宋 巍，劉李鵬，楊華龍，王大元

(大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

集裝箱運(yùn)輸是國際工業(yè)品貿(mào)易的主要運(yùn)輸方式，在國際海運(yùn)班輪市場中占有重要地位。[1]為滿足客戶的需求，船公司(承運(yùn)人)需在固定的航線上，按特定的發(fā)船頻率和船舶掛靠港口順序，以公布的船期為托運(yùn)人提供規(guī)則的集裝箱班輪運(yùn)輸服務(wù)。[2]受船舶運(yùn)力固定、運(yùn)輸服務(wù)不可存儲、固定成本高和邊際成本低等因素的影響，為提高艙位利用率和運(yùn)營效益，承運(yùn)人通常采取與貨運(yùn)代理人或大客戶簽訂長期合同的策略[3]，以較為固定的運(yùn)價為客戶提供集裝箱貨物班輪運(yùn)輸服務(wù)；承運(yùn)人對大多數(shù)普通客戶(托運(yùn)人)采取以包箱費(fèi)率為主的均一定價[4]，即對托運(yùn)人的集裝箱貨物只區(qū)分集裝箱尺寸和相應(yīng)的航線，按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)計收運(yùn)費(fèi)。這種固定或均一的定價越來越不適應(yīng)當(dāng)今競爭日益激烈的班輪運(yùn)輸市場。此外，在面對運(yùn)輸需求劇烈波動變化時，這種運(yùn)價策略缺乏應(yīng)對的靈活性和有效性。班輪運(yùn)輸期權(quán)作為一種新的補(bǔ)充策略已受到承托雙方的高度關(guān)注，其是將金融衍生工具應(yīng)用到航運(yùn)服務(wù)市場的產(chǎn)物，既可在遠(yuǎn)期確定艙位預(yù)售量，又兼具應(yīng)對市場需求變化的靈活性和有效性。[5]因此，研究集裝箱班輪運(yùn)輸期權(quán)決策問題具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

運(yùn)價是關(guān)乎集裝箱船公司班輪運(yùn)輸效益的關(guān)鍵指標(biāo)之一，班輪定價一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題。代表性的研究包括： GARRIDO[6]考慮到運(yùn)輸需求對運(yùn)價決策的影響，針對彈性需求的班輪定價問題，通過復(fù)式拍賣的方法確定運(yùn)價，達(dá)到提高船公司運(yùn)輸收益的目標(biāo)；曾慶成等[7]考慮到承、托雙方之間的博弈關(guān)系，基于差價補(bǔ)償策略構(gòu)建序貫決策博弈模型，研究托運(yùn)人訂艙行為和承運(yùn)人的定價決策；YIN等[8]研究價格折扣對托運(yùn)人的影響，構(gòu)建班輪公司的折扣定價模型。這些研究結(jié)合運(yùn)輸需求、承托雙方的博弈行為特征和運(yùn)輸成本等諸多不確定性影響因素，研究班輪定價問題，但都是在壟斷環(huán)境下進(jìn)行的，即運(yùn)價是由承運(yùn)人控制且未考慮市場供需變化和未來不確定因素對運(yùn)價產(chǎn)生的波動影響，因而其適用范圍均較為有限。

為研究如何更好地應(yīng)對未來市場的劇烈波動，專家開始借鑒期權(quán)理論在航空領(lǐng)域的研究成果，將其引入到海運(yùn)領(lǐng)域。例如：文獻(xiàn)[9]通過將運(yùn)費(fèi)期權(quán)引入海運(yùn)服務(wù)市場中，建立托運(yùn)人收益優(yōu)化模型，對其在海運(yùn)服務(wù)供應(yīng)鏈中的最優(yōu)化決策進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[10]基于期權(quán)理論提出國際集裝箱海運(yùn)企業(yè)運(yùn)輸協(xié)議動態(tài)定價的決策方法，建立附帶美式認(rèn)購/認(rèn)沽期權(quán)的國際海上集裝箱運(yùn)輸協(xié)議動態(tài)定價決策模型。這些有關(guān)海運(yùn)期權(quán)問題的研究不僅豐富了海運(yùn)定價策略，而且在一定程度上推動了海運(yùn)風(fēng)險的分擔(dān)和防控。然而，剛剛起步的海運(yùn)期權(quán)問題研究僅考慮托運(yùn)人(文獻(xiàn)[9])或承運(yùn)人(文獻(xiàn)[10])應(yīng)對市場變化時單方面的決策行為，并沒有考慮承托雙方的博弈決策行為，這在一定程度上影響了海運(yùn)期權(quán)的實(shí)際應(yīng)用效果。鑒于此，本文將運(yùn)價作為外生隨機(jī)變量，通過分析集裝箱班輪運(yùn)輸承運(yùn)人和托運(yùn)人的博弈行為，構(gòu)建承運(yùn)人期權(quán)定價和托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量的Stackelberg博弈模型，在海運(yùn)運(yùn)價服從幾何布朗運(yùn)動規(guī)律[11]的條件下，研究承運(yùn)人和托運(yùn)人的最優(yōu)決策行為，以期豐富和完善集裝箱班輪運(yùn)輸?shù)亩▋r理論和實(shí)踐。

