:=1(a ＞b ＞0)上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P,交直線b2mx+a2ny+s=0(s/=?a2b2)于點(diǎn)Q,過點(diǎn)R(x0,y0)(不在橢圓C上)的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若直線AP//MN,則為定值

證明設(shè)直線AP的傾斜角為α,則直線AP的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線MN的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),把直線AP的參數(shù)方程代入到橢圓C的方程并整理得,

因?yàn)辄c(diǎn)A(m,n)在橢圓C上,所以

于是,(b2cos2α+a2sin2α)t2+(2b2mcosα+2a2nsinα)t=0,解得t=0 或所以

把直線AP的參數(shù)方程代入到直線方程b2mx+a2ny+s=0并整理得(b2mcosα+a2nsinα)t+b2m2+a2n2+s=0,注意到④式,因此(b2mcosα+a2nsinα)t+a2b2+s=0,由已知條件可知a2b2+s/=0,所以t=所以

由性質(zhì)2的證明過程可知,|RM|·|RN|=再由⑤⑥可得

5 類比到雙曲線和拋物線中

性質(zhì)5已知A(m,n)是雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線交雙曲線C于另一點(diǎn)P,交直線b2mx ?a2ny+s=0(s /=?a2b2)于點(diǎn)Q,過點(diǎn)R(x0,y0)(不在雙曲線C上)的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn),若直線AP//MN,則|AP|·|AQ||RM|·|RN|為定值

性質(zhì)6已知A(m,n)是拋物線C:y2=2px(p ＞0)上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線交拋物線C于另一點(diǎn)P,交直線px ?ny+s=0(s /=pm)于點(diǎn)Q,過點(diǎn)R(x0,y0)(不在拋物線C上)的直線與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),若直線AP//MN,則為定值

性質(zhì)5、6 的證明過程可類比性質(zhì)4 完成.