廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、題目呈現(xiàn)

題目已知一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)f(x)=+1 的圖象上,則此正方形的面積為( )

這是武漢市武昌區(qū)2020 屆高三年級四月調(diào)研考試?yán)砜频?2 題,是一道頂點(diǎn)在三次函數(shù)圖象上的正方形(該正方形可稱為函數(shù)的內(nèi)接正方形)的面積計(jì)算題.本題短小精悍,綜合考查考生邏輯思維、轉(zhuǎn)化、推理論證、運(yùn)算、以及分析問題和解決問題等方面的能力,思想方面重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想.本題作為選擇題中的壓軸題起到了把關(guān)作用,對于考生運(yùn)用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及推理論證、運(yùn)算能力有較高的要求,難度較大.

二、試題的溯源

問“題”那得清如許,唯有源頭活水來,本試題的題源來自于2018年9月根源杯奧林匹克邀請賽一試第8 題:

若有且僅有一個(gè)正方形,其中心位于原點(diǎn),且其四個(gè)頂點(diǎn)在曲線y=x3+ax上,則實(shí)數(shù)a=____.

對試題的探源,可以讓我們更深刻地認(rèn)識問題.可以看出原試題的“母題”來源于上述競賽題,只是將題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幎?這說明命題人很重視命題的傳承和相互借鑒.所以教師要善于鉆研,用“慧眼”去發(fā)現(xiàn)有典型性、可拓展性的題目,善于作解后反思,方法的歸類,規(guī)律的總結(jié)與技巧的揣摩,再進(jìn)一步對題目進(jìn)行挖掘、拓展、引申,擴(kuò)大題目的輻射面,以此提高學(xué)習(xí)的效率.

三、一個(gè)值得商榷的解答

解答將函數(shù)f(x)=圖象向下平移一個(gè)單位得y=x3?因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)對稱.又因正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=x3?的圖象上,且正方形是中心對稱圖形,所以正方形的中心是原點(diǎn)O(0,0).

圖1

如圖1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y4),D(x4,y4),設(shè)直線AC的方程為y=kx(k ＞0),則直線BD的方程為

聯(lián)立解得x=0(舍去),或

在正方形ABCD中,由即

設(shè)正方形ABCD的面積為S,則

評析上述解答與網(wǎng)上流傳的各種解法一樣,雖然都求得了結(jié)果,但均未對“函數(shù)的內(nèi)接正方形的中心與三次函數(shù)的對稱中心重合”這一關(guān)鍵點(diǎn)作出嚴(yán)謹(jǐn)證明,或是默認(rèn)兩者重合,或是以“顯然”,“易知”一句帶過.然而,這一關(guān)鍵點(diǎn)的并不是“顯然”的,應(yīng)該給出相應(yīng)的證明,所以上述解答是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?本文在后面會(huì)給出“函數(shù)的內(nèi)接正方形的中心與三次函數(shù)的對稱中心重合”這一結(jié)論的證明,在此不重復(fù).

四、問題的提出

思考對于一般的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ＞0),考慮如下問題:

問題1函數(shù)f(x)圖象上是否存在內(nèi)接正方形? 若存在,有幾個(gè)?

問題2若函數(shù)f(x)圖象上存在內(nèi)接正方形,如何求正方形的面積?

問題3若函數(shù)f(x)圖象上存在內(nèi)接正方形,如何求正方形相關(guān)的其它量(如頂點(diǎn)坐標(biāo),邊長等)?

五、深入探究

設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ＞0)的圖象為C1,可知f(x)的對稱中點(diǎn)為將C1按向量n=平移,則平移后所得C2圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=ax3+=m,則y=ax3+mx,由于y=ax3+mx是奇函數(shù),故y=ax3+mx的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0).

若m≥0,則函數(shù)y=ax3+mx在(?∞,+∞)上為增函數(shù),因此曲線C2不存在內(nèi)接正方形.故在以下的探究中,設(shè)定m ＜0.

設(shè)函數(shù)y=ax3+mx的內(nèi)接正方形ABCD的中心為O′(x0,y0),則AC與BD交于O′,又 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y4),D(x4,y4).

直線AB的斜率為

由于AB//CD,BC//DA,可得kAB=kCD,kBC=于是

因?yàn)閤1+x3=x2+x4,于是3(x1+x3)=0,所以x1+x3=x2+x4=0,且

同理y2+y4=0,從而x0=0,y0=0,所以O(shè)′(x0,y0)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)重合.

1.探究內(nèi)接正方形的個(gè)數(shù)

如圖1,設(shè)直線AC的方程為y=kx(k ＞0),則直線BD的方程為y=

得ax3+mx=解得x=0(舍去),或

在正方形ABCD中,由|OA|2==|OB|=即

令t=k ?則t2?mt+ 2=0.于是,在方程t2?mt+2=0 中,有Δ=m2?8,所以有:

(2)當(dāng)Δ＞0,即時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

(3)當(dāng)Δ＜0,即時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.

從而可得:

結(jié)論1在函數(shù)y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,若則函數(shù)圖象上存在一個(gè)內(nèi)接正方形;若則函數(shù)圖象上存在兩個(gè)內(nèi)接正方形; 若則函數(shù)圖象上不存在內(nèi)接正方形.

顯然,由結(jié)論1,可知前述“題源”中a的值為

2.探究內(nèi)接正方形的面積與邊長

由方程t2?mt+2=0,解得即

如圖1,設(shè)正方形ABCD的面積為S,則

于是可得:

結(jié)論2在函數(shù)y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上的內(nèi)接正方形的面積為

結(jié)論3在函數(shù)y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上的內(nèi)接正方形的邊長為

3.探究內(nèi)接正方形的對角線的斜率

且

且

從而可得:

結(jié)論4如圖1,在函數(shù)y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上的內(nèi)接正方形的兩條對角線AC,BD的斜率分別為

4.探究內(nèi)接正方形頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)

由結(jié)論4,當(dāng)k=時(shí),代入①式可求得當(dāng)時(shí),代入②式可求得同理,當(dāng)時(shí),可求得當(dāng)時(shí),可求得于是可得:

結(jié)論5在函數(shù)y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,當(dāng)時(shí),記函數(shù)圖象上內(nèi)接正方形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xP,則或者

六、結(jié)語

學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.同時(shí),數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,更重要的是解題后的回顧,遇到一道經(jīng)典試題,需要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來龍去脈,方能實(shí)現(xiàn)試題研究價(jià)值的最大化.另外,借助題目進(jìn)行拓展、引申,探索隱藏在題目背后的奧秘,將研究的問題引向深入,這樣我們能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景,進(jìn)而形成一個(gè)條理化、有序化的高效的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而提煉出數(shù)學(xué)思想與方法,最終在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.