1 問題描述

在集裝箱班輪運(yùn)輸?shù)哪硞€港口航線上，承運(yùn)人通常會將一部分運(yùn)力以長期合同的方式預(yù)售給與其具有長期穩(wěn)定合作關(guān)系的貨運(yùn)代理人或大客戶，剩余的運(yùn)力通過直接售艙方式銷售給托運(yùn)人，或期權(quán)等以遠(yuǎn)期方式銷售給托運(yùn)人。為規(guī)避未來市場波動的風(fēng)險，承運(yùn)人通過發(fā)行期權(quán)鼓勵托運(yùn)人在遠(yuǎn)期市場購買期權(quán)運(yùn)力，并在期權(quán)到期日即期市場(簡稱“即期市場”)銷售其余運(yùn)力。托運(yùn)人可根據(jù)承運(yùn)人的期權(quán)定價，選擇在即期市場購買運(yùn)力或從遠(yuǎn)期市場上認(rèn)購期權(quán)獲得運(yùn)力。由此可見，集裝箱班輪運(yùn)輸期權(quán)決策主要涉及承運(yùn)人與托運(yùn)人之間的決策。

由于班輪運(yùn)輸壟斷性逐漸淡化，運(yùn)價主要由市場供需狀況決定，承運(yùn)人和托運(yùn)人都是市場價格的接受者。運(yùn)輸服務(wù)是一種在期貨市場上的標(biāo)準(zhǔn)商品，由MCCARDIE等[12]和BRENNAN等[13]的分析可知：在期貨市場上，標(biāo)準(zhǔn)商品的短期價格服從幾何布朗運(yùn)動規(guī)律。此外，KOEKEBAKKER等[14]采用幾何布朗運(yùn)動對運(yùn)價進(jìn)行建模，該方法在蒙特卡羅試驗(yàn)中獲得了較為準(zhǔn)確的結(jié)果。據(jù)此，本文論述均假定海運(yùn)運(yùn)價服從幾何布朗運(yùn)動規(guī)律。

基于期權(quán)理論，承運(yùn)人是期權(quán)決策的領(lǐng)導(dǎo)者，而托運(yùn)人是跟隨者，承運(yùn)人與托運(yùn)人雙方形成一個Stackelberg博弈關(guān)系。

1) 承運(yùn)人需推斷托運(yùn)人的期權(quán)認(rèn)購量才能制訂合理的期權(quán)執(zhí)行價格和期權(quán)費(fèi)。若期權(quán)執(zhí)行價格和期權(quán)費(fèi)過高，托運(yùn)人更傾向于在即期市場直接購買艙位；若期權(quán)執(zhí)行價格和期權(quán)費(fèi)過低，托運(yùn)人會購買并選擇執(zhí)行期權(quán)，此時承運(yùn)人收益會遭受損失。

2) 當(dāng)承運(yùn)人給出期權(quán)執(zhí)行價格和期權(quán)費(fèi)之后，托運(yùn)人需確定合理的期權(quán)認(rèn)購量。期權(quán)認(rèn)購量若過多，則在即期市場運(yùn)價下跌時，會造成因托運(yùn)人放棄執(zhí)行期權(quán)而產(chǎn)生期權(quán)費(fèi)損失；期權(quán)認(rèn)購量若過少，則在即期市場運(yùn)價上升時，會造成托運(yùn)人的運(yùn)費(fèi)增加。

因此，解決集裝箱班輪運(yùn)輸期權(quán)決策問題的關(guān)鍵是承、托雙方在Stackelberg博弈下，承運(yùn)人制定合理的期權(quán)執(zhí)行價格和期權(quán)費(fèi)，托運(yùn)人確定合理的期權(quán)認(rèn)購量，以實(shí)現(xiàn)承、托雙方的利益最大化。

