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        三角問(wèn)題靈活多變,多維探究發(fā)散思維

        2020-12-09 05:25:07陳國(guó)林
        廣東教育·高中 2020年11期
        關(guān)鍵詞:余弦定理正弦內(nèi)角

        陳國(guó)林

        解三角形問(wèn)題一直是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,一般難度不大,但是需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力. 隨著新課程的推進(jìn),解三角形問(wèn)題也呈現(xiàn)出了不同的考查形式和命題形式,其中最具特點(diǎn)的就是開(kāi)放性解三角形問(wèn)題.

        一、真題再現(xiàn)

        【例題】(2020年高考全國(guó)I卷,文18,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 已知B=150°.

        (1)若a= c,b=2 ,求△ABC的面積;

        (2)若sinA+ sinC= ,求C.

        【考向分析】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式和三角恒等變換,意在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng),較好地對(duì)考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想進(jìn)行了考查.

        【思維引領(lǐng)】(1)根據(jù)題意,B=150°,通過(guò)余弦定理,即可求得c=2,a=2 ,進(jìn)而通過(guò)三角形面積公式S△ABC=? acsinB= ·2 ·2· = .

        (2)通過(guò)三角形三邊和為180°,將A=180°-150°-C代入sinA+ sinC= ,根據(jù)C的范圍,即可求得C=15°.

        【解析】(1)△ABC中,B=150°,a= c,b=2 ,cosB= = =- ,

        ∴ c=2(負(fù)值舍去),a=2 ,∴ S△ABC= acsinB= ·? ? 2? ·2· = .

        (2) sinA+ sinC= , 即sin(180°-150°-C)+ sinC = ,

        化簡(jiǎn)得 cosC+ sinC= ,sin(C+30°)= ,∵ 0°

        ∴ 30°

        【點(diǎn)評(píng)】解三角形時(shí),一般是根據(jù)正弦定理求邊或列等式,若式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;余弦定理揭示的是三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系,若式子中含有角的余弦或邊的二次式,則考慮用余弦定理;若以上特征都不明顯,則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

        二、多維探究

        高考真題是最經(jīng)典的數(shù)學(xué)試題,因此我們要反復(fù)的去研究和訓(xùn)練,為了更好的讓同學(xué)們掌握常見(jiàn)的解三角形的命題形式,下面我們對(duì)2020年高考全國(guó)I卷文科第18題作深入探究.

        素養(yǎng)解讀:題目給出一個(gè)角、一個(gè)邊和另外兩個(gè)邊之間的關(guān)系,可通過(guò)余弦定理建立等式關(guān)系解方程,這里能夠較好的檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng),要求三角形的面積,需要知道兩邊及其夾角,結(jié)合所給條件可以發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足求解條件,這里能夠進(jìn)一步深入的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

        有關(guān)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),關(guān)鍵在于“統(tǒng)”,常見(jiàn)的統(tǒng)一形式有統(tǒng)一角度和統(tǒng)一邊長(zhǎng),這里需要發(fā)掘一個(gè)三角形中的隱含條件,即三角形的內(nèi)角和為180°,利用A=180°-150°-C將A用C表示,這里能夠較好的對(duì)考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力進(jìn)行考查,再利用輔助角公式求解第二問(wèn)時(shí),這里需要注意C的取值范圍.

        通過(guò)以上分析,相信大家已經(jīng)對(duì)這道解三角形問(wèn)題有著深刻的印象了,下面在例題的基礎(chǔ)上,我們來(lái)一起探究一下它的變式題型:

        【探究1】若b=3,求△ABC面積的最大值

        【解析】△ABC的面積S= acsinB= ac. 由已知及余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即9=a2+c2-2accos ,又a2+c2≥2ac,所以ac≤ =18-9 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立. 因此△ABC面積的最大值為 .

        【探究2】若△ABC的面積S= c2,求sinC的值.

        【解析】∵ B= ,∴ sinB= ,由S= acsinB= ac= c2,得a= c,∴ b2=a2+c2-2bccosB=7c2,則b= c,由正弦定理得sinC= = .

        【探究3】若△ABC的面積為 ,b=2 ,求△ABC的周長(zhǎng).

        【解析】因?yàn)镾△ABC= acsinB= ac= ,解得ac=4 ,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,解得a+c=2 +2,故△ABC的周長(zhǎng)為 2( + +1).

        三、解三角形命題新形式分析

        新高考試題中展現(xiàn)出了一道解三角形新題型,該新題型的呈現(xiàn)形式為從三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件再進(jìn)行解答,與山東省模擬考試試題命題形式完全吻合,這也意味著面對(duì)高考開(kāi)放解答題型的備考,將以這類(lèi)開(kāi)放性試題為依據(jù),當(dāng)然,開(kāi)放解答題并不一定拘泥于解三角形,也可能放在其它知識(shí)點(diǎn)中,預(yù)計(jì)考查難度不會(huì)太大.

