尚宏春，武鵬飛，婁燕山

（西安交通大學 機械工程學院，西安 710049）

隨著機械設(shè)備向著高速化、強韌化方向發(fā)展，人們對材料性能的要求也不斷提高，材料的應用領(lǐng)域日趨廣泛，使用條件也逐漸趨于極端化，例如切削、噴丸等高速制造領(lǐng)域、汽車經(jīng)受高速碰撞過程、高速彈丸和彈片的變形等[1—8]。為了確保高速變形下有限元分析的可靠性，必須準確了解材料在各種應變率下的力學特性。材料的屈服應力、強度和硬化行為容易受到應變率的影響，這被認為是材料的固有特性。當金屬材料在動態(tài)載荷下變形時，慣性效應和應力波傳播導致不同材料對應變率的敏感程度有著顯著的變化。材料的動態(tài)行為是其本身的固有特性，所以仍沒有哪個本構(gòu)模型能夠準確描述不同類型的材料應變率效應。有限元模擬結(jié)果精確與否，往往取決于模擬過程中是否采用了一個精確的、能夠反映材料在動態(tài)載荷下力學行為的本構(gòu)模型。許多研究人員提出了各種本構(gòu)模型，以有效表示各種金屬材料的應變率硬化特性[9—10]，因此，選擇能夠描述材料應變率硬化特性的最佳模型，以便得到可靠的有限元模擬結(jié)果，正確指導金屬構(gòu)件的設(shè)計和優(yōu)化。

文中通過準靜態(tài)試驗和高速拉伸試驗測試，獲得SPRC340S 金屬材料在不同應變率下的真應力-真塑性應變曲線，并研究了6 種經(jīng)典本構(gòu)模型對于該金屬材料應變率敏感性描述的準確性及適用性。通過對比本構(gòu)模型的預測結(jié)果與試驗結(jié)果以及均方根誤差，得到最適用于SPRC340S 金屬材料的應變率硬化模型。

1 應變率硬化模型回顧

多種硬化模型被提出來以描述應變、應變率和溫度對金屬材料硬化特性的影響。在近幾十年，人們或提出或改進了許多本構(gòu)模型，并用這些模型來描述塑性流動行為對狀態(tài)變量的依賴性。對于最初的本構(gòu)模型，通常是針對特定材料而提出的，或多或少存在一定的局限性。隨著其他研究者不斷對最初本構(gòu)模型進行改進，模型才得以進一步完善。根據(jù)其建模特點，本構(gòu)模型可被分為兩類：唯象型本構(gòu)模型和物理型本構(gòu)模型。唯象型本構(gòu)模型是一類對材料硬化行為進行經(jīng)驗性定義的本構(gòu)方程，其主要特點是本構(gòu)模型參數(shù)較少，因而易于在數(shù)值仿真中應用，例如Johnson-Cook（JC）模型、Modified Khan-Huang（Mod KH）模型、Modified Johnson-Cook（Mod JC）模型、Lim-Huh（LH）模型等。物理型本構(gòu)模型能夠反應材料的宏觀狀態(tài)變量及微結(jié)構(gòu)演化特性，幾乎所有的物理型本構(gòu)模型在建模時都引入了熱力學理論、熱激活位錯運動理論以及滑移動力學理論，例如Zerilli-Armstrong（ZA）模型，這些本構(gòu)模型將按提出的時間先后順序逐一介紹。