2 期權(quán)定價模型

2.1 符號說明

x為單位運(yùn)力期權(quán)執(zhí)行價格；r為期權(quán)費(fèi)；Q為托運(yùn)人的期權(quán)認(rèn)購量；D為托運(yùn)人的艙位需求量；p為即期市場上的單位運(yùn)價；p0為期初運(yùn)價；pmax為運(yùn)價波動上限；pmin為運(yùn)價波動下限；T為期權(quán)到期日；b為單位運(yùn)輸成本；K為承運(yùn)人在某一港口航線上的運(yùn)力；m為承運(yùn)人在即期市場剩余運(yùn)力的銷售比例。

2.2 托運(yùn)人期權(quán)決策

根據(jù)海運(yùn)運(yùn)價的幾何布朗運(yùn)動規(guī)律特征ln(p/p0)～N(μT,σ2T)，ln(p/p0)的概率密度函數(shù)為

(1)

式(1)中：μ和σ均為幾何布朗運(yùn)動規(guī)律的系數(shù)。即期市場上單位運(yùn)價的概率密度函數(shù)為

(2)

當(dāng)承運(yùn)人的期權(quán)定價為(x,r)，托運(yùn)人的期權(quán)認(rèn)購量為Q時，托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)為

(3)

式(3)中：f(D)為托運(yùn)人艙位需求量D的概率密度函數(shù)；第一項為期權(quán)運(yùn)費(fèi)；第二項為當(dāng)市場價格低于期權(quán)執(zhí)行價格時，托運(yùn)人執(zhí)行期權(quán)時的訂艙成本；第三項為當(dāng)市場價格高于期權(quán)執(zhí)行價格時，托運(yùn)人在即期市場上訂艙的成本。

托運(yùn)人的期權(quán)決策模型M1為

minM1(Q)

(4)

s.t.Q≥0

(5)

Q≤K

(6)

1) 模型M1是一個凸規(guī)劃。

對式(1)求M1(Q)關(guān)于Q的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，可得

(7)

(8)

(9)

式(9)中：λ和u為拉格朗日乘子。

模型M1的最優(yōu)解滿足條件為

(10)

(11)

(12)

u,λ≥0

(13)

由此可得：

(14)

式(14)中：F(Q)為托運(yùn)人期權(quán)認(rèn)購量Q的分布函數(shù)；F-1(Q)為F(Q)的逆函數(shù)。

4) 當(dāng)λ≠0,u≠0時，式(11)與式(12)矛盾，不存在解。

由于M1是一個凸規(guī)劃模型，根據(jù)庫恩塔克條件求得的解即為模型的最優(yōu)解，可得托運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量為

(15)

2) 托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量Q*關(guān)于期權(quán)執(zhí)行價格x和期權(quán)費(fèi)r單調(diào)遞減。

由最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量Q*滿足關(guān)系式

(16)

有

(17)

(18)

由式(17)可知：托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量Q*關(guān)于期權(quán)執(zhí)行價格x單調(diào)遞減。由式(18)可知：托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量Q*關(guān)于期權(quán)費(fèi)用r單調(diào)遞減。得證。

2.3 承運(yùn)人期權(quán)決策

承運(yùn)人在遠(yuǎn)期市場上以期權(quán)的形式銷售部分運(yùn)力，剩余運(yùn)力只能在即期市場上銷售。假設(shè)承運(yùn)人在即期市場的銷售比例為m，m是即期市場價格p的減函數(shù)，且與承運(yùn)人的運(yùn)力規(guī)模、服務(wù)水平等有關(guān)，即

(19)

式(19)中：β為與承運(yùn)人的運(yùn)力規(guī)模和服務(wù)水平等有關(guān)的競爭力系數(shù)，β∈(0,1]。

考慮托運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量時，承運(yùn)人的期望利潤為

(20)

式(20)中：第一項為期權(quán)費(fèi)用收入；第二項為當(dāng)期權(quán)執(zhí)行價格高于即期市場價格時，托運(yùn)人放棄執(zhí)行期權(quán)，承運(yùn)人在即期市場銷售剩余運(yùn)力獲取的利潤；第三項為當(dāng)期權(quán)執(zhí)行價格低于即期市場價格且托運(yùn)人購買的期權(quán)運(yùn)力能滿足需求時，承運(yùn)人獲得的利潤；第四項為當(dāng)期權(quán)執(zhí)行價格低于即期市場價格且托運(yùn)人購買的期權(quán)運(yùn)力未能滿足需求時，承運(yùn)人獲得的利潤。

由此可得承運(yùn)人定價模型M2為

maxM2(x,r)

(21)

s.t.x+r≥pmin

(22)

x+r

(23)