        【例題】(2020年山東高考)在① ac= ,② csinA=3,③ c= b這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的三角形存在,求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由.

        問(wèn)題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA= sinB,C= ,_______?

        注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

        【解析】① ac= . 在△ABC中,sinA= sinB,即b= a,ac= ,∴ c= ,cosC= = = ,∴ a= ,b=1,c=1.

        ② csinA=3. △ABC中,csinA=asinC=asin =3,∴ a=6. ∵ sinA= sinB,即a= b,∴ b=2 . cosC= = = ,∴ c=2 .

        ③ c= b. ∵ sinA= sinB,即a= b. 又∵ c= b,cosC= = ≠cos ,與已知條件C= 相矛盾,所以問(wèn)題中的三角形不存在.

        【點(diǎn)評(píng)】① 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. ② 熟練運(yùn)用余弦定理及其推論,同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用.

        四、常見(jiàn)誤區(qū)

        解決解三角形問(wèn)題需要做到力避易錯(cuò)點(diǎn),這樣才能確保不失分,少失分. 在已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),在求得另一內(nèi)角的正弦值后,求角時(shí)不要忽略角的范圍,這時(shí)需要根據(jù)大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊和三角形內(nèi)角和為180° 的規(guī)則來(lái)驗(yàn)證. 在遇到有關(guān)等式的化簡(jiǎn)時(shí),應(yīng)注意在三角形ABC中sinA=sinB,可推出A=B或A+B=π,缺一不可. 在解三角形問(wèn)題中,一般等式兩邊不要隨意約去公因式,而應(yīng)通過(guò)移項(xiàng)提取公因式,以免造成漏解致誤. 最后要指出的是不要忽略了構(gòu)成三角形的前提條件:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

        五、新題速練

        1.(2020湖南岳陽(yáng)模擬)已知△ABC是斜三角形,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a,b,c. 若csinA= acosC.

        (1)求角C;

        (2)若c= , 且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面積.

        【解析】(1)根據(jù) = ,可得csinA=asinC,又∵ csinA= acosC,∴ asinC= acosC,∴ sinC= cosC,∴ tanC= = ,∵ C∈(0, π),∴ C= .

        (2)∵ sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),∴ sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,

        ∴ 2sinBcosA=5×2sinAcosA.

        ∵ △ABC為斜三角形,∴ cosA≠0,∴ sinB=5sinA. 由正弦定理可知b=5a,……①

        由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,

        ∴ 21=a2+b2-2ab× =a2+b2-ab,……②

        由①②解得a=1,b=5,∴ S△ABC = absinC= ×1×5× = .

        2.(2020山東泰安模擬)在①asinC- ccosBcosC= bcos 2 C;②5ccosB+4b=5a;③(2b-a)cosC=ccosA,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. 且滿(mǎn)足______.

        (1)求sinC;

        (2)已知a+b=5,△ABC的外接圓半徑為 ,求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn).

        【解析】選擇條件①:

        (1)因?yàn)閍sinC- ccosBcosC= bcos 2 C,所以由正弦定理得sinAsinC= sinCcosBcosC+ sinBcos 2 C,即sinAsinC= cosC(sinCcosB+sinBcosC),故sinAsinC= cosCsinA,又A∈(0, π),故sinA≠0,所以sinC= cosC,即tanC= . 由C∈(0, π), 得C= . 所以sinC=sin = ,

        (2)由正弦定理得c=2× sin =4,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=16,所以ab= ,故ab=3,于是得△ABC的面積S= absinC= ch,所以h= = = ,

        選擇條件②:

        (1)因?yàn)?ccosB+4b=5a,由正弦定理得5sinCcosB+4sinB=5sinA,即5sinCcosB+4sinB = 5sin(B+C) = 5sinBcosC+5cosBsinC,于是sinB(4-5cosC)=0,

        在△ABC中,sinB ≠0,所以cosC= ,sinC= = ,

        (2)由正弦定理得c=2× × = ,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2- ab= ,所以ab=[(a+b)2- ]× = ,

        于是得△ABC的面積S= absinC= ch,所以h= = × × = .

        選擇條件③:

        (1)因?yàn)椋?b-a)cosC=ccosA,所以由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC = sinCcosA,所以2sinBcosC= sin(A+C) = sinB,因?yàn)锽∈(0, π),所以sinB ≠0,所以cosC=? ,

        又C∈(0, π),所以C=? ,所以sinC=? .

        (2)由正弦定理得c=2× sin =4,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=16,所以ab= ,故ab=3,于是得△ABC的面積S= absinC= ch,所以h= = = .

        責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

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