1.1 Johnson-Cook 模型

Johnson 和Cook 在1983 年[11]提出了一種應變率硬化模型，該模型能夠表示應變、應變速率和溫度對金屬屈服應力的影響，如式（1）所示：

式中：ε表示等效塑性應變；表示無量綱塑性應變率；T，Tr和Tm分別表示熱力學溫度、參考溫度和金屬熔化溫度；A，B，n，C和m分別是模型的5 個常數(shù)；表達式的第一個括號表示在室溫和參考應變率下應力對于應變的函數(shù)關(guān)系；表達式的第二項和第三項分別表達了應變率和溫度對應力的影響。由于JC 模型具有參數(shù)較少、形式簡單的優(yōu)點而被廣泛應用于計算機仿真模擬程序中，但是模型仍然存在以下幾個缺點：①模型第二個括號的應變率硬化項表示為應變率對數(shù)的線性函數(shù)，導致模型的屈服應力只能隨應變率的對數(shù)線性增加，但是對于多數(shù)金屬材料，其應變率效應并不是簡單的線性關(guān)系可以描述的；② 該模型沒有表達應變率和應變的耦合關(guān)系，只是簡單通過應變項與應變率項相乘來表示應力-應變關(guān)系隨應變率的變化，隨著應變率的增加，應力-應變曲線的斜率增大或者減小是晶體結(jié)構(gòu)的固有屬性[12]，然而，在該模型中，由于模型的性質(zhì)，應力-應變曲線的斜率隨著應變率項的增大而成比例增加。

1.2 Zerilli-Armstrong 模型

基于位錯機制，Zerilli 和Armstrong 在1987 年[13]提出了一個應變率本構(gòu)關(guān)系，來分別描述了體心立方結(jié)構(gòu)（BCC）和面心立方結(jié)構(gòu)（FCC）金屬的應變率強化行為：

式中：C0，C1，C2，C3，C4，C5是材料常數(shù)，C0被定義為。ZA 模型針對BCC 和FCC 晶體結(jié)構(gòu)材料的硬化特性，提出了兩種不同的表達形式。對于FCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，考慮的主要因素是屈服應力的溫度軟化和應變速率硬化相關(guān)性隨應變的增加而增大。對于BCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，應變硬化項與應變速率和溫度無關(guān)。在兩個不同的ZA 模型的表達式中，可以觀察到每個模型的缺點。對于FCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，C0與應變率和溫度無關(guān)，即屈服應力不隨應變率和溫度的變化而變化。對于BCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，應變硬化因子沒有耦合應變速率硬化和溫度軟化效應，所以BCC 模型沒有顯示出隨應變率和溫度的變化而發(fā)生的硬化特性。

1.3 Modified Khan-Huang 模型

式（3）的Khan-Huang 模型由Khan 和Huang 在1992 年[14]提出，用來描述由應變率引起的硬化變化，其中

第一個括號中的應變硬化項由應變和應變率的耦合函數(shù)描述。描述應變硬化行為的參數(shù)B由應變率的函數(shù)表示，而在JC 模型中的參數(shù)B被視為常數(shù)。該表達式可以克服JC 模型的缺點，應變硬化參數(shù)B可以隨著應變率的增加而減小。對于JC 模型，應變硬化項沒有考慮應變率的變化，但在該模型中可以通過參數(shù)n1來控制。Khan-Huang 模型的應變率強化項表示為，該項可以轉(zhuǎn)換為，它以應變率的指數(shù)表示材料的應變率硬化行為，但一般的金屬材料與應變率的對數(shù)呈指數(shù)關(guān)系。Song 和Huh 在2007 年[15]通過修改Khan-Huang 模型中的應變速率硬化項，在式（4）中提出了改進的 Khan-Huang 模型，其中，第一個括號中的應變硬化項與Khan-Huang 模型中的相同，第二個括號中的應變率硬化項與改進的JC 模型中的相同。改進的模型結(jié)合了兩個模型的優(yōu)勢，對材料的加工硬化效應有了更為準確的描述。

1.4 Modified Johnson-Cook 模型

Kang 等在1999 年[16]通過修改JC 模型的應變率硬化項，改進了傳統(tǒng)的JC 模型。JC 模型中的應變率強化項的線性表達式被指數(shù)表達式替代，如式（5）所示：

1.5 Lim-Huh 模型

Huh 等在2014 年[17]總結(jié)了4340 鋼、OFHC 銅和Ti6Al4V 合金在不同應變率下的試驗結(jié)果，并比較和驗證了不同類型的應變率硬化模型。盡管改進的Khan-Huang 模型可以描述實際的應變率強化，即隨著應變率的增加而降低，但是，該模型表明，隨著對數(shù)應變率的增加，應變是一個線性減小的函數(shù)。由于線性表達式，應變硬化的表達式仍然存在一些限制。為了準確表示應變硬化行為隨著應變率對數(shù)的增加而產(chǎn)生的變化，提出了LH 模型。盡管LH 模型具有出色的擬合結(jié)果，但是隨著應變率的增加，屈服應力會減少或保持恒定，而且該模型在高溫下的硬化行為存在一些缺點。為了表現(xiàn)出高溫下的熱軟化作用，Piao 等[18—19]在LH 模型中增加了涉及應變率的熱軟化項，見式（6）：