綜上，根據(jù)承運(yùn)人與托運(yùn)人雙方之間Stackelberg博弈關(guān)系，當(dāng)承運(yùn)人給定一個期權(quán)定價(x,r)之后，由式(21)可知托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量Q*是關(guān)于(x,r)的函數(shù)。因此，將式(15)代入式(21)中，利用模型M2便可求得承運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)定價，再利用式(15)可求得托運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)訂購量。

3 算法設(shè)計

由于定價模型M2的目標(biāo)函數(shù)是一個帶有積分的復(fù)雜非線性函數(shù)，本文設(shè)計改進(jìn)的遺傳算法求解。為克服傳統(tǒng)遺傳算法存在局部搜索能力差、種群多樣性逐漸降低和“早熟收斂”等缺陷，本文從2個方面對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)：

1) 結(jié)合適應(yīng)度定標(biāo)法和Boltzmann適應(yīng)度調(diào)節(jié)策略調(diào)節(jié)不同時期的選擇壓力，加大局部搜索能力。

2) 在每一代新種群中定期補(bǔ)充一定數(shù)量的新個體，保持種群多樣性。

改進(jìn)的遺傳算法步驟如下：

1) 選擇編碼方式，生成初始種群。本文選擇二進(jìn)制編碼方式，并設(shè)置最大迭代次數(shù)、交叉率和變異率，隨機(jī)生成初始種群。

2) 適應(yīng)度評價。為動態(tài)調(diào)整種群的選擇壓力，對定價模型M2的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性變化，結(jié)合Boltzmann調(diào)節(jié)策略選擇適應(yīng)度函數(shù)

(24)

式(24)中:α為調(diào)整參數(shù);W為一個控制參數(shù)，隨著迭代的進(jìn)行逐漸變小。記錄適應(yīng)度最優(yōu)的個體，若種群達(dá)到最大迭代次數(shù)，則執(zhí)行步驟7)，否則執(zhí)行步驟3)。

3) 選擇。本文采用輪盤賭法進(jìn)行選擇操作，選擇概率由個體適應(yīng)度決定，適應(yīng)度低的個體也具有“生存”機(jī)會，從當(dāng)前種群中選擇一定比例的個體。同時，采用精英保留策略，使當(dāng)前代中最優(yōu)秀的個體保留到下一代，確保種群向高適應(yīng)度進(jìn)化。對種群進(jìn)行選擇操作，生成新群體。

4) 交叉。本文采用均勻交叉法，同時為保證種群的多樣性和避免過早收斂，在種群中補(bǔ)充新個體，禁止重復(fù)個體進(jìn)行交叉。對種群進(jìn)行交叉操作，生成新種群。

5) 變異。本文隨機(jī)選擇變異位，然后取反。原基因位值為1，變異為0；反之，原基因位值為0，變異為1。通過變異操作，生成新種群。

6) 局部搜索。本文設(shè)計局部搜索算法，運(yùn)用two-opt對部分個體進(jìn)行局部搜索，選擇最好的個體替換當(dāng)前個體，以生成下一代。

7) 結(jié)束迭代。輸出最優(yōu)個體和解碼后的最優(yōu)結(jié)果，得到承運(yùn)人期權(quán)定價結(jié)果。

4 算例

為驗(yàn)證所建模型和算法的有效性，本文參照文獻(xiàn)[15]，選取某承運(yùn)人在某個港口航線(起、訖港口)上的運(yùn)力600 TEU，競爭力系數(shù)0.8，單位運(yùn)輸成本680美元/TEU。假設(shè)起初運(yùn)價 795美元/TEU，運(yùn)價波動下限為600美元/TEU，上限為1 000美元/TEU，托運(yùn)人的艙位需求量服從均值為30 TEU、標(biāo)準(zhǔn)差為6 TEU的正態(tài)分布，期權(quán)到期日期為30 d，期權(quán)到期日運(yùn)價的幾何布朗運(yùn)動規(guī)律系數(shù)μ=0.000 3，σ=0.016 0。算法的主要參數(shù)設(shè)置如下：種群大小N=80；最大迭代次數(shù)GENMAX=80；交叉概率Pc=0.8；變異概率Pm=0.3。算例測試結(jié)果見表1。

表1 算例測試結(jié)果

由表1可知：承運(yùn)人采用期權(quán)售艙，最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行價格為743美元，最優(yōu)期權(quán)費(fèi)為55美元，托運(yùn)人最優(yōu)期權(quán)認(rèn)購量為24 TEU，承運(yùn)人期望利潤為22 296美元，托運(yùn)人期望運(yùn)費(fèi)為23 711美元。當(dāng)承運(yùn)人在即期市場直接售艙時，其期望利潤為20 770美元，托運(yùn)人期望運(yùn)費(fèi)為23 894美元。顯然，承運(yùn)人采用期權(quán)售艙可增加利潤1 526美元，期望利潤增長約7.35%；而托運(yùn)人通過期權(quán)獲得運(yùn)力可節(jié)省183美元，期望運(yùn)費(fèi)節(jié)省約0.76%。由此可見，運(yùn)用期權(quán)決策既可增加承運(yùn)人的期望利潤，又可減少托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)。

遺傳算法收斂圖見圖1。由圖1可知：算法在第15次迭代后搜索到最優(yōu)值。由此可見，本文設(shè)計的改進(jìn)遺傳算法在集裝箱班輪運(yùn)輸期權(quán)決策問題的求解中具有良好的搜索性能，能搜索到問題的最優(yōu)解。

由于班輪運(yùn)輸期權(quán)決策既與即期市場運(yùn)價有關(guān)，又與承運(yùn)人的規(guī)模和服務(wù)水平等市場競爭力因素有關(guān)，根據(jù)承運(yùn)人的市場競爭力系數(shù)，對期權(quán)決策進(jìn)行敏感性分析，在同競爭力系數(shù)下的承運(yùn)人期權(quán)定價和托運(yùn)人期權(quán)認(rèn)購量變化情況見圖2。由圖2可知：隨著承運(yùn)人競爭力系數(shù)的變大，除承運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)費(fèi)保持基本不變以外，承運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行價格會增長，托運(yùn)人的最優(yōu)期權(quán)訂購量相應(yīng)減少。究其原因，主要是由于承運(yùn)人在即期市場競爭力越強(qiáng)，其更有能力在期權(quán)到期日即期市場直接售艙，減少期權(quán)售艙的數(shù)量，并提高期權(quán)的執(zhí)行價格，托運(yùn)人的期權(quán)認(rèn)購量將會減少。

在不同競爭力系數(shù)下，采用直接售艙或期權(quán)售艙時，承運(yùn)人的期望利潤和托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)結(jié)果見表2。由表2可知：隨著承運(yùn)人競爭力系數(shù)的變大，其市場占有率增大；在期權(quán)售艙下，承運(yùn)人期望利潤和托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)雖然都會增大，但承運(yùn)人的利潤增長率和托運(yùn)人的運(yùn)費(fèi)降低率會變小。例如：當(dāng)承運(yùn)人市場競爭力系數(shù)由0.2增大到0.8時，承運(yùn)人采用期權(quán)售艙比直接售艙獲得的期望利潤增長率由41.47%降為7.35%，托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)降低率也從1.19%降為0.77%。承運(yùn)人在即期市場競爭力越強(qiáng)，其市場占有率越高，期權(quán)售艙對承運(yùn)人和托運(yùn)人的益處越不明顯。

表2 不同競爭力系數(shù)下的期望利潤和期望運(yùn)費(fèi)結(jié)果

5 結(jié)束語

本文針對運(yùn)價呈幾何布朗運(yùn)動規(guī)律的集裝箱班輪運(yùn)輸期權(quán)決策問題進(jìn)行研究，基于承、托雙方Stackelberg博弈原理，構(gòu)建承運(yùn)人和托運(yùn)人期權(quán)決策模型，并設(shè)計改進(jìn)的遺傳算法求解。研究結(jié)果表明：應(yīng)用班輪運(yùn)輸期權(quán)決策可提高承運(yùn)人的期望利潤，并降低托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)。同時，班輪運(yùn)輸市場競爭越激烈，即承運(yùn)人在即期市場的競爭力系數(shù)越低，采用期權(quán)決策，承運(yùn)人的期望利潤越大，托運(yùn)人的期望運(yùn)費(fèi)越低；反之，承運(yùn)人在即期市場的競爭力系數(shù)越大，采用期權(quán)決策對承運(yùn)人和托運(yùn)人雙方的益處越不顯著。由此可見，在當(dāng)今競爭日益激烈的集裝箱班輪運(yùn)輸市場環(huán)境下，期權(quán)決策不僅能抵御集裝箱班輪運(yùn)輸需求波動等風(fēng)險，而且能實(shí)現(xiàn)承、托雙方的共贏。鑒于班輪運(yùn)輸期權(quán)問題的復(fù)雜性，本文只研究了單個起、訖港口對航線上的期權(quán)決策問題，后續(xù)研究將考慮市場競爭環(huán)境，研究托運(yùn)人與承運(yùn)人之間在整條班輪航線(包含多個起、訖港口)上的期權(quán)決策問題應(yīng)是進(jìn)一步的方向。