2 單向拉伸試驗

文中所用SPRC340S 材料的應變率硬化特性是通過準靜態(tài)單向拉伸試驗和高速拉伸試驗獲得的。使用 INSTRON 萬能試驗機進行了準靜態(tài)應變率（0.003～0.1 s?1）的單軸拉伸試驗。使用高速拉伸試驗系統(tǒng)獲得材料在高應變率下的硬化特性（1～500 s?1）。通過試驗測得的力-位移關(guān)系，取最大力或頸縮之前的力-位移曲線，計算材料在不同應變率下的硬化行為。文中所測得的SPRC340S 在不同應變速率（0.003～500 s?1）下的真應力-真塑性應變曲線如圖1 所示，可以發(fā)現(xiàn)該材料屈服應力隨應變率的增大而變大，是正應變率效應材料。

3 結(jié)果與討論

通過優(yōu)化算法，標定了文中所研究的6 類應變率強化模型。標定后的參數(shù)如表1 所示。標定后的硬化模型預測了材料在不同應變率下的硬化特性，并與試驗結(jié)果進行了對比，如圖1 所示。通過拉伸試驗測得的SPRC340S 硬化曲線和每個模型的預測結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，JC 模型和BCC 型ZA 模型由于屈服應力表達不當，其硬化特性出現(xiàn)了明顯的偏差。FCC 型ZA 模型的預測結(jié)果，隨著應變率的增加，硬化行為也會增加，但是，該模型的擬合結(jié)果與試驗結(jié)果依然存在較大誤差，因為該模型不能描述屈服應力隨應變率的變化而變化。修正后的JC 模型也顯示出較大偏差，因為模型中的屈服應力變化是由參考應變率為0.001 s?1時屈服應力的等比例擴大或縮小獲得的。修正后的Khan-Huang 模型和LH 模型都表現(xiàn)出很好的擬合效果，因為它們能夠準確地擬合屈服應力相對于應變率和應變的變化。

文中通過均方根誤差對各個模型的標定結(jié)果做了定量分析，結(jié)果如圖2 所示，可以發(fā)現(xiàn)誤差最大的模型為ZA（FCC）模型，預測誤差達到1.1682。該模型預測誤差最大的主要原因是：SPRC340S 為BCC 結(jié)構(gòu)。JC 模型預測的誤差值為0.5056，與ZA（FCC）相比較，誤差值只有前者的一半。這些模型中預測精度最高的模型為LH 模型，誤差只有0.0024，因此，LH 模型最適用于表征SPRC340S 金屬應變率強化特性。

表1 應變率強化模型標定參數(shù)Tab.1 Calibration parameters of strain rate hardening model

圖1 使用分步標定法擬合SPRC340S 合金在不同應變速率下真應力-應變曲線Fig.1 True stress-strain curve of SPRC340S alloy fitted by stepwise calibration at different strain rates

圖2 不同模型標定結(jié)果的誤差對比Fig.2 Comparison on calibration result error of different models

4 結(jié)語

從SPRC340S 金屬材料的動態(tài)行為的角度出發(fā)，比較分析了6 種應變率硬化模型的特性，并評估了應變率強化模型的適用性。通過對比擬合誤差，發(fā)現(xiàn)Lim-Huh 模型是最適合描述SPRC340S 應變率強化特性的模型。Johnson-Cook 模型和 FCC 型 Zerilli-Armstrong 模型在屈服應力和硬化特性的表征上存在重大缺陷。修改后的Johnson-Cook 模型的硬化結(jié)果也不準確。BCC 型Zerilli-Armstrong 模型僅限于其硬化特性不會隨應變率變化的